第34卷第1期
2021年2月
PHYSICAL EXPERIMENT OF COLLEGE
Vol.34 No.1Feb.2021
文章编号:1007-2934(2021 )01-0087-05
新冠疫情下“停课不停学”的大学物理
何秋静1，杨文韬2，王晓雅1，支启军1
(1.贵州师范大学物理与电子科学学院，贵州贵阳550000；2.六盘水师范学院物理与电气工程学院，贵州六盘水553004)
摘 要：基于GeoGebra 的动态数学软件的技术路线，依此技术路线实施，制作单摆的仿真实验。此 仿真实验操作简单、调试方便、与真实实验融合度高，教师不仅可以拿来当作学生的预习实验，也可以用
来给学生讲解单摆的理论知识。
关 键 词：GeoGebra 5.0软件；单摆；演示与仿真
中图分类号：O4-39 文献标志码：A D0l ：10.14139/jki22-1228.2021.01.023
2020年春，各高等学校积极响应“停课不停 教、停课不停学”的要求，在疫情防控中充分利用 已有课程积累和网络资源，积极开展线上授课和
线上学习等在线教学活动［1-3］。在此背景下，本 文采用GeoGebra 5.0软件开发了手机和电脑都可
以实现小球做单摆实验的过程。GeoGebra 是为 小学到大学的教学而设计的开源动态数学软件, GeoGebra 针对不同的数学物件，提供不同的视
区。不同的视区提供各自适用的工具列，包含了
特定的工具、指令以及内建函数与运算子，使用者
可以运用不同表征的数学物件，来创造动态结构。
根据GeoGebra 软件的特点，用来做物理仿真实
验，可以作为物理教学的一个工具，下面以单摆为 例，利用GeoGebra 软件实现单摆实验的演示与
仿真。
摆度
如果把悬挂的小球(摆球)自平衡位置拉至
一边(摆角0<5°)，然后释放，摆球即在平衡位置 左右做周期性摆动，这种装置称为单摆⑷。单摆 做简谐运动，单摆的周期与摆球质量无关，在振幅
较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周 期也越长［5-7］ o 单摆原理在高中甚至大学物理中 占据着重要的地位，故弄清单摆的原理及特点是
非常重要的。本文利用GeoGebra 5.0软件制作了
小球做单摆的演示实验，在设计过程中严格遵循
单摆的原理，运用微分方程推导出摆球摆动的函
数关系式，提高仿真实验的可信度。学生在操作
过程中，可以更深入的掌握单摆的原理，甚至比真
实实验更加锻炼理论推导能力。
1实验原理
单摆是理想的物理模型，由理想化的摆球和
摆长组成，摆线的质量不计，不可伸缩［8］。
(1)如图1，摆长为L ，小球受力为：重力mg 和绳子的张力T o 将重力进行正交分解，重力mg
可以分解为沿圆弧的切向和径向的两个力，L 与
图1单摆的受力分析图
收稿日期：2020-11-19
基金项目：教育部产学合作协同育人教学内容和课程体系改革项目(201802350009)，教育部产学合作协同育人实践条件和实践基
地建设项目
(201802071006)
88大学物理实验2021年
(2)根据牛顿第二定律，可以列出小球在切
线方向上的运动方程:
切线方向的微分方程为:
F T=mgsin0=dv d20——=-mL—c
方程两边消去质量m得: L sin0=0
d20
d t2
(1)
(2)
(3) x
当单摆的摆角0很小时,sin0=0,0〜l
d20g
可得2+g0=0(4)
d t2L
在切线方向小球仅受切向力，由(2-1)式可知
xg
F T=mgsin0=mg=m—^x
由F T=ma T
可得a T=L x
Lt
由圆周运动公式可知:a T=32x (5)
(6)
则：32=L，代入(2-4)得：
Lt
d20
+320=0(7)
d t
(2-7)式即简谐运动的微分方程
解微分方程得：0=00sinwt，或0=00cos3t(8)
综上所述，单摆的摆动近似是简谐运动[9]O
2用GeoGebra仿真单摆实验过程
2.1单摆仿真实验的动态平面设计
GeoGebra是一款专门为理科生设计的动态数学软件,GeoGebra软件类似于几何画板式的几何工具，它
结合“几何、代数、微积分”，可在上面画点、向量、线段、多边形、圆锥曲线、甚至函数[10]。通过单摆原理的理论推导，可知圆频率3与摆长L有关，因此在设计过程中定义小球的数学函数是关键。
