电力系统及其自动化学报Proceedings of the CSU -EPSA 第33卷第2期2021年2月
Vol.33No.2Feb.
2021
基于BPA 潮流的电力系统中长期频率电压稳定仿真方法 夏冰清1，周
华2，何哲楠1，华文3，吴
浩1
（1.浙江大学电气工程学院，杭州310027；2.国网浙江省电力公司，杭州310007；
3.国网浙江省电力公司电力科学研究院，杭州310014）
摘要：随着电力系统的复杂化，电力系统中长期动态过程频率电压稳定对系统安全性的影响愈加明显。
针对该问题，提出了基于潮流计算的中长期准稳态时域仿真方法。该方法在传统时域仿真方法的基础上综合利用准稳态思想和潮流计算模块，再进一步针对效率问题提出自适应变步长仿真策略和多时步预测辅助方法。所提方法的算法主体部分和潮流计算部分分别在Mathematica 科学计算软件和BPA 潮流计算功能模块中实现，通过自定义数据接口进行数据对接。通过在Nordic32标准算例系统和某大区电网实际算例系统中对该方法进行验证，表明该方法显著降低实现成本，并提高了仿真计算的效率。
关键词：电力系统中长期频率电压稳定；准稳态仿真；自适应变步长；多时步预测；BPA ；Mathematica 中图分类号：TM732
文献标志码：A
文章编号：1003-8930（2021）02-0015-10
DOI ：10.19635/jki.csu -epsa.000495
Simulation Method for Mid -long Term Frequency and Voltage Stability of Power System
Based on BPA Power Flow Calculation
XIA Bingqing 1，ZHOU Hua 2，HE Zhenan 1，HUA Wen 3，WU Hao 1
（1.College of Electrical Engineering ，Zhejiang University ，Hangzhou 310027，China ；2.State Grid Zhejiang
Electric Power Company ，Hangzhou 310007，China ；3.Electric Power Research Institute ，State Grid Zhejiang
Electric Power Company ，Hangzhou 310014，China ）
Abstract:Along with the complexity of a power system ，the effects of the frequency and voltage stability of the power system in the mid -long term dynamic process on the system security are becoming more and more obvious.To solve this problem ，a mid -long term quasi -steady -state （QSS ）time -domain simulation method based on power flow calculation is
proposed.This method comprehensively uses the QSS idea and the power flow calculation module based on the tradition⁃al time -domain simulation method.Then ，aimed at the problem of efficiency ，a self -adaptation variable -step size simula⁃tion strategy and a multi -time step prediction auxiliary method are put forward.The main part and the power flow calcu⁃lation part of the proposed method are implemented in Mathematica scientific calculation software and BPA power flow calculation function module ，respectively ，and the data connection is performed through a customer data inte
rface.The proposed method is verified through the Nordic32standard example system and an actual example system of a large -scale power grid.Simulation results show that this method significantly reduces the implementation cost and improves the efficiency of simulation calculation.
