分圆多项式的性质
1 引言
在多项式理论及其应用中，分圆多项式具有重要的作用，分圆多项式的研究是一项很有意义的工作．对分圆多项式有两种常见的定义方法：（1）设次本原单位根为，则称为分圆多项式．其中为欧拉函数．（2）设是一个素数．多项式叫做分圆多项式．文章分析了分圆多项式在有理数域上的不可约性，以及报告了近年来学者们对分圆多项式系数全为0或1的充分必要条件的讨论现状． 2 分圆多项式的定义
一个复数是次单位根，当且仅当它具有下列形式：
， (1)
由于
= ，
故若命
． (2)
则一个复数是次单位根，当且仅当它是的整数次方．由此可见，所有次单位根在乘法下作成一个循环，（2）所规定的是它的一个生成元素．
在（1）中取我们得到个次单位根：
(3)
这个单位根的幅角都是的整倍数；用平面上的点代表复数，把代表这个单位根的点用线段联结起来便成为单位圆的一个内接正边形．可见，（3）式中个次单位根都不同．是次单位根，当然．所以的周期恰等于．
有了这些知识做基础，我们给出分圆多项式的定义：复数域中恰有个次单位根．它们在乘法下作成一个元循环，（2）所规定的是一个生成元素．这个元循环的生成元素称为次本原单位根，我们知道，元循环共有个生成元素．所以，共有个次本原单位根，假定它们是
命
． (4)
称为分圆多项式．
例 时，生成元，，
故
．
时，生成元，，
故
．
时，生成元，，另一个生成元为：
，
故
．
时，生成元，，另一个生成元为：，
故
．
常见的分圆多项式的定义还有另一种：
定义 设是一个素数．多项式
叫做一个分圆多项式．
定理 多项式在有理数域上不可约．
证明 令 ，
由于
，
所以
．
于是
．
当时，
．
因为是整数，但与互素，所以，因此，又由于，，
故由Eisenstein判别法知在有理数域上不可约．因此在有理数域上也不可约．
例 分解多项式
．
在整数范围内可分解为
．
这两个多项式都是分圆多项式．我们也可以用初等的方法证明
和
在整数范围内不可约．
和都是的因子，除了1之外没有其他实根，而1不是和的根，所以和没有实数根．于是它们不可能有奇数次因子．如果和有二次因子，形如而这时、、，所以不是整数，因此和不可能只有二次因子，这样我们就证明了不可约． 而如果能分解只能是，（两个二次因式相乘得到的四次因子一定是上述形式）．
比较等式两边的系数，可得
由第二个方程乘减去第四个方程得
，
因而
，
由第三个方程得出
．
与假设矛盾，所以不可约．
3 分圆多项式的性质
定理 我们有下列公式
． (5)
证明 （5）式右边表示让经过的所有正因数而取所有这些的乘积．设
． (6)
是所有次单位根，于是
． (7)
取一个．设是一个次本原单位根．于是，，因而，可见必出现在（6）中．这就是说，所有个次本原单位根都出现在（6）中，它们在（7）中所对应的一次式之积便是．因之，
．
若和不同，则和没有公共一次式． 因为，前者的根是次本原单位根，后者的根是次本原单位根，由此可见，
．
但（6）中的任意必有一个周期，，因而是次本原单位根．这就是说，（10）中的任意一次式必出现在某个之内，其中，所以比多不出什么，因而（5）成立．
下面利用该定理重新计算例题中的．
例 因为 ，
故
．
因为 ，
故
．
因为 ，
故
．
因为 ，
故
．
定理 是首项系数为1的整系数多项式．
证明 是整系数多项式．假定已知时，是整系数多项式，试证亦然．由（8），
，
此式右边每个由归纳法假定都是整系数多项式，故其积为整系数多项式，且首系数为1．所以是本原多项式，而是整系数多项式，故知必为整系数多项式．
4 分圆多项式的根
在任意域上，若是特征的倍数，设，其中不是的倍数，则
．
这时的根即是次单位根，且的每个根都是重根．
当不是域的特征的倍数时，方程
在中的根也称为次单位根，但未必都在中．当不是域的特征的倍数时，如果分圆多项式在中有根，那么多项式在中恰有个次单位根他们在乘法下作成一个元循环，其中个生成元素恰是的所有根．但在任意域中，当不是域的特征的倍数时，的根未必都在中．下面证明：若是素数，，且时，分圆多项式在中一定有根，并给出了多项式在中恰好有个根的充分必要条件:
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