首先打开GeoGebra5.0软件的绘图区，在平面坐标系中定义线段f[(1,0),(1.5,0)]、g[(1.13, 0),(1.13,1.5)]、h[(1.14,1.1),(1.4,1.1)]，绘制铁架台。在线段h中定义点A(1.3,1.1)，作为摆线的支点。再以点A为圆心，定义半径在0.2-1区间的圆心c，作为摆长的长度范围。定义点B(1.3+0.1 lsin(wt),1.1-/)，作为小球做简谐运动的状态，时间t取0-80之间。定义圆频率3：sqrt L(g取
9.8)o最后定义线段让(1.3,1.1),(1.3+0.1/sin (wt),1.1-/)]，连接点A跟点B，作为摆线，单摆的动态平面效果图如图2所示。
图2单摆的动态平面效果图
»绘圈区
4-
1=1
t=0
•J-
2-/I
/
1
f1
g1/
/
0■
0彳f33
在3D绘制区中，基于单摆在平面坐标系的设计步骤，可绘制出单摆摆动的立体效果，单摆3D效果图如图3所示。
2.2单摆仿真实验的正弦函数设计
单摆的摆角很小时，质点的运动可以近似的看作简谐运动，简谐运动的状态可以用正弦函数来描述。
首先定义向量u[(0,-2),(3,-2)]，作为时间t轴，再定义向量v[(0,-2.5),(0,-0.5)]，作为y轴。定义动点D(0.04t,-2+0.2/sin(3t))，作为小球的运动情况。定义时间11：t1=0.01to最后定义曲线j[0.04t1,-2+0.2lsin(3t1),11,0,t]，作为正弦曲线。单摆的正弦函数图像如图4所示
。
第1期何秋静，等：新冠疫情下“停课不停学”的大学物理GeoGebra仿真单摆实验89
3仿真实验的分析与总结
在GeoGebra平台上设计单摆实验的过程不仅要掌握单摆摆动的简谐运动规律的理论知识，还要具备数学的逻辑能力。在制作仿真单摆实验的过程中总结出了GeoGebra5.0软件作为辅助教学的一些优点。
3.1操作简单，调试方便
GeoGebra5.0软件是定义数学物件来创造动态结构，平常所用到的线段、圆、曲线等，可直接用中文输入代数区，中文输入后就会显示所对应的数学格式，在绘制过程中只需把数字插入即可。在工具栏上的滑动条，可根据所设置的变量，在区间内随意调试，这样可看见不同情况下的实验效果，进而可以记录所对应的数据，这与真实实验收集多组数据的操作是一致的，且导出手机后可随时观看实验效果，可见GeoGebra平台有平易近人的特点。
3.2仿真实验与真实实验融合度高
在2.1单摆仿真实验的平面设计步骤中，设置圆c的半径的滑动条，目的是可以随时改变摆线的长度，
且半径最大为1，这与大学物理真实实验中单摆实验的摆长约取1m是一致的。这时单摆的周期为2s，半周期为1s，这在GeoGebra平台上仿真的效果也是符合的，如图5所示，小球摆动1个周期时，时间滑动条上的时间显示为0.5，小
球摆动半个周期时，时间滑动条上的时间显示为1o
图5小球摆过4和1个周期的时间图
在单摆实验中最关键的就是控制摆角小于5°，在真实实验实验中运用工具是比较容易实现的，在GeoGebra平台上如何保证小球的摆动幅度在5°以内呢？经研究讨论，结合单摆的摆动的理论知识，单摆的摆角与摆长有关，且由(8)式可知摆角是关于时间的正弦函数，故可在2.1单摆仿真实验的平面设计步骤中，起初定义点B的坐标为(1.3+0.2lsin(et),1.1-l)，但发现当l取很小时，摆度过大，已经不是单摆过程，从仿真来看，小球已经离开圆c运动，或者说圆轨迹运动与直线运动的简谐振动已经不重合，如图6对点B定义的效果图(a)所示。经研究讨论后定义点B的坐标为(1.3+0.1lsin(et),1.1-l)，这样可以始终保证小球的摆动幅度在5°之内，如图6对点B定义的效果图(b)所示。
(a)
90大学物理实验2021年
(b)
图6对点B定义的效果图
3.3提高数学的逻辑思维能力
由于GeoGebra5.0软件是用数学公式来指令动态结构，所以在GeoGebra平台上做仿真实验时，要具备数学的逻辑思维。例如，在做单摆仿真实验的正弦函数设计时，小球摆动的时间为80时，正弦函数图很长，不能体现小球摆动的实际运动情况，且影响美观，如图7所示。
-2厂
图7单摆的正弦函数图
由于正弦函数图像太长，即x坐标太长。解决的方法就是压缩，怎么压缩函数？这就要运用数学方面知识以及逻辑思维能力，单摆绘制的正弦曲线采用参数方程绘制，将x的参数乘以一个小于1的倍数,y坐标不变就可以把函数图像的x 轴压缩，从而把很长的时间压缩到一个较短的坐4结语