Keywords:mid -long term frequency and voltage stability of power system ；quasi -steady -state （QSS ）simulation ；self -
adaption variable -step size ；multi -time step prediction ；BPA ；Mathematica
在电力需求不断攀升和电力系统规模快速发展的今天，为了保障电力系统的稳定运行，电网应用了大量的自动控制系统和保护装置，使得系统的动态行为变得非常复杂。由于不同控制系统或装置间的恶性交互可能危及较长时间后的系统稳定性，故在系统暂态稳定得以缓解的条件下，中长期动态过程对稳定性的影响逐步受到重视[1-3]。频
率稳定和电压稳定是电力系统稳定的两个重要方面，随着大规模直流输电、高比例可再生能源接入技术的广泛应用，受端侧电网中本地常规机组开机日益减少，使得电网调控能力下降，在直流故障导致的受电有功功率下降和无功功率需求上升的情况下，系统可能发生频率稳定或电压稳定问题，甚至两种稳定问题交织出现[4-5]，因此，在研究实际
收稿日期：2020-03-27；修回日期：2020-06-16
网络出版时间：2020-07-2115：28：03
基金项目：国家自然科学基金资助项目（51777184）；国家电网公司总部科技资助项目（521104170013）
电力系统及其自动化学报
·16·第2期
系统中长期动态过程时，需要同时分析频率稳定和电压稳定，也即研究电力系统中长期频率电压稳定问题。
考虑到频率稳定和电压稳定的失稳机理不同，现有研究大多沿袭电力系统稳定性分类方法将两种稳定问题独立研究。文献[6-7]针对中长期电压稳定问题建立了研究模型，分析了负荷恢复、发电机过励磁限制器、有载调压变压器分接头调整等因素对中长期电压稳定的影响，但忽略了中长期频率动态的相关模型；文献[8]研究了交直流混联系统的中长期频率稳定问题，分析了机组不等率、调频死区等因素对系统一次调频性能的影响，但忽略了中长期电压变化对系统有功平衡的影响。尽管传统中通常独立研究频率稳定性和电压稳定性，但频率和电压的变化却存在一定的相互影响，如系统电压的下降通常会减小负荷的有功需求，一定程度上有利于系统的频率稳定性；系统频率的下降却通常会增大系统的 无功需求，一定程度上不利于系统的电压稳定性；而低压或低频减载不仅有针对性地缓解系统低压或低频这一侧面的威胁，而且会影响到频率或电压的另一侧面。因此，为了更准确地分析系统的中长期稳定性，有必要综合考虑影响系统频率稳定和电压稳定的因素。
时域仿真法是各类稳定问题的基本的研究工具[9-11]。文献[12-13]针对电力系统中长期动态过程的分析需要，提出了准稳态QSS（quasi-steady-state）近似的思想，即在暂态稳定的前提下，将暂态过程用准稳态平衡方程代替，从而设计了准稳态仿真方法，简化电力系统中长期动态仿真，提高仿真效率，获得了广泛关注[14-16]。显然，该思想及其方法同样适用于中长期频率电压稳定问题，能够快速仿真各类中长期动态设备的动态响应，从而分析不同因素对系统稳定产生的影响。
本文针对电力系统中长期频率电压稳定问题，建立了综合考虑频率和电压稳定影响因素的准稳态仿真模型，提出了一种基于既有潮流计算程序的准稳态时域仿真方法，同时，在计算效率方面，提出了变步长仿真方法和基于多时步预测的初始值设定方法。最后基于BPA软件的潮流计算功能和
Mathematica软件[17]的开发平台，实现了所提出的中长期频率电压准稳态仿真方法，并通过Nordic32算例系统和某大区电网算例系统，研究了所提方法的有效性和对大规模系统的适应性。1中长期频率电压动态过程的准稳态模型1.1考虑频率电压动态的准稳态模型
对电力系统动态，若主要关注中长期过程，则在准稳态近似思想下，可对短期暂态过程进行简化，即
认为系统始终处于暂态平衡点上，将描述暂态过程的微分方程替换为代数方程，从而仅保留描述中长期动态的方程，形成电力系统动态的准稳态模型（简称QSS模型）。
为了准确反映电力系统的中长期频率电压动态过程，在QSS模型中，需要考虑影响中长期过程的各类因素，包括负荷恢复特性、有载调压变压器
