摘要：本文研究了二阶倒立摆系统的控制方法，采用极点配置、LQR最优控制设计了控制器，通过仿真，分析指出各种方法的优缺点。在极点配置法中，通过仿真实验寻优，得到具有较好稳定性的初始值。在LQR最优控制器的设计中，采用仿真结果表明：该控制策略能满足系统的控制要求，系统具有良好的动态性能。 关键词：二阶倒立摆极点配置LQR最优控制
倒立摆系统是应用于自动控制理论的经典实验装置，是一个复杂的多变量、高度非线性、强耦合和快速运动的绝对不稳定系统，对于倒立摆的稳定性控制，不仅有重要的理论意义，而且还有很重要的工程意义。一方面倒立摆系统成本低廉，结构简单，物理参数和结构容易调整的优点，在实验条件下容易实现。对于倒立摆的控制会涉及控制中的许多关键问题，如镇定问题、跟踪问题、随动问题、非线性问题、及鲁棒性问题。另一方面，任何重心在上，支点在下的控制问题都可以近似于倒立摆系统，如机器人行走的平衡问题，火箭发射的垂直控制和卫星飞行中的姿态控制等。
1 二阶倒立摆系统
二阶倒立摆系统的机械部分主要由小车、摆杆1,2、导轨、皮带轮、传动皮带等组成，电气部分由电机、功率放大器、PWM、传感器、驱动电路以及保护电路组成。 倒立摆
1.1 二阶倒立摆的数学模型[1]
假设：摆杆及小车为刚体；皮带轮及皮带间无相对滑动，皮带无伸长；小车的驱动力与直流放大器的输入成正比，且无滞后；忽略电极电枢绕组中的电感、库仑摩擦、动摩擦。系统各参数如下。
M(小车质量)为1.32kg;m1(摆杆1质量)为0.04kg;m2(摆杆2质量)为0.132kg;m3(质量快的质量)为0.208kg;l1(摆杆1转动中心到杆心的距离)为0.09m;l2(摆杆2转动中心到杆心的距离)为0.27m;(摆杆1与垂直方向的夹角);(摆杆2与垂直方向的夹角);F(作用在系统上的外力);g(重力加速度)为9.8。
2 控制设计及仿真
2.1 用极点配置设计伺服系统
设计要求：二阶倒立摆尽可能的保持倒立垂直()。指标要求：在小车的阶跃响应中，有4～5s的调整时间和0.15～0.16的最大超调量。
通过Matlab计算得到的一对期望极点为和，其他极点为-7.5、-7.5、-7.5、-7.5、-7.5(远离主导闭环极点对的5倍)，在实际仿真实验中若其他极点选择远离主导闭环极点对4倍或者8倍最后得到的响应曲线都不如5倍的更优。由状态方程并通过Matlab软件进行仿真得到相应的响应曲线。
从上面的仿真结果所得到的图形，作用在小车上的输入为单位阶
跃信号，即=1m，且所有的初始条件为零。的阶跃响应正如所希望的那样，在，最大超调量小于0.15，设计满足要求。从x1的响应曲线可以看出，在大约2.5s后小车位置就开始趋于平衡状态。从x2的响应曲线可以看出，在0～0.3s内，摆杆1向左摆动；在0.3～1s内，摆杆向右摆动；在1～2.5s内，摆杆1又向左摆动；在2.5～3.5s内，摆杆1向右有轻微的摆动；在大概3.5s左右，摆杆趋于平衡状态。从x3的响应曲线，在开始0～0.3s基本保持平衡，后面的摆动情况x2的情况很接近(如图2）。
2.2 LQR控制器设计及仿真
设计要求：摆尽可能的保持倒立垂直()，且小车在某位置保持平衡状态。
通过Matlab软件求得二阶倒立摆系统的特征值分别为-9.5972、-4.7725、9.5972、4.7725、0、0。由系统的特征值可以知道系统有两个正实根，因此开环系统是不稳定的。系统的能控性矩阵和能观性矩阵的秩均为系统的阶数6，则系统能控、能观。取对角矩阵,(Q矩阵通过实验法进行了改进)则得到相应的反馈向量K=[7.0711126.9919-227.601912.62264.1116-35.7904]。
通过SIMULINK仿真可以得到位置、小车速度、角度1，角度2、角度1的速度及角度2的速度响应曲线如图3所示。从仿真曲线可得：小车的位置在开始0～6s会有左右的摆动，在大约6s左右小车开始处在平衡状态(离原点0.2m左右)。小车的车速在0～5s左右有变化，在
5s左右开始变为0。小车开始处于平衡状态。摆杆1、2的角度在0～4s左右有波动，在大约4s左右开始为0，说明此时摆杆开始处于垂直的平衡状态。以上的分析说明：通过LQR控制器来控制二阶倒立摆的效果达到满意程度，系统可控。
3 结论
采用极点配置设计伺服系统和LQR控制器来实现二阶倒立摆稳定性控制，利用MATLAB及SIMULINK进行仿真，最后实现了设计要求。在极点配置设计伺服系统过程中，极点的配置采用经典的二阶系统极点配置公式，得到主导闭环极点对后，其他极点的位置远离主导闭环极点对的5倍。在LQR控制器的设计过程中，对Q(对角阵)的选取基本上是依靠经验来选取，经过反复的仿真实验验证得知Q的选取符合要求，实现了二阶倒立摆控制。
参考文献
[1]王海英，袁丽英，吴勃.控制系统的MATLAB仿真与设计[M].高等教育出版社,2009,2.
[2]颜文俊，陈素琴，林峰.控制理论CAI教程[M].科学出版社,2011,7.
[3]刘琛.二阶倒立摆系统的稳定控制研究[D].西安交通大学硕士论文,2007.
[4]雷源春，师路欢.基于滑块变结构控制的二阶倒立摆实验仿真研究[J].科技教育创新,2011(7).
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