离散数学作业布置
第1次作业(P15)
1.16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。 解:(1)p∨(q∧r)=0∨(0∧1)=0
(2)(p↔r)∧(﹁q∨s)=(0↔1)∧(1∨1)=0∧1 =0
(3)(﹁p∧﹁q∧r)↔(p∧q∧﹁r)=(1∧1∧1)↔ (0∧0∧0)=0
(4)( r∧s)→(p∧ q)=(0∧1)→(1∧0)=0→0=1
1.17 判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。并且,如果3是无理数,则 也是无理数。另外只有6能被2整除,6才能被4整除。” 解: p: π是无理数 1
q: 3是无理数 0
r: 是无理数 1
s: 6能被2整除 1
t: 6能被4整除 0
命题符号化为: p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。
(4)(p→q) →(﹁q→﹁p)
(5)(p∧r) ↔ (﹁p∧﹁ q)
(6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)
解: (4)
p q p→q q p q→ p (p→q)→( q→ p)
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0 1
1 1 1 0 0 1 1
所以公式类型为永真式 ,最后一列全为1
(5)公式类型为可满足式(方法如上例),最后一列至少有一个1
(6)公式类型为永真式(方法如上例,最后一列全为1)。
第2次作业(P38)
2.3 用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值. (1) ﹁(p∧q→q)
(2)(p→(p∨q))∨(p→r)
(3)(p∨q)→(p∧r)
解:(1) ﹁(p∧q→q) undefined﹁(﹁(p∧q) ∨q) undefined(p∧q) ∧﹁qp∧(q ∧﹁q)
p∧0 0
所以公式类型为矛盾式
(2)(p→(p∨q))∨(p→r) undefined (﹁p∨(p∨q))∨(﹁ p∨r) undefined﹁p∨p∨q∨r1
所以公式类型为永真式
(3) (p∨q) → (p∧r) undefined ¬(p∨q) ∨ (p∧r) undefined (¬p∧¬q) ∨(p∧r)
易见, 是可满足式, 但不是重言式. 成真赋值为: 000,001, 101, 111
P q r ¬p∧¬q p∧r (¬p∧¬q) ∨(p∧r)
0 0 0 1 0 1
0 0 1 1 0 1
0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1
1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 1 1
所以公式类型为可满足式
2.4 用等值演算法证明下面等值式:
(2) ( (p→q)∧(p→r) ) (p→(q∧r))
(4)(p∧﹁q)∨(﹁p∧q) (p∨q)∧﹁(p∧q)
证明(2)(p→q)∧(p→r)
( ﹁p∨q)∧(﹁p∨r)
﹁p∨(q∧r))
p→(q∧r)
(4)(p∧﹁q)∨(﹁p∧q) undefined (p∨(﹁p∧q)) ∧(﹁q∨(﹁p∧q) )
(p∨﹁p)∧(p∨q)∧(﹁q∨﹁p) ∧(﹁q∨q)
1∧(p∨q)∧ (﹁p∨﹁q)∧1
(p∨q)∧﹁(p∧q)
第3次作业(P38)
2.5 求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值:
(1)( ¬p→q) →(¬q∨p)
(2) (¬p→q) ∧q∧r
(3)(p∨ (q∧r)) →(p∨q∨r)
(4) ¬(p→q) ∧q∧r
解:
(1)(¬p→q) →(¬q∨p)
undefined¬(p∨q) ∨(¬q∨p)
undefined¬p∧¬q ∨¬q ∨p
undefined¬q ∨p (吸收律)
(¬p∨p)∧¬q ∨p∧(¬q∨q)
undefined¬p∧¬q∨p∧¬q ∨p∧¬q ∨p∧q
undefinedm0∨m2∨m2∨m3
undefinedm0∨m2∨m3
成真赋值为 00, 10, 11.
(2) (¬p→q) ∧q∧r
undefined (p∨q) ∧q∧r
undefined (p∧q∧r) ∨q∧r
undefined (p∧q∧r) ∨(¬p ∨p) ∧q∧r
undefinedp∧q∧r∨¬p ∧q∧r∨p∧q∧r
m3∨m7
成真赋值为011,111.
(3) (p∨(q∧r)) →(p∨q∨r)
undefined¬(p∨(q∧r)) ∨(p∨q∨r)
undefined¬p∧¬(q∧r) ∨(p∨q∨r)
undefined¬p∧(¬q∨¬r)∨(p∨q∨r)
undefined¬p∧¬q∨¬p∧¬r∨p∨q∨r
undefined¬p∧¬q∧(r∨¬r)∨¬p∧(q∨¬q)∧¬r∨p∧(q∨¬q) ∧(r∨¬r)
∨ (p∨¬p) ∧q∧(r∨¬r)∨(p∨¬p) ∧(q∨¬q) ∧r
undefinedm0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7, 为重言式.