OLTC（on-load tap changer）、发电机过励限制器OEL （over excitation limiter）、自动发电控制AGC（auto⁃matic generation control）等。一般地，电力系统中长期频率电压动态过程的QSS模型可抽象地写为
0=g a(x,y,z c,z d)（1）
0=g b(x,y,z c,z d)（2）
0=f(x,y,z c,z d)（3）
z c=h c(x,y,z c,z d)（4）
z d(k+1)=h d(x,y,z c,z d(k))（5）式中：x为暂态过程的状态变量，代表发电机转速、励磁大小、调速器信号量等；y为代数变量，代表节点电压、相角、注入功率等；z c和z d分别为中长期动态的连续状
态变量和离散状态变量，代表节点负荷恢复值、发电机节点AGC信号、OLTC变比等；k 为离散动态的仿真时刻计数。式（1）和式（2）分别为网络方程的潮流平衡部分和节点功率频率电压特性修正部分；式（3）为系统暂态过程所对应微分方程的平衡形式；式（4）和式（5）分别为描述系统中长期动态过程的连续和离散方程。各式的具体内容分述如下。
1.2中长期动态过程方程
中长期动态过程方程式（4）和式（5）反映了负荷恢复、OEL、OLTC、AGC等元件的慢动态过程，这些元件是引起中长期动态过程的主要元件，因此在QSS模型中，需保留其动态方程。由于篇幅限制，本文所涉及模型的详细内容见文献[18-22]。
1.3暂态过程的平衡方程
暂态过程的平衡方程式（3）反映了发电机组调速器、自动电压调节器、励磁系统等暂态元件的稳态平衡形式。其QSS模型推导的基本思想为：在中长期时间尺度下，这类元件的暂态过程已经结束，
夏冰清等：基于BPA 潮流的电力系统中长期频率电压稳定仿真方法
·17·
第33卷从而可用其暂态模型对应的稳态平衡形式描述其稳态特性。显然，暂态模型所对应的目标稳态不同
时，其稳态平衡形式也将不同。经典模型[6，23]
下，暂
态元件的QSS 模型的具体形式如下。
1）发电机组调速器QSS 模型
QSS 模型中可认为系统各节点频率始终保持
一致，即系统具有统一频率f ，从而系统的频率偏差Δf 为
Δf =f -f 0
（6）式中，f 0为额定频率。发电机组调速器的作用在QSS 模型中可表示为频率的一次调整，则发电机i 的有功功率P G i 为
P G i =P Gi 0-K G i Δf
（7）式中：
P G i 0为额定有功功率；K G i 为单位调节功率。2）自动电压调节器QSS 模型
发电机自动电压调节器AVR （automatic volt⁃
age regulator ）的作用在QSS 模型中可表示为：在OEL 未动作时，发电机i 机端电压保持恒定，即
U i -U i 0=0
（8）式中：
U i 为发电机机端电压；U i 0为参考电压。3）励磁系统QSS 模型在QSS 模型中，发电机励磁电压E fd 和功角δ
与发电机有功出力P G 和无功出力Q G 的关系[6]oel
可表示为
ìí
îïï
ïïïïïïïïP G i =E fd i U i r 2a i
+x di x qi [x qi
sin(δi -θi )+r a i cos(δi -θi )]+
(x di -x qi )U 2
i
2(r 2a i +x di x qi )
sin 2(δi -θi )-r a i U 2i r 2
a i +x di x qi Q G i =E fd i U i r 2a i
+x di x qi [x qi
cos(δi -θi )-r a i sin(δi -θi )]- U 2
i r 2
a i +x di x qi
[x qi cos 2(δi -θi )+x di sin 2(δi -θi )]（9）式中：
U i 和θi 为发电机i 的机端电压幅值和相角；r a i 、x di 和x qi 分别为发电机i 的定子电阻、d 轴电抗和q 轴电抗。需说明的是，由于系统处于准稳态过程，故可认为发电机功角δ与节点相角θ的差不受频率f 的影响。
4）自动发电控制AGC
自动发电控制作用是弥补调速器一次调频后的频率偏差。AGC 的典型控制方法一般以区域控
制偏差ACE （area control error ）信号作为控制标准，根据控制目的不同ACE 可主要分为3种模式：恒定频率控制、恒定交换功率控制以及联络线和频率偏差控制，如恒定频率控制下的ACE =Δf 。
