【教材回扣】
名称 | 棱柱 | 棱锥 | 棱台 |
图形 | | | |
结构 特征 | ①有两个面互相 ____________，其余各个面都是 __________； ②每相邻两个四边形的公共边都互相 ________ | 有一个面是 ______，其余各面都是有一个公共顶点的 ______的多面体 | 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， __________和 ________之间的部分 |
侧棱 | ________ | 相交于 ____，但不一定相等 | 延长线交于 ____ |
侧面 形状 | ________ | ________ | ________ |
| | | |
2.旋转体的结构特征
名称 | | 圆锥 | 圆台 | 球 |
图形 | | | | |
母线 | 互相平行且相等， ____于底面 | 相交于 ____ | 延长线交于____ | |
轴截面 | 全等的 ____ | 全等的 ____ | 全等的 ______ | ______ |
侧面展 开图 | ____ | ____ | ____ | |
| | | | |
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
名称 | 圆柱 oah | 圆锥 | 圆台 |
侧面 展开图 | | | |
侧面积 公式 | S圆柱侧＝____ | S圆锥侧＝____ | S圆台侧＝ ____ |
| | | |
4.空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体 | 表面积 | 体积 |
柱体 (棱柱和圆柱) | S表面积＝S侧＋2S底 | V＝______ |
锥体 (棱锥和圆锥) | S表面积＝S侧＋S底 | V＝______ |
台体 (棱台和圆台) | S表面积＝S侧＋S上＋S下 | V＝(S上＋S下＋ )h |
球 | S＝______ | V＝______ |
| | |
【题组练透】
题组一 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形．( )
2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )
3．棱台各侧棱的延长线交于一点．( )
4．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是旋转体．( )
题组二 教材改编
1．(多选题)下面结论正确的是( )
A．三角形的直观图是三角形
B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是正方形
D．菱形的直观图是菱形
2．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是( )
A．225 cm2 B．1 000 cm2
C．1 800 cm2 D．900＋2 000 cm2
3．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为________．
题组三 易错自纠
1．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的几何体是( )
A．棱台 B．四棱柱
C．五棱柱 D．六棱柱
2．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为( )
A．6π(4π＋3)
B．8π(3π＋1)
C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)
D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)
3．Rt△ABC的三个顶点都在球O的球面上，AB＝AC＝2，若球心O到平面ABC的距离为1，则球O的半径为______，球O的表面积为________．
题型一 空间几何体
角度|
[例1] (多选题)下列命题不正确的是( )
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．用一平面去截棱锥，截面与底面之间的部分组成的几何体叫棱台
[听课记录]
类题通法
解决与空间几何体结构特征有关问题的三个技巧
(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力．
(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型．
(3)通过反例对结构特征进行辨析.
巩固训练1：下列命题正确的是( )
A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
角度|
[例2] 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )
A.a2 B．2a2
C.a2 D.a2
[听课记录]
类题通法
平面图形与其直观图的关系
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形.
巩固训练2：已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为( )
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
角度|
[例3] 纸制的正方形的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是( )
A．南 B．北 C．西 D．下
[听课记录]
类题通法
求解展开图问题的关键及注意事项
求解立体图形展开图问题的关键是弄清原有的性质变化与否．应注意：
(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；
(2)长度、角度等几何度量的变化.
巩固训练3：如图所示是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
题型二 空间几何体的表面积与体积
[例4] (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12π B．12π
C．8π D．10π
(2)[2020·江苏卷]如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3.
(3)(一题两空)如图，在直角梯形ABCD中，AD＝AB＝4，BC＝2，沿中位线EF折起，使得∠AEB为直角，连接AB，CD，则所得的几何体的表面积为________，体积为________．
[听课记录]
类题通法
(1)几何体表面积的计算：根据几何体的直观图或三视图所给的条件，确定表面的形状，选择正确的平面图形的面积公式求解，注意表面积与底面积、侧面积的区别．
(2)几何体体积的计算：简单几何体可用体积公式直接求解，一些组合体的体积则需用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
巩固训练4：(1)若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面
积与侧面积的比为( )
A．3:2 B．2:1
C．4:3 D．5:3
(2)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为( )
A. B.
C. D.
(3)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．
题型三 空间几何体与球的切、接问题 高频考点
角度|
[例5] (1)[2019·全国卷Ⅰ]已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )
A．8π B．4π
C．2π D.π
(2)[2020·新高考Ⅰ卷]已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
[听课记录]
类题通法
(1)求解多面体的外接球时，经常用到截面圆．如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.
(2)求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何体的体对角线．
(3)若球面上四点P，A，B，C的连线中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，则可构造长方体或正方体解决问题.
巩固训练5：(1)[2020·天津卷]若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．12π B．24π
C．36π D．144π
(2)[2021·河北唐山模拟]已知四棱锥P－ABCD的顶点都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，AB＝AD＝1，BC＝CD＝2.若球O的表面积为36π，则PA＝( )
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