(4) ¬(p→q) ∧q∧r
undefined¬(¬p∨q) ∧q∧r
undefined (p∧¬q) ∧q∧r
undefined p∧(¬q ∧q)∧r
undefined0
主析取范式为0, 无成真赋值, 为矛盾式.
第4次作业(P38)
2.6 求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值:
(1) ¬(q→¬p) ∧¬p
(2)(p∧q) ∨ (¬p∨r)
(3)(p→(p∨q)) ∨r
解:
(1) ¬(q→¬p) ∧¬p
undefined¬(¬q∨¬p) ∧¬p
undefinedq∧p ∧¬p
undefinedq∧0
undefined0
undefinedM0∧M1∧M2∧M3
这是矛盾式. 成假赋值为 00, 01, 10, 11.
(2)(p∧q) ∨ (¬p∨r)
undefined(p∧q) ∨¬p∨r
undefined(p∨¬p)∧(¬p ∨q)∨r
(¬p ∨q)∨r
¬p ∨q∨r
undefinedM4, 成假赋值为100.
(3)(p→(p∨q)) ∨r
undefined(¬p∨(p∨q)) ∨r
undefined(¬p∨p)∨q ∨r
1
主合取范式为p.r.s1, 为重言式.
第5次作业(P41)
(1) (¬p∨q) ∧ (¬p∨r) ∧ (¬q∨¬r) ∧ (p∨¬r) ∧r
(2) ¬((p∨q) ∧ ¬p→q)
解:
(1) (¬p∨q) ∧ (¬p∨r) ∧ (¬q∨¬r) ∧ (p∨¬r) ∧r
第一次循环 S0=Φ, S1={¬p∨q,¬p∨r,¬q∨¬r,p∨¬r,r}, S2=Φ
由¬p∨r, p∨¬r消解得到λ
输出“no”,计算结束
(2) ¬((p∨q) ∧ ¬p→q)
undefined¬(¬((p∨q) ∧ ¬p) ∨q)
((p∨q) ∧ ¬p) ∧¬q
undefined (p∨q) ∧ ¬p ∧¬q
第一次循环 S0=Φ, S1={p∨q,¬p, ¬q}, S2=Φ
由p∨q,¬p消解得到q,
由q, ¬q消解得到λ,
输出“no”,计算结束
2.33 用消解法判断下述公式是否可满足的:
(1) p∧ (¬p∨¬q) ∧q
(2) (p∨q) ∧(p∨¬q) ∧(¬p∨ r)
解:
(1) p∧ (¬p∨¬q) ∧q
第一次循环 S0=Φ, S1={p, ¬p∨¬q, q}, S2=Φ
由p, ¬p∨¬q消解得到¬q,
由q, ¬q消解得到λ,
输出“no”,计算结束
(2) (p∨q) ∧(p∨¬q) ∧(¬p∨ r)
第一次循环 S0=Φ, S1={p∨q, p∨¬q, ¬p∨ r}, S2=Φ
由p∨q, p∨¬q消解得到p,
由p∨q, ¬p∨ r消解得到q ∨r,
由p∨¬q, ¬p∨ r消解得到¬q ∨r,
由p, ¬p∨ r消解得到r,
S2={p, q ∨r, ¬q ∨r, r}
第二次循环 S0={p∨q, p∨¬q, ¬p∨ r}, S1={p, q ∨r, ¬q ∨r, r}, S2=Φ
由p∨q, ¬q ∨r消解得到p∨r,
由p∨¬q, q ∨r消解得到p∨r,
由p∨¬q, q ∨r消解得到p∨r,
由¬p∨ r, p 消解得到r,
S2={p∨r}
第三次循环 S0={p, q ∨r, ¬q ∨r, r}, S1={p∨r}, S2=Φ
S2=Φ
输出“yes”,计算结束
第6次作业(P52)
3.6 判断下面推理是否正确. 先将简单命题符号化, 再写出前提, 结论, 推理的形式结构(以蕴涵式的形式给
出)和判断过程(至少给出两种判断方法):
(1)若今天是星期一, 则明天是星期三;今天是星期一. 所以明天是星期三.
(2)若今天是星期一, 则明天是星期二;明天是星期二. 所以今天是星期一.
(3)若今天是星期一, 则明天是星期三;明天不是星期三. 所以今天不是星期一.
(4)若今天是星期一, 则明天是星期二;今天不是星期一. 所以明天不是星期二.
(5)若今天是星期一, 则明天是星期二或星期三. 今天是星期一. 所以明天是星期二.
(6)今天是星期一当且仅当明天是星期三;今天不是星期一. 所以明天不是星期三.
设p: 今天是星期一, q: 明天是星期二, r: 明天是星期三.
(1)推理的形式结构为
(p→r) ∧p→r
此形式结构为重言式, 即
(p→r) ∧pr
所以推理正确.
(2)推理的形式结构为