由于在QSS 模型中已经忽略调速器的暂态过程，所以认为发电机出力响应可以跟随AGC 控制信号变化，但是其变化率依然受限于调频机组的爬坡速度（v ）。对于每个发电机的从没有系统偏差的t 0
时刻至t k 时刻，
AGC 信号表示为ΔP G =±min æèççöø
÷÷||||||||∑t 0
t k
B ACEΔtP G0,||v ()t k -t 0（10）式中：
正负号根据频率的调整方向决定；B 为偏差调节系数，一般设为1；P G0为发电机额定功率；v 为机组爬坡速度上限，
典型值为30MW/min ，Δt 为仿真步长。5）有载调压变压器OLTC 有载调压变压器一般用于调节负荷侧电压大小，起到稳压作用，是典型的电压调节离散型设备。典型模型中需要设置控制节点及其控制范围
以及动作时延，OLTC 的动作时延为8~12s ，动作逻辑可表示为n k +1=ìíîïïïïn k +Δn U 2>U 02+d 且n k <n max n k -Δn U 2<U 02-d 且n k <-n max n k 其他（11）式中：
n k 表示在k 时刻OLTC 设置的档位；Δn 为单次调节档位数，一般为1；U 2为控制电压（变压器二次侧电压）；U 02为二次侧目标电压；d 为控制死区；n max 为单向最大调节档位数。
1.4
考虑频率电压特性的网络方程
网络方程的潮流平衡部分式（1）可用节点功率平衡方程描述，即
ìí
î
ïï
ïï0=P i -U i ∑j ∈i U j (G ij cos θij +B ij sin θij )0=Q i -U i ∑j ∈i U j (G ij sin θij -B ij cos θij )（12）式中：P i 和Q i 分别为节点i 的注入有功功率和无功功率；
U i 和U j 分别为节点i 和j 的电压幅值；θij 、G ij 和B ij 分别为节点i 和j 间的相角差、电导和
电纳。同样地，由于系统具有统一频率f ，故θij 不受频率f 的影响。
显然，考虑系统的一次调频和AGC 特性、发电机的自动电压调节器和OEL 特性以及负荷的频率电压静态特性和恢复特性等后，式（10）的节点注入
电力系统及其自动化学报·18·
第2期
功率需要修正。方便起见，本文将相关修正方程汇总为式（2），具体分析如下。
（1）对发电机的有功功率P G i ，在一次调频特性式（7）的基础上，考虑AGC 后，可修正为
P G i =P G i 0-K G i Δf +ΔP G i
（13）式中，
ΔP G i 为AGC 指令出力调整值。（2）对发电机的无功功率Q G i ，在发电机OEL 动作的情况下可取固定最大值Q lim ，即
Q lim ={
E f d ,max U []x q cos ()δ-θ-r a sin ()δ-θ-}
U 2
[]x q cos 2
()δ-θ+x d sin 2
()δ-θ/()
r 2
a
+x d x q （14）
式中：
r a 、x d 、x q 、δ、θ、U 、E fd 分别为发电机的定子电阻、d 轴电抗、q 轴电抗、功角、机端电压幅值、机端电压相角和励磁电势，
E f d ,max 一般设为额定值的180%。
在发电机OEL 未动作的情况下，可认为AVR 将V i 控制为参考值，即式（8），其相应的Q G i 应保证节点无功功率平衡方程成立。
（3）对应负荷的有功功率P L i 和无功功率Q L i ，在考虑负荷频率电压特性后，可描述为
ìí
îïïx p =1T P
(P d -P L )P L =x p
+P 0(αP +βP U +γP U 2)(1+K P Δf )
（15）ìí
îïïx Q =1T Q
(Q d -Q L )Q L =x Q
+Q 0(αQ +βQ U +γQ U 2)(1+K Q Δf )
（16）式中：
P d 和Q d 为节点的功率需求；P L 、Q L 为实际有功功率与无功功率；P 0、
Q 0为额定电压及频率下的有功功率与无功功率；αP 、βP 、γP 分别为有功负荷恒功率、恒电流、恒阻抗部分的比例，αP +βP +γP =1，T P 和T Q 分别为有功功率和无功功率的恢复时间常数，典型值为30s ；U 为实际电压标幺值；K P 、K Q 分别为有功功率与无功功率的频率因子，典型值为4%/Hz 和0.
