特殊角的锐角三角函数值
特殊角的三角函数值
三角函数 角度α | sinα | cosα | ｔaｎα |
3０° | | | |
４5° | | | 1 |
60° | | | |
| | | |
方法归纳:（1）解有关等边三角形、等腰直角三角形及与30°、45°、６0°角相联系的其他三角形问题时，常常要用特殊角的三角函数值。 (2）必须熟练掌握特殊角的三角函数值，既能由角求三角函数值，又能由三角函数值求角.
（3）正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小)而增大（或减小），余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)。 总结:
1。 特殊角三角函数在计算及应用题里广泛使用，应理解概念并熟练应用。
２． 能够解决含特殊角的三角函数问题，并能根据三角函数值求角的度数。
例题1 如图所示,已知直线y=ｘ+，求这条直线与x轴的夹角（锐角)。
解析：直线与ｘ轴、y轴相交围成一个直角三角形，然后根据直线与x轴、y轴交点坐标即可
求解。
答案：设y=x+与x轴、ｙ轴交点为A、B两点,则Ａ（－1,0）、B（0,）,∴ＯA=1，ＯＢ=．∴taｎ∠BAO＝=,∴∠BＡＯ=６0°。
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答：直线与x轴夹角（锐角）为60°.
点拨:本题关键利用Ｒt△ＡＯB来求出ＯA、ＯB,进而求出∠BAＯ的正切值,最后求出度数,是已知两边求度数的一种常用方法。
例题2 已知:如图，Ｒｔ△AＢC中,∠BAC=90°,D是AC上一点
，∠AＢD=∠C,直线ＥF过点Ｄ,与BＡ的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E．探索:设＝t，若△ＡDF∽△ＥDB，试求ｔ的值。
解析:t的值就是△ABC两边的比值,所以我们可以考虑通过相似三角形和其它特殊图形求出AC与AB的数量关系，再求其比值。或者能求出∠ABC或∠C的度数也可以，因为∠BAC=90°，在直角三角形中利用三角函数求t值． 答案:∵∠BAC=90°,EF⊥ＢC,∠ADF＝∠CDE,∴∠F=∠C。
∵∠ABＤ=∠C,∴∠F＝∠ABＤ。
∵△ＡDF∽△EDB,∴∠F=∠EＢＤ,∴在Rｔ△AＢC中,∠C＝∠AＢD＝∠EBＤ,又∠C＋∠AＢD+∠EBD＝9０°，∴∠C＝∠ABD＝∠ＥBＤ=3０°,∴∠ABC=60°。
∴=tａｎ∠ＡＢC＝,即t=。
点拨:本题中t值是∠C的正切值,所以需要求出∠C的度数.要求一个角的度数，特别是在没有已知度数的角的情况下，应考虑利用三角形内角和或特殊的三角形、四边形来求。利用三角形内角和时,这三个内角必须具有倍分关系,才能转化成一元一次方程求出角的度数，本题中是证明的三个角相等且和为9０°。
锐角三角函数是角的度数与线段的长度之间相互转化的重要工具，是解决三角形边角关系的常用数学方法。在中考试题中对特殊角三角函数的考查有的直接考查,以填空题和选择题的形式出现,一般比较容易；有的融入到其他知识或题型中间接考查,如三角形、四边形、圆等,常以解答题、操作说明题、阅读题等形式出现，综合性较强，难度较． 满分训练 阅读下面的材料，先完成阅读填空,再按要求答题：
sｉn３0°=，ｃｏs3０°=，则sin２3０°+ｃos２30°=__＿＿______①;
sｉｎ4５°=,cos45°=,则sin２45°+cos2４5°＝_____＿＿＿__②;
sin60°=,cos60°＝,则ｓin２６0°+ｃos２60°＝＿____＿__＿_③；
……
观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有sin2Ａ+cｏs２A＝_＿__＿＿____④。
（１)如图,在锐角三角形AＢＣ中,利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想;
ﻬ
（2）已知:∠Ａ为锐角(cosA＞0)且sｉｎA=,求ｃosＡ．
解析:（1)证明:过点B作BD⊥AＣ于D,在Rt△ADB中，sinA=,cosA=，由勾股定理得，BD2＋AD2=AＢ2,∴（)2＋（)２＝＝1,∴ｓin2A＋ｃｏs2Ａ＝1;(2）∵∠Ａ为锐角(cｏsA>0)，siｎA=,sin2A＋cos2A=1,∴cｏsＡ＝=。
点拨：本题属于阅读理解题，读懂题意,弄清题目所给的定义和规律是解答这类问题的关键。比本题中可总结出同角的三角函数关系，sin2A＋ｃos2A＝1,类似的还有taｎＡ=等．
(答题时间:30分钟)
一、选择题
１。 式子2cos30°－ｔaｎ45°-的值是( ）
A. 2 B。 0 C． ２ﻩD。 ２
２． 如图所示,矩形ABCD中,ＡB=1，ＢC=，ＡC与BＤ相交于O，则tan∠AOＢ等于( )
A。 ﻩＢ。 ﻩC. 1ﻩD。
*３. 如图所示是类似“羊头”的图案，它左右对称，由正方形、等腰直角三角形构成，如果标有数字“1３”的正方形的边长是，那么标有数学“2”的等腰直角三角形斜边的长是( )
Ａ. ２ Ｂ。 2 C。 2 Ｄ。
ﻬ
**4. 如图，在半径为1的⊙O中,∠ＡOB=４5°，则siｎＣ的值为（ ）
A。 ﻩB。 C. ﻩD。
二、填空题
5。 在Rt△ABC中,∠Ｃ=90°，ＡB＝2ＢC，现给出下列结论:①sinA=；②cosB=;③tanA=;④tanB＝,其中正确的结论是_＿＿___＿___(只需填上正确结论的序号).
*6。 △ＡBC中,a、b、ｃ分别是∠A、∠B、∠C的对边.已知a＝,b=＋，c＝－,则ｂｓiｎＢ+cｓinC的值是______＿__＿。
*７。 如图,Rt△ABC中,∠Ａ＝９0°，AD⊥BC于点D,若BD:CD＝3：2,则ｔaｎB=___＿____＿_。
**8． 如图所示,已知l1∥l２∥ｌ3,相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上,则ｓｉnα的值是＿_______＿＿。
ﻬ
三、解答题
９. 已知ａ是锐角,且ｓin（α+１5°)=，计算-4ｃosα－(π-３。14)０+tanα＋））−１的值。
**10。 对于钝角α，定义它的三角函数值如下:
siｎα=sin(1８0°-α)，cosα=－coｓ(1８0°－α）。
(1）求sｉｎ１20°，ｃoｓ120°，ｓｉn１5０°的值;
(2)若一个三角形的三个内角的比是1:1:4,A、Ｂ是这个三角形的两个顶点，sｉｎA、cｏsB是方程4x2－mx－１＝0的两个不相等的实数根,求m的值及∠A和∠B的大小。
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