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2005年北方数学奥林匹克 (2)
2006年北方数学奥林匹克 (4)
2007年北方数学奥林匹克 (6)
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2010年北方数学奥林匹克 (13)
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2012年北方数学奥林匹克 (17)
2005年北方数学奥林匹克
1.AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦
CD，过点C和D作⊙O的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q 两点.求证：P A=QB.
（裘宗沪供题）
2.定义在R上的函数f(x)满足：
（1）f(0)=0;
（2）对任意xx∈(−∞,−1)∪(1,+∞)，都有f�1x�+f�1y�=f(x+y1+xy)；（3）当x∈(−1,0)时，都有f(x)>0.求证：f�119�+f�129�+⋯+ f�1n2+7n+11�>f(12)，其中n∈N+. （刘贵谭祖春供题）
3.在公差为d(d>0)的整数等差数列a1,a2,⋯,a3n(n≥2)中，任取n+2个数.证明：其中必存在两个数a i、a j(i≠j)，满足不等式1<�a i−a j�nn<2. （刘康宁安振平供题） 4.已知n位数的各位数字只能取集合{1,2,3,4,5}中的元素，设含有数字5且在5的前面不含3的n位数的个数为f(n).求f(n). （蒋西明供题）5.如果三个正实数x、y、z满足
x2+xx+x2=254，x2+xy+y2=36，y2+yx+x2=1694.求xx+xy+yx的值. （张同君供题）
6.设0≤α、β、γ≤π2，ccc2α+ccc2β+ccc2γ=1.求证：
2≤（1+ccc2α）2cin4α+（1+ccc2β）2cin4β
+（1+ccc2γ）2cin4γ
≤(1+ccc2α)(1+ccc2β)(1+ccc2γ)（谭祖春供题）
2006年北方数学奥林匹克
1. 如图1，AB 为⊙O 的直径，非直径的弦CC ⊥AA ，E 是OC 的中点，连结AE 并延长交⊙O 于点P ，连结DP 交BC 于点F .求证：F 是BC 的中点.
图1
2. 设p 是大于2的质数，数列{a n }满足na n+1=(n +1)a n −(p 2)4.求
证：当a 1=5时，16|a 81. 3. 已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，且AC +AC =AA +AC .求∠A 的取值范围.
4. 设函数f (x )=x 2+ax +b (a 、b ∈R ).若存在实数m ，使得|f (m )|≤14，且|f (m +1)|≤14，求Δ=a 2−4b 的最大值和最小值.
5. 已知正数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：
a 2+92a +(b+c )+
b 2+92b +(c+a )+
c 2+9
2c 2+(a+b )2≤5. 6. 组委会说明试题有误.
7. 是否可以将正整数1,2,⋯,64分别填入8×8的64个方格 ，使得凡具备
“
”形的四个方格（方向课以任意转置）内的数之和都能被5 整除？
8. 已知数列{a n }满足a k+1=a k +12006a k 2，a 0=12，k ∈N .求证：A
1−12008<a2006<1.
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