2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数z =sin 2＋i cos 2对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
oahD ．第四象限
2．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，则集合A *B 的所有元素之和为
A ．0
B ．2
C ．3
D ．6 3．若函数y ＝f (x )的值域是[
21，3]，则函数F (x )＝f (x )＋)
(1x f 的值域是 A ．[
21，3] B ．[2，310] C ．[25，310] D ．[3，3
10
] 4．
1
23lim
1
-
-+→x x x ＝
A ．
21 B ．0 C ．－2
1
D ．不存在 5．在数列{}n a 中，12a =， 11
ln(1)n n a a n
+=++，则n a =
A ．2ln n +
B ．2(1)ln n n +-
C ．2ln n n +
D ．1ln n n ++ 6．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(
,
)22
ππ
内的图象是
7．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=
的点M 总在椭圆内部，则椭圆离
心率的取值范围是
A ．(0,1)
B ．1
(0,]2 C
．(0,
2
D
．,1)2 8．(1＋3x )6(1＋
4
1
x
)10展开式中的常数项为
A
B
C
D
A ．1
B ．46
C ．4245
D ．4246
9．已知实数1a 、2a 和有理数1b 、2b ，若210a a <<，210b b <<，且12121=+=+b b a a ，则下列代数式中值最大的是 （ ）
、
A 2121b b a a + 、
B 2211b a b a + 、
C 1221b a b a + 、
D 2
1 10．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ；②弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN 的最大值为5；④MN 的最小值为l .其中真命题的个数为
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
11．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中
任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 A ．
1801 B ．2881 C ．3601 D ．480
1 12．已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋l ，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是
A ．(0，2)
B ．(0，8)
C ．(2，8)
D ．(－∞，0)
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．直角坐标平面内三点A(1，2)、B(3，－2)、C(9，7)，若E 、F 为线段BC 的三等分点，
则AE ²AF ＝ ． 14．不等式132
+-x
x ≤
2
1
的解集为 ． 15．过抛物线x 2=2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点
A 在y 轴左侧)，则
FB
AF
＝ ． 16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装 饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图2)．有下列四个命题： A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
C ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好 经过点P
D ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满 其中真命题的代号是 ．(写出所有真命题的代号) ．
三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
在△ABC 中．a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边长，
a ＝23，tan
2B A +＋tan 2C ＝4，sin B sin C ＝cos 22
A
．求A 、B 及b 、c ． 18．（本小题满分12分）
因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种 方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令ξi (i ＝1，2)表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． （1）写出ξ1、ξ2的分布列； （2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?
（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计
利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大?
19．（本小题满分12分）
数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且
113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =.
（1）求,n n a b ；（2）求证1211134
n S S S +++< . 20．（本小题满分12分）
正三棱锥O －ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长
度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 的一个平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于
A 1、
B 1、
C 1，已知OA 1＝
2
3
． （1）证明：B 1C 1⊥平面OAH ；
（2）求二面角O －A 1B 1－C 1的大小．
21．（本小题满分12分）
设点P (x 0，y 0) 在直线x ＝m ( y ≠±m ，0＜m ＜1)上，
过点P 作双曲线搿x 2
－y 2
＝1的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点M(
m
1
，0)． （1）过点A 作直线x －y ＝0的垂线，垂足为N ，试求△AMN 的重心G 所在的曲线方程；
（2）求证：A 、M 、B 三点共线．
1
C 1
A
22．（本小题满分14分） 已知函数f (x )＝
x
+11＋
a
+11＋
8
+ax ax
，x ∈(0，＋∞)．
（1）当a ＝8时，求f (x )的单调区间； （2）对任意正数a ，证明：l ＜f (x )＜2．
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学参考答案
1．D .因sin 20,cos 20><；所以sin 2cos 2z i =+对应的点在第四象限， 2．D .因*{0,2,4}A B =
3．B .令()t f x =，则1[,3]2t ∈，110()[2,
]3
F x t t =+∈ 4．A
.1x x →→=
1 =1
=
2x →
5. A . 211ln(1)1a a =++，321ln(1)2a a =++，…，11
ln(1)1
n n a a n -=++
- 1234ln()()()()2ln 1231
n n
a a n n ⇒=+=+-
6．D. 函数2tan ,tan sin tan sin tan sin 2sin ,tan sin x x x y x x x x x x x <⎧=+--=⎨
≥⎩
当时
当时
7．C .由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则2
2
2
2
2
1
2
c b c b a c e <⇒<=-⇒<
又(0,1)e ∈，所以1(0,)2
e ∈8．D . 常数项为3468
61061014246C C C C ++=
9. A. 22121212121
()()222
a a
b b a a b b +++≤+= 112212************()()()()()0a b a b a b a b a a b a a b a a b b +-+=-+-=--≥ 11221221()a b a b a b a b +≥+
12121122112112221()()2()a a b b a b a b a b a b a b a b =++=+++≤+
11221
2
a b a b +≥
10．C . 解：①③④正确，②错误。易求得M 、N 到球心O 的距离分别为3、2，若两弦交于N ，则OM ⊥MN ，Rt OMN ∆中，有OM ON <，矛盾。当M 、O 、N 共线时分别取最大值5最小值1。
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