全序集合)
偏序关系、全序关系都是公理集合论中的⼀种⼆元关系
偏序集合:配备了偏序关系的集合
全序集合:配备了全序关系的集合
偏序:集合内只有部分元素之间在这个关系下是可以⽐较的
⽐如:⽐如复数集中并不是所有的数都可以⽐较⼤⼩,那么“⼤⼩”就是复数集的⼀个偏序关系~
全序:集合内任何⼀对元素在在这个关系下都是相互可⽐较的
⽐如:有限长度的序列按字典序是全序的~(最常见的是单词在字典中是全序的) 偏序的定义:
设R是集合A上的⼀个⼆元关系,若R满⾜:
Ⅰ ⾃反性:对任意x∈A,有xRx;
Ⅱ 反对称性(即反对称关系):对任意x,y∈A,若xRy,且yRx,则x=y;
Ⅲ 传递性:对任意x, y,z∈A,若xRy,且yRz,则xRz。
则称R为A上的偏序关系。
全序的定义:
设集合X上有⼀全序关系,如果我们把这种关系⽤ ≤ 表述,则下列陈述对于 X 中的所有 a, b 和 c 成⽴:
如果 a ≤ b 且 b ≤ a 则 a = b (反对称性)
如果 a ≤ b 且 b ≤ c 则 a ≤ c (传递性)
a ≤
b 或 b ≤ a (完全性)
注意:完全性本⾝也包括了⾃反性~
所以,全序关系必是偏序关系~