倒立摆系统外文翻译文献(文档含中英文对照即英文原文和中文翻译) 译文：
倒立摆系统
倒立摆系统是一种广泛应用的实验平台，在该平台上，可以采用反馈控制理论镇定不稳定的开环系统使之达到稳定状态。这个问题的第一个的解决方法是在Roberge[1]的一篇名为《机械密封》的论文中做出了描述。随后，它作为一种不稳定系统的范例被用于许多报刊书籍。
Siebert[2,177-182页]运用劳斯判据对这个系统做了完整的分析，通过乘以一个特征方程作为S的多项式的系数的研究。虽然正确，但这种做法是不必要的。此系统就是一种理想的根轨迹分析范例。 图1倒立摆的几何结构图
考虑倒立摆系统如图1所示。在垂直方向产生的摆角θ的角重力加速度值等于
倒立摆
()θθsin /g
l g = ，而小车在x 方向产生的角加速度为θθcos )/(x l x -=。写出这些加速度的运动方程，使之线性化，再进行拉普拉斯变换，我们得到了传递函数G(s)如下： )
1)(1(/)()()(cos )/(sin )/(222g -+-=--=Θ=-=--=+=s s g s g ls s s X s s G x
g l l x l g L L x
ττθθθθθθθ
其中时间常数L τ定义为g l /L =τ。该传递函数有一个在右半边，和我们对不稳定系统所预期一致的极点。
我们开始进行反馈设计，通过有传递函数M(s)控制的电机发动小车，并用比例电压启动电机使之形成 角θ。包括常见的运动传递函数： )
1()()()(+==s s k s V s X s M M M τ
图2 摆杆和电机的根轨迹图，)()()(s G s M s L = 通过函数G(s)，我们得到了一个极点保持在右半边的根轨迹。使用规范化编号，我们得到了如图2所示的根轨迹图。
为了稳定系统，我们需要摆脱剩余的零点起源，以便极点能在左半边的正实轴移动形成轨迹。因此我们的补偿器必须包括一个在原点的极点。然而，我们必须平衡增加的补偿器极点和一项附加零，以便是少于零点数量的极点数量在远离根轨迹渐近线的±90°的为止仍然等于两个（否则，渐近线将变成±180°和±60°。它将最终导致极点产生在右半边）。因此，我们用一个补偿器
s
s s K K K ττ1)(+= 同时我们假定L K M τττ<<。该系统的方块框图如图3所示，而根轨迹图则如图4（请注意：只要将G(s)倒置，我们就能画出正数总和结点的框图）。
图3补偿系统的框图
图4 摆杆综合补偿的根轨迹图，)()()()(s G s M s K s L
Siebert 解释说这个积分器所需的物理解释是根据我们所用的二阶压控马达而产生的。没有积分常数角误差只能实现车的恒速运动，但这不足以使摆杆直立。为了能在摆杆的“下面”，小车必须被加速。因此，我们需要一个积分器。
该系统现在已经的确稳定了，但是，它的根轨迹仍非常接近j ω轴。结论是闭环系统有非常低利润的稳定性并且会有很振荡的反应的障碍。一个简单的解决问题的办法是降低电机时间常数和速度反馈，使
其质心的渐进线移动到左边。该系统的根轨迹图则如图5所示。
图5改善点击时间常数的摆杆根轨迹图
不幸的是，该系统仍然存在一个很微妙的问题。考虑从)(t c θ到)(t x 的闭环传递函数如图3所示。
))
1)(/()1)(1()1)(1((1)()()(1)()()()(22222++-+-+=-=Θs g k s s s s k s s G s M s K s M s K s s X K M L M K L K M c ττττττ 在原点的极点是系统受到漂移。通过这些积分器，莫非定律保证)(t x 的反应时间会无限制地增长，而小车将会迅速的抛出轨道。
解决办法就是在电机和补偿器周围加上正反馈。该反馈回路将会影响原点到极点的运动，从而防止零极点取消来源是无法控制的模式。系统现在的根轨迹图则如图6所示。
图6摆杆在补偿位置的根轨迹图
Siebert 指出，这种正反馈会使电机最初在)(t x 有严重的偏差，但这种行为是理想的效果。为了使手上的尺保持平衡，当尺移到右边时，你必须首先迅速将你的手向左急转，指向尺的右边，以便当你的手赶上尺子，你必须同时将你的手和尺移到右边。
物理上，摆杆会稳定在离垂直方向的一个小角度，这样它总是指向轨道的中心。因此，摆杆总是“落”在轨道的中心，而唯一可能的平衡点就是在轨道中间的垂直摆杆。如果小车在轨道中心的左边，控制稳定摆杆指向右，以便它之后向右靠一点。为了赶上倒下的摆杆，小车必须向右移动（返回到中心）。这样就会运动到理想状态！
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