学习目标
1. 进一步理解组合的意义，区分排列与组合；
2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；
3. 熟练运用排列与组合，解较简单的应用问题.
学习过程
一、课前准备
复习1：⑴ 从 个 元素中取出 个元素的 组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数，用符号 表示；从 个 元素中取出 （）个元素的 的个数，叫做从n个不同元素取出m元素的排列数，用符合 表示.
⑵ ＝
＝ ＝
与关系公式是
复习2：
组合数的性质1： ．
组合数的性质2： ．
二、新课导学
问题：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：
⑴ 这位教练从17位学员中可以形成多少种学员上场方案？
⑵ 如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？
新知：排列组合在实际运用中，可以同时使用，但要分清他们的使用条件：排列与元素的顺序有关，而组合只要选出元素即可，不要考虑元素的顺序.
试试：⑴平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？
⑵平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段多少条？
反思：排列组合在一个问题中能同时使用吗？
※ 典型例题
例1 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
⑴ 有多少种不同的抽法？
⑵ 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
⑶ 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
变式“抗震救灾，众志成城”，在我国“四川5·12”抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调 6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
小结：对综合应用两个计数原理以及组合知识问题，思路是：先分类，后分步 .
例2将6本不同的书，分配给甲、乙、丙三人，问如下分配的分配方法各有多少种？
(1)甲一本，乙两本，丙三本？
(2)其中有一人一本，有一人两本，有一人三本？
(3)甲、乙、丙每人两本？
(4)分成三堆，每堆两本？
变式：有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？
(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；
(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；
(3)甲、乙、丙各得3本．
※ 动手试试
有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：辣椒种植技术
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文科代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；
(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正确区分排列组合问题
2. 对综合问题，要“先分类，后分步”，对特别元素，应优先考虑.
※ 当堂检测
1. (2013·北京高考)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．
2. (2013·重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．
3.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个(用数字作答)．
4.小张正在玩“QQ农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有________.
5.从6名运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？
答案
问题：（1）；（2）
试试：【解析】 (1)以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有C＝＝45(条)．
(2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有A＝10×9＝90(条)．
例1. 【解析】 (1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所有共有C＝＝161 700(种)．
(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C×C＝9 506(种)．
(3)方法一 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C×C种，则有2件次品的抽法为CC种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C×C＋C×C＝9 604(种)．
方法二 抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即C－C＝161 700－152 096＝9 604(种)．
变式：【解析】 (1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C＝90(种)抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法．
方法一 (直接法)
按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有C·C种选法；
②选3名外科专家，共有C·C种选法；
③选4名外科专家，共有C·C种选法；
根据分类加法计数原理，共有C·C＋C·C＋C·C＝185(种)抽调方法．
方法二 (间接法)
不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C·C种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：C－C·C－C＝185(种)抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有C种选法；
②有1名外科专家参加，有C·C种选法；
③有2名外科专家参加，有C·C种选法．
所以共有C＋C·C＋C·C＝115(种)抽调方法．
例2. 【解析】 (1)甲一本，有C种取法；乙从剩余的5本中任取2本，有C种取法；丙有C种取法，故有C·C·C＝60种取法．
(2)有一人一本，有一人两本，有一人三本，没指定哪个人几本，故在(1)的情况下，甲、乙、丙手中的书可以任意交换，故有C·C·C·A＝360种分配法．
(3)同(1)一样，甲、乙、丙依次去取书，共有C·C·C＝90种分配方法．
(4)分成三堆，每堆两本，注意与(3)中的情况不同，假如在(3)中甲选AB，乙选CD，丙选EF，这是一种分法，将AB，CD，EF任意交换得到甲、乙、丙不同的分法．如甲CD，乙AB，丙EF或甲EF，乙AB，丙CD，…，而分成三堆都属于同一种分法．故应有＝15种分配方法．
变式：【解析】 (1)由题意得：CCC＝1 260，
所以甲得4本，乙得3本，丙得2本的分法共有1 260种．
(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本，这件事分两步完成．
第一步：按4本、3本、2本分成三组，有CCC种方法；
第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A种方法．
根据分步乘法计数原理知，共有不同的分法
CCCA＝7 560(种)．
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