5%/Hz ；
Δf 为负荷母线频率偏差标幺值。
综上，考虑发电机和负荷的频率电压特性及中长期动态特性后，式（12）中的P i 和Q i 分别为
ìí
îP i =P G i -P L i Q i
=Q G i -Q L i （17）此即节点功率的频率电压特性修正方程式（2）。
表1汇总了本文QSS 模型涉及的变量，其中，n 、m 和k 分别为节点数、发电机数和负荷数。
需说明的是，式（1）对应于式（12），其方程数为2n ；式（2）对应于式（17），包含发电机和负荷的有功功率和无功功率修正方程，其方程数为2（m +k ）；由于AVR 等暂态过程平衡方程的影响已在式（2）中
考虑，
故式（3）仅对应于式（6）和式（9），相关方程数为2m +1。因此，式（1）~式（3）的方程数为2n
+4m +2k +1，其数与表1所涉及的变量数相等。2
基于潮流计算的准稳态仿真方法
2.1
基于交替求解法的准稳态仿真
与暂态仿真类似，准稳态仿真（简称QSS 仿真）需解取QSS 模型式（1）~式（5）的联立解，其关键在于代数方程式（1）~式（3）和微分-差分方程式（4）~式（5）的交接处理[23]。相较于联立式（1）~式（5）的直接求解方法，交替求解式（1）~式（3）和式（4）~式（5）的方法具有更好的灵活性，可分别为两者选取合适的算法，且各自修改或增减时，互不影响，更有利于编程实现。因此，本文采用交替求解法求解式（1）~式（5）的联立解。
为方便叙述，将全部变量(x ,y ,z c ,z d )记为X 。
由于改进欧拉法较好地兼顾了计算效率和精度，故
本文基于该方法实现交替求解，其具体步骤如下：
步骤1设仿真步长Δt 和仿真时间T ，置t =t 0；步骤2根据式（4）和式（5），计算t +Δt 时刻的z c 和z d ，有z c (t +Δt )=z c (t )+Δth c (X (t ))，z d (t +Δt )=
h d (X (t ))，并据此修改QSS 模型参数和元件状态；步骤3根据式（1）~式（3），由z c (t +Δt )和z d (t +Δt )
求解代数方程组，得到t +Δt 时刻x 和y 的取值x (t +Δt )、y (t +Δt )；
步骤4根据式（4）~式（5），更新t +Δt 时刻的z c
和z d 分别为：z c (t +Δt )=z c (t )+12Δt [
h c (X (t ))+h c (X (t +
]Δt ))，z d (t +Δt )=h d æèöø12X (t )+X (t +Δt )，
并据此更新QSS 模型参数和元件状态；
步骤5根据式（1）~式（3），由z c (t +Δt )和表1QSS 模型涉及的变量
Tab.1Variables associated with QSS model
变量P Q U q f E fd d
维数m+k m+k n n 1m m
说明
发电机和负荷的注入有功功率发电机和负荷的注入无功功率节点电压幅值节点电压相角系统频率发电机励磁电压发电机功角
公式编号
（1）/（2）/（3）（1）/（2）/（3）
（1）/（2）/（3）（1）/（3）（2）/（3）（3）（3）
夏冰清等：基于BPA潮流的电力系统中长期频率电压稳定仿真方法·19·第33卷
z d(t+Δt)再次求解代数方程组，得到t+Δt时刻x和y的值x(t+Δt)、y(t+Δt)；
步骤6令t=t+Δt，若t≥T，则停止仿真；否则，返回步骤2。
2.2基于潮流计算的代数方程求解
上述交替求解法步骤3和步骤5中，需求解代数方程式（1）~式（3）。该方程组可作为一般的非线性方程组，用牛顿法直接求解，但需要进行大量的编程开发。
