贵州省部分重点中学2024年数学高三上期末综合测试模拟试题
注意事项
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知抛物线2
20y x ＝的焦点与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为92 ，那么该双曲线的离心率为（ ） A ．54 B ．53 C ．52 D ．5
2．若两个非零向量a 、b 满足()()0a b a b +⋅-=，且2a b a b +=-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．35 B ．35± C ．12 D ．12
± 3．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ）
A ．x ∀∈R ，20x ≤
B ．0x ∃∈R ，200x ≤.
C ．0x ∃∈R ，200x >
D ．x ∀∉R ，20x ≤.
4．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：
根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为
A ．171.25cm
B ．172.75cm
C ．173.75cm
D ．175cm
5．已知13ω>，函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论： ①()f x 在(,2)ππ上单调递增；
②511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦ ③()f x 在[0,]π上没有零点；
④()f x 在[0,]π上只有一个零点.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A ．②④
B ．①③
C ．②③
D ．①②④
6．若
，则（ ） A ． B ． C ． D ． 7．已知数列{}n a 满足：12125 1,6
n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ）
A ．16
B ．17
C ．18
D ．19
8．双曲线()2
21x y m c m
-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ） A 3B 5C ．62D 5 9．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=+++ +，
若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)n n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( ) A ．1
B ．－1
C ．8l
D ．－81 10．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x
，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ）
A ．(1,0)(0,1)-
B ．(,1)(1,)-∞-+∞
C ．(1,0)(1,)
D ．(,1)(0,1)-∞-
11．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，
分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．2
B ．3
C ．23
D ．5
12．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ） A ．69人 B ．84人 C ．108人 D ．115人 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若复数z 满足23z z i +=+，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z =________.
14．过直线7y kx =+上一动点(,)M x y 向圆22
:20C x y y ++=引两条切线MA ，MB ，切点为A ，B ，若[1,4]k ∈，则四边形MACB 的最小面积[3,7]S ∈的概率为________．
15．(1)n x +展开式中的系数的和大于8而小于32，则n =______．
16．在平面直角坐标系
中，已知，若圆上有且仅有四个不同的点C ，使得△ABC 的面积为5，则实数a 的取值范围是____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数2()126ln a f x x a x x =+-
-存在一个极大值点和一个极小值点. （1）求实数a 的取值范围；
（2）若函数()f x 的极大值点和极小值点分别为1x 和2x ，且()()1226f x f x e <-+，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数）
18．（12分）已知△ABC 三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且3sin 2A +3sin 2B ＝4sinAsinB +3sin 2C ． （1）求cosC 的值；
（2）若a ＝3，c 6=△ABC 的面积．
19．（12分）已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->.
（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.
20．（12分）已知函数()()11,0x
x f x a R a ae -=-∈≠. （1）当1a =时，求函数()f x 在()()
0,0f 处的切线方程；
（2）若函数()f x 没有零点，求实数a 的取值范围.
21．（12分）已知函数()()sin 0,0,22f x A x A ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝
⎭的最小正周期是π，且当6x π=时，()f x 取得最大值2．
（1）求()f x 的解析式；
（2）作出()f x 在[]0,π上的图象（要列表）．
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为cos ,sin ,
x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为cos 2sin 2x t y t πϕπϕ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩
，（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=.
（Ⅰ）求12l l ，的极坐标方程和C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设12l l ，分别交C 于A B ，两点（与原点O 不重合），求OA OB ⋅的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A
【解题分析】
由抛物线2
20y x ＝的焦点(5,0)得双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的焦点(5,0)±，求出5c ＝，由抛物线准线方程5x =-被曲线截得的线段长为92，由焦半径公式2292
b a =，联立求解. 【题目详解】
解：由抛物线2
20y x ＝，可得220p ＝，则10p ＝，故其准线方程为5x =-，
抛物线2
20y x ＝的准线过双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的左焦点， 5c ∴＝．
抛物线220y x ＝的准线被双曲线截得的线段长为92
， 2292
b a ∴=，又22225
c a b +＝＝， 4,3a b ∴＝＝， 则双曲线的离心率为54c e a =
=． 故选：A ．
【题目点拨】
本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率. 弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长． 2、A
【解题分析】
设平面向量a 与b 的夹角为θ，由已知条件得出a b =，在等式2a b a b +=-两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得cos θ的值，即为所求.
【题目详解】
设平面向量a 与b 的夹角为θ，()()22220a b a b a
b a b +⋅-=-=-=，可得a b =， 在等式2a b a b +=-两边平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，化简得3cos 5
θ=
. 故选：A.
【题目点拨】 本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 3、B
【解题分析】
根据全称命题的否定为特称命题，得到结果.
【题目详解】
根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，200x ≤
本题正确选项：B
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