倒⽴摆的模糊控制实验（基于matlabsimulink 仿真） 本⽂⽬录
实验⽬的：理解和掌握模糊控制系统的构成和设计⽅法，为实际⼯程应⽤打下基础。
基本要求：掌握以误差及其变化率为输⼊的典型模糊控制器的设计⽅法，了解影响模糊控制器性能的关键参数及调节⽅法。针对被控对象，构建合适的模糊控制器，搭建模糊控制系统。 实验内容提要：针对典型的⼆阶以上被控对象，设计模糊控制器。包括控制器输⼊输出量的选择，输⼊输出论域的模糊划分，模糊规则库的建⽴等。利⽤设计完成的模糊控制在Simulink中搭建模糊控制系统，要求该系统稳定且具有良好的动态及稳态特性。 实验⼯作概述：主要针对倒⽴摆进⾏了建模与模糊控制仿真，其中实验1-1是仅针对⾓度的模糊PID控制，实验1-2是针对位置与⾓度的分段模糊控制。后⾯也尝试进⾏了⼆级倒⽴摆的模糊控制设计，但由于知识⽔平不够没能完全实现，仅实现了第⼀级的直⽴控制。
实验1 单级倒⽴摆的PID 模糊控制
⼀、被动对象数学描述与特性分析
关于倒⽴摆的相关背景：倒⽴摆，Inverted Pendulum ，是典型的多变量、⾼阶次、⾮线性、强耦合、⾃然不稳定系统。倒⽴摆系统的稳定控制是控制理论中的典型问题，在倒⽴摆的控制过程中能有效反映控制理论中的许多关键问题 ，如⾮线性问题、鲁棒性问题、随动问题、镇定、跟踪问题等。因此倒⽴摆系统作为控制理论教学与科研中典型的物理模型 ，常被⽤来检验新的控制理论和算法的正确性及其在 实际应⽤中的有效性。所以我此次实验采⽤⼀阶倒⽴摆来验证。当摆杆夹⾓很⼩时，近似线性化处理：
根据微分⽅程组做拉普拉斯变换联⽴求得外⼒针对⾓度的传递函数：
将各种参数输⼊matlab，
编辑⼀个函数脚本GetPendulum来求传递函数的系数：
function [G] = GetPendulum(M,m,l)b = 0.15;I = 0.005;g = 9.81;
q = (M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2;num = [m*l/q 0 0];
den = [1 b*(I+m*l^2)/q (-(M+m)*m*g*l)/q (-b*m*g*l)/q 0];G=tf(num,den);end
当M=2，m=0.8，l=0.25时，求得：
这是⼀个典型的⼆阶系统
⼆、模糊控制器的设计步骤与具体参数选择
模糊集合设计：
(I +ml )+2θ¨mglθ=mlx ¨
(M +m )+x ¨b −x ˙ml =θ
¨u =
U (s )
ϕ(s )
s +s −s −s
4q b (I +ml )23q (M +m )mgl 2q bmql
s q ml 22
总共有两个输⼊三个输出，输⼊⾓度和⾓度微分的模糊集合划分都相同，论域为[-5,5]，模糊集合为3个，分别命名为：[N Z P]，输出P I D 三个参数的范围分别为[110，120]，[115，125]，[80，90]，模糊集合为3个命名为：[S M B]它们的分布如上图所⽰。模糊规则库的设计：
整个模糊控制器如下：
三、控制系统仿真程序的设计步骤与运⾏结果
在simulink中搭建简单的反馈控制模型，其中两个并⾏系统的控制任务分别由模糊PID控制器和普通PID控制器担任。普通PID控制器的三个控制参数分别选为：P:115 I:120 D:85。
输⼊分别选择阶跃信号和随机信号，对⽐输出结果：
阶跃信号输出结果
随机信号输出结果
四、总结与结论
可以看出，对于阶跃输⼊，虽然普通PID控制器响应较快，但是模糊PID控制效果相⽐更加平滑。⽽对于随机信号输⼊，普通PID的输出已经⼏乎跟随输⼊信号，失去了控制效果，⽽模糊PID控制器可以较好地克服随机信号的⼲扰，输出⽐较平滑且稳定。
当然，这只是将⾮线性的倒⽴摆系统简单地在平衡点附近近似为线性系统，所以对于⾮线性的倒⽴摆系统来说，当⾓度⽐较⼤时便不再适⽤，⽽且输⼊仅为⾓度，⽆法做到对于位置的控制，甚⾄有可能超出运动范围。这种设计在实际应⽤中可能并不合理，所以下⾯我设计了倒⽴摆的分段模糊控制系统。
实验2 单级倒⽴摆的分段模糊控制
⼀、被动对象数学描述与特性分析
重新建⽴单级倒⽴摆的精确微分⽅程模型
单级倒⽴摆⽰意图如下：各种参数含义与取值：
符号
物理意义单位与⼤⼩
⼩车质量2kg ⼩球质量0.8kg 摆杆长度0.25m ⼩车摩擦系数0.005kg/s 摆杆摩擦系数0.0005⼩车受⼒（控制⼒）-N ⼩车和⼩球位移