本文利用GeoGebra5.0软件实现了小球单摆实验的演示与仿真，对本实验中摆角的控制以及单摆的正弦曲线进行了巧妙设计，这将有助于学生加深对小球做单摆运动规律的理解。此外, GeoGebra5.0软件在小学至大学中作为一种辅助教学工具，在未来有很大的发展前景。不管是教师将GeoGebra5.0软件制作的动画用于教学，还是学生拿来作为课前预习的实验，这对于物理概念和物理规律的掌握以及运用都有很大的帮助。
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第1期何秋静，等：新冠疫情下“停课不停学”的大学物理GeoGebra仿真单摆实验91
University Physics GeoGebra Simulation Pendulum Experiment
under the New Crown Epidemic Situation
HE Qiujing1,YANG Wentao2,WANG Xiaoya1,ZHI Qijun1
(1.College of Physics and Electronics,Guizhou Normal University,Guiyang550001,China；2.School of Physics and Electrical Engineering,Liupanshui Normal University,Liupanshui553004,China)
Abstract:Based on the technical route of dynamic mathematical software of GeoGebra,the simulation experiment of simple pendulum is made according to the technical route.This simulation experiment is easy to operate,easy to debug,and highly integrated with the real experiment.Teachers can not only use it as a preview experiment for students,but also can be used to explain the theoretical knowledge of pendulum to students. Key words:GeoGebra5.0software；pendulum；demonstration and simulation
(上接第78页)
参考文献：
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An Inertial Phenomenon Demonstration Device
GONG Hanli,DAI Wei
(College of Physical and Spacial Science,China West Normal University,Nanchong637002,China)
Abstract:The law of inertia,also known as Newton's first law,is one of the most important laws in classical physical mechanics.Static objects have inertia,and moving objects also have inertia.The newly designed demonstration device of inertia phenomenon of moving objects drives the screw slide table to move horizontally through a speed regulating DC motor.The metal ball falling device installed on the sliding table can demonstrate static and moving well.All objects have inertia.The instrument is simple in structure,easy to operate and intuitive in phenomenon.
Key words:inertia law；static；motion；inertia；demonstration device
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