从代数方程的具体形式来看，式（1）相对应的式（12）是代数方程的主体，在实际系统中占比通常超过50%，且去除某一发电机节点功率方程、并考虑发电机电压/无功控制方程式（8）和式（12）后，与普通的潮流方程完全相同；式（2）对应的式（15）和式（16）在给定U时，P、Q与f之间为简单的线性关系，而除去简单的式（6），式（3）包含的式（9）在给定P、Q、U和θ求取E fd和δ时为一系列独立的二元非线性方程组。针对上述特征，本文基于现有的潮流计算程序，求解代数方程式（1）~式（3），以提高程序的开发效率。
基于潮流计算的代数方程具体求解步骤如下：
步骤1由发电机OEL状态及AVR参考电压，确定发电机节点作为PV节点时的U或PQ节点时的Q，将无电压控制能力的负荷等节点作为PQ节点，并选取某参与AGC调节且储备较大的发电机节点作为平衡节点，设其相角为参考相角；
步骤2设相关待求变量的初始值（以上标0表示），置迭代计数器k=1；
步骤3将除平衡节点外的P k-1、PQ节点的Q k-1以及PV节点和平衡节点的U k-1代入除平衡节点功率方
程的式（12），通过潮流计算，求取相关节点的U k和θk，进而计算平衡节点的功率、PQ节点的无功功率以及系统的有功网损；
步骤4将U k代入式（15），并假设系统有功网损不变，根据系统总发电与网损和总用电平衡的恒等关系，计算f k，进而由式（15）和式（16）更新P k、Q k；
步骤5若变量P、Q、U、θ、f的第k-1次和第k 次迭代值之差的最大绝对值大于允许误差，且k小于最大迭代次数，则k=k+1，返回步骤3；
步骤6由式（9）计算各发电机的E fd和δ，停止迭代。
需说明的是，由于发电机能否维系机端电压恒定取决于QSS模型式（5）确定的发电机OEL状态，故上述潮流迭代计算过程中，不考虑发电机节点在PV节点和PQ节点之间的类型转换。
图1为本文所提基于潮流计算的代数方程求解方法，其中潮流计算由BPA程序完成，其余计算在Mathematica软件中实现。
2.3提升QSS仿真效率的方法
QSS仿真的总计算时间大致正比于总仿真时步数N step与单个时步计算时间T step的乘积，因此，为
了提升QSS仿真的效率，可通过增加步长的方法减少N step，或通过改善迭代初始值的方法减少T step。
2.3.1考虑离散动作特性的自适应变步长策略QSS仿真步长的增加可减小N step，但会带来一定的误差。误差的主要来源是数值积分方法的舍入误差、截断误差和交替求解中的交接误差。舍入误差随步长的增加而减小[24]，而QSS仿真步长通常可达0.2~1.0s[25-26]，故可忽略不计。交接误差受限于BPA潮流计算输出结果的精度，故本文不考虑。
截断误差与数值积分方法相关。采用改进欧拉积分法对y(t)积分时，截断误差ε与步长的三次方和y(t)三阶导数y (t)的绝对值成正比[24]，即ε≈|||
|
||
16h3y (t)（18）由于系统中长期动态主要受离散设备动作的影响，故在离散设备动作后，系统的连续动态逐步趋于平稳，从而积分函数三阶导数y (t)的绝对值也逐步减小。因此，为了平衡仿真效率和截断误差，可在故障或离散设备动作后，以小步长仿真，并随仿真的推进，逐步增大仿真步长。据此，2次离散动作之间的变步长策略为
h
i+1=αi h i（19）式中：h
i
和h
i+1
分别为第i步和第i+1步的步长；α
i 为变步长系数。
变步长系数α
i
的选取应使第i+1步的截断误差e小于等于最大允许截断误差εmax。为了确保该约束始终满足，引入裕度系数0.9，从而有
|
||
|
||
16(αi h i)3y (t t+1)≤0.9ε
max（20）图1基于潮流计算的代数方程求解示意
Fig.1Schematic of solving algebraic equation based on power flow calculation
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