-m 摆杆摆⾓
-rad
建模过程：
由于现代控制理论中状态空间的相关内容还没有学完，我在这⾥只建⽴最朴素的微分⽅程模型，代⼊simulink直接求值。根据拉格朗⽇⽅程，我们可以列出倒⽴摆的运动关系：
在上式中：
将和代⼊中得：
此时列拉普拉斯⽅程：
在上式中代⼊得：
解出对应的和：
M m l b x b θkgm /s
2F x ,x 2θ
L =T −V =1/2Mv −12
mgcosθ
v =12
x ˙2
v =
2
2((x −d t d
lsinθ))+2
((lcosθ))=d t d
2
−x ˙22l cosθ+x ˙θ
˙l 2θ˙2v 12
v 22
L L =1/2(M +m )=x ˙2ml cosθ+x ˙θ
˙1/2ml =2θ˙2mgcosθ()−d t d d x ˙d L =d x d L
F −b x x ˙()−d t d d θ˙d L =d θ
d L
b θθ
˙L (M +m )−x ¨ml cosθ+θ¨ml sinθ=θ˙2F −b x x ˙−cosθ+x ¨l −θ
¨gsinθ=−b θθ˙θ¨x ¨
此时利⽤状态空间⽅程的⼀点知识，构建状态变量：
列出四个状态变量的表达式：
它们就是我们得出的微分⽅程模型。
⼆、模糊控制器的设计步骤与具体参数选择
初步设计：
模糊集合设计：
总共有两个输⼊⼀个输出，三者模糊集合的划分都相同，此处仅列出误差e和输出u。论域为[-6,6]，模糊集合为5个，分别命名为：[NB NS ZO PS PB]，它们的分布如上图所⽰。由于在偏差过⼤时输出的控制应当⼏乎相同，故两侧的模糊集合曲线为梯形。模糊规则库的设计：
e\ de NB NS ZO PS PB NB NB NB NB NS NB NS NB NB NS PB PS ZO NB NB ZO PB PB PS PS NB PS PB PB PB
PB
PS
PB
PB
PB
=θ¨1/(l
=cosθ(M +m )
倒立摆mlcosθ)[(M +m )gtanθ=
b −cosθ(M +m )
θθ
˙ml sinθ+θ˙2F −b ]
x x ˙=
x ¨(mgsinθcosθ−M +m =mcos θ21
mb cosθ−θθ
˙ml sinθ+θ˙2F −b )
x x ˙[x x x x ]=1234T [x θ
]x ˙θ
˙T =x ˙1x 2=
x ˙2(mgsinx cosx −M +m −mcos x 231
33
mb x cosx −θ43mlx sinx +42
3F −b x )
x 2=x ˙3x 4=
x ˙4[(M +l −mlcosx cosx 3(M +m )3
1
m )gtanx −
3b x −cosx 3(M +m )
θ4
mx sinx +42
3F −b x ]
x 2
在实际仿真中，经过⼀系列的实验，我发现在这种参数设置下控制效果最好，但是控制精度似乎还不尽如⼈意，所以我考虑将位置和⾓度的模糊控制器分别设计并增加控制器的精度。
改进设计：
模糊集合设计：
总共有两个输⼊⼀个输出，三者模糊集合的划分都相同，此处仅列出误差e和输出u。论域为[-6,6]，模糊集合为7个，分别命名为：[NB NM NS ZO PS PM PB]，它们的分布如上图所⽰。
模糊规则库的设计：
位置规则库：
e\de NB NM NS ZO PS PM PB
NB NB NB NB NM NM NS NS
NM NB NB NM NM NS NS ZO
NS NM NM NS NS ZO PS PS
ZO NM NS NS ZO PS PS PM
PS NS NS ZO PS PS PM PM
PM ZO ZO PS PS PM PM PB
PB PS PS PM PM PB PB PB
⾓度规则库：
e\de NB NM NS ZO PS PM PB
NB NB NB NB NB NM ZO ZO
NM NB NB NB NM NM ZO ZO
NS NM NM NM NS ZO PS PS
ZO NM NM NS ZO PS PM PM
PS NM NS ZO PS PM PM PM
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