一、直线一级倒立摆建模
对于倒立摆系统，经过小心假设忽略掉一些次要因素后，倒立摆系统就是一个典型的刚体运动系统，可以在惯性坐标系统内应用景点力学理论建立系统的动力学方程。微分方程的推导：在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1所示. 图1
做如下假设：
M 小车质量
m 摆杆质量
b 小车摩擦系数
L 摆杆转动轴心到杆质心的长度
I 摆杆惯量
F 加在小车上的力
x 小车位置
θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑带摆杆初始位置为竖直向下）
图2
图2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车和摆杆的相互作用力的水平和垂直方向的分量。在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，所以矢量方向定义如图2所示，图示方向为矢量的正方向。
分析小车水平方向所受合力，可以得到方程：
（式1）
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
= （式2、式3）
将式3代入式1可得系统第一个运动方程：
（式4）
为了推出系统第二个运动方程，对摆杆垂直向上的合力进行分析可得方程：
= （式5 式6）
力矩平衡方程如下：
（式7）
式中：
合并式6、式7得第二个运动方程：
（式8）
设θ=π+φ （φ倒立摆 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ 与 1（单位是弧度）相比很小，即φ <<1，则可以进行近似处理：
用 u 来代表被控对象的输入力 F，线性化后两个运动方程如下： （式9）
对式(3-9)进行拉普拉斯变换（推导传递函数时假设初始条件为 0。）：
（式10）
整理后得到传递函数：
（式11）
其中：
2、状态空间方程
设系统状态空间方程为： （式12）
方程组 对解代 数方程，得到解如下：
（式13）
整理后得到系统状态空间方程：
（式14）
3、实际系统模型
假定系统物理参数设计如下：
M 小车质量 1.08Kg
m 摆杆质量 0.1Kg
b 小车摩擦系数 0.1N/m/sec
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.3m
I 摆杆惯量 0.0027Kg*m*m
将上述参数带入，可以得到以外界作用力作为输入的系统状态方程：
二、对象的性能分析
1、分析系统的单位阶跃响应：
a=[0 1 0 0;0 -0.0914849 0.689655 0;0 0 0 1;0 -0.234577 26.8966 0]
b=[0;0.914849;0;2.34577]
c=[1 0 0 0;0 0 1 0]
d=[0;0]
a =
0 1.0000 0 0
0 -0.0915 0.6897 0
0 0 0 1.0000
0 -0.2346 26.8966 0
b =
0
0.9148
0
2.3458
c =
1 0 0 0
0 0 1 0
d =
0
0
利用传递函数得到如下响应曲线
[num,den]=ss2tf(a,b,c,d)
num =
0 -0.0000 0.9148 0.0000 -22.9886
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