练习9.1
2．填空题：
（11）设A={1,2,3,4}上的关系R={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>},则r(R)={ <1,2>, <2,4>, <3,3>, <1,3>,<1,1>,<2,2>,<4,4>}, s(R)={ <1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<2,1>,<4,2>,<3,1>}, t(R)={ <1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<1,4>} 4．设A={0,1,2,3,4,5}, B={1，2，3}, 用列举法描述下列关系，并做出他们的关系图及关系矩阵： （2）R2={<x,y>| x∈A∧y∈B∧x=y2}
解：R2={<1,1>，<4,2>}
（3）R3={<x,y>| x∈A∧y∈A∧x+y=5}
解：R3={<0,5>,<1,4>,<2,3>,<3,2>,<4,1>,<5,0>}
7．设A={a,b,c,d},A上二元关系R1,R2分别为
R1={<b,b>, <b,c>, <c,a>}
R 2={<b,a>, <c,a>, <c,d>, <d,c>}
计算R1oR2, R2oR1, R12, R22
解：
R1oR2={<b,a>,<b,d>}
R2oR1={<d,a>}
R1oR1={<b,b>,<b,c>,<b,a>}
R2oR2={<c,c>,<d,a>,<d,d>}
10. 设R1, R 2, R 3, R4, R 5都是整数集上的关系，且
xR1y undefined xy>0
xR2y undefined |x-y|=1
xR3y undefined x+y=10
xR4yundefinedx|y
xR5y undefinedx=yk（k是整数）
用Y（yes）和N（no）填写表9-2。
解：
| 自反 | 反自反 | 对称 | 反对称 | 传递 |
R1 | N | N | Y | N | Y |
R2 | N | Y | Y | N | N |
R3 | N | N | Y | N | N |
R4 | N | N | N | N | Y |
R5 | Y | N | N | Y | Y |
| | | | | |
11．（1）设R是A上的二元关系，R自反（反自反、对称、反对称、传递），BA。试问：R∩B×B是否依然是自反（反自反、对称、反对称、传递）的？
（2）试举例说明：反对称性与传递性对并运算不封闭。 （3）试举例说明：自反性与传递性对差运算不封闭。
（4）试举例说明：自反性、反自反性、反对称性和传递性对求补运算均不封闭。
解：
（1）R反自反、对称、反对称、传递时，R∩B×B是否依然是反自反、对称、反对称、传递的。当R自反时，若A和B不等，则R∩B×B不是自反的。
（2）A={1，2，3}，R={<1,2>},S={<2,1>},则R和S都满足反对称性与传递性，但是R并 S即{<1,2>,<2,1>}不满足反对称性与传递性。
（3）A={1,2,3}, R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<2,1>,<1,2>}, S={<1,1>,<2,2>,<3,3>}，则R和S都是自反和与传递的。但是R-S={<1,2>,<2,1>}不满足自反性和传递性。
（4）A={1，2，3}，R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}满足自反、反对称和传递，但是R补不满足自反，反对称和传递。
A={<1,2>}时，R为反自反的，但是R不不满足反自反性。
试举例说明：自反性、反自反性、反对称性和传递性对求补运算均不封闭。
解：
14．证明：当关系R传递且自反时，R2=R
证明：假设R是A上的关系。
若<x,y>∈R2，即undefinedz满足<x,z>∈R且<z,y>∈R。由于R传递，所以<x,y>∈R。即证R2R。
若<x,y>∈R。由于R自反，所以<x,x>∈R。从而<x,y>∈R2。即证RR2。
所以R2=R。
17．如果 undefinedxundefinedyundefinedz(xRy∧yRz→┐xRz),则称A上关系R是反传递的。证明：R是反传递的当且仅当R2∩R=undefined。
证明：
必要性：反证法。假设<x,y>∈R2∩R, 即<x,y>∈R2且<x,y>∈R。由于<x,y>∈R2，所以存在z满足xRz且zRy，由于R是反传递的，所以┐xRy， 这和<x,y>∈R矛盾!
充分性：若xRy且yRz，则<x,z>∈R2。由于R2∩R=undefined，所以┐xRz。即证。
18．设A={1,2,3,4,5}, A上的关系R={<1,2>,<3,4>,<2,2>},S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>},试求RoS的关系矩阵。
解：
方法一：由于RoS={<1,5>,<3,2>,<2,5>}，所以RoS的关系矩阵如下：
方法二：由于R和S的关系矩阵分别为
和
所以RoS的关系矩阵如下：
练习9.2
1. (3) B
（5）D
（6）B
2.
(3) [a]R={x|x∈A 且xRa}， a∈[a]R
4. 设R1,R2,……,Rn均为A上的等价关系，证明：也是A上的等价关系。
并举例说明R1，R2为A上的等价关系，而R1 U R2不一定是A上的等价关系。
证明：
证法一：R1,R2,……,Rn均为A上的等价关系，所以R1,R2,……,Rn均满足自反、对称和传递性。由于自反，对称和传递性对交运算都是封闭的，所以满足自反、对称和传递性，从而是等价关系。
证法二：
只需要证明满足自反、对称和传递性即可。
（1）由于Ri(i=1,2,……,n)为A上的等价关系，所以Ri(i=1,2,……,n)自反，从而EARi(i=1,2,……,n)。所以EA,所以是自反的。
（2）由于Ri(i=1,2,……,n)为A上的等价关系，所以Ri(i=1,2,……,n)对称，从而Ri=Ri~ (i=1,2,……,n),所以==, 所以是对称的。
（3）由于Ri(i=1,2,……,n)为A上的等价关系，所以Ri(i=1,2,……,n)传递，从而RioRiRi (i=1,2,……,n)。由于
所以是传递的。
举例：A={1,2,3}，R1={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>}，R2{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<2,3>,<3,2>}都为A上的等价关系，而R1 U R2={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>}不是A上的等价关系，因为他不满足传递性。
练习9.3
3．列表（见表9-3）区分有序集<A, ≤>的子集B上的最大、最小、极大、极小元，上界、下界、上确界和下确界。
表9-3
4．图9-13为一有序集<A,R>的哈斯图。
图9-13
（1）下列命题哪些为真？ aRb, dRa, cRd, cRb, bRe, aRa, eRa
(2) 恢复R的关系图
（3）指出A的最大、最小元（如果有的话），极大、极小元
（4）求出子集B1={c,d,e}, B2={b,c,d}, B3={b,c,d,e}的上界、下界、上确界、下确界（如果有话）。
解：
（1）dRa, aRa, eRa
(2)
(3) 最大元a, 最小元无，极大元a，极小元d,e
(4)
B1 上界a,c，下界无，上确界c，下确界无。
B2 上界a，下界d，上确界a，下确界d。
B3 上界a，下界无，上确界a，下确界无。
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