1．直线与平面垂直的定义
(1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足．
(2)图形语言：如图．
画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．
(3)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.
[点睛]
(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．
(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.
[点睛] 判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．
(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.
(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.
(4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.
[点睛] 把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行( )
(2)若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b( )
(3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．在平面α内 D．无法确定
解析：选D
3.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有________________________________________________________________________；
(2)与AP垂直的直线有________________________________________________________________________．
答案：(1)AB，AC，BC (2)BC
[典例] 下列说法正确的有________(填序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；
③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．
[答案] ②
(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．
(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．
[活学活用]
1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
解析：选C
2．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．
答案：①③④
[典例] 如图，在三棱锥SABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
[证明] (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，
所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.
利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
(1)在这个平面内两条直线，使它和这条直线垂直；
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
(3)根据判定定理得出结论．
[活学活用]
如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM.
(2)若AQ⊥PB，垂足为Qeoa，求证：NQ⊥PB.
证明：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.
又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，
∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.
[典例] 三棱锥SABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC所成角的余弦值．
[解] 如图，过S作SO⊥平面ABC于点O，连接AO，BO，CO.则SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO.
∵SA＝SB＝SC＝a，
∴△SOA≌△SOB≌△SOC，
∴AO＝BO＝CO，
∴O为△ABC的外心．
∵△ABC为正三角形，
∴O为△ABC的中心．
∵SO⊥平面ABC，
∴∠SAO即为SA与平面ABC所成的角．
在Rt△SAO中，SA＝a，AO＝×a＝a，
∴cos∠SAO＝＝，
∴SA与底面ABC所成角的余弦值为.
求斜线与平面所成的角的步骤
(1)作角：作(或)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
[活学活用]
在正方体ABCDA1B1C1D1中，
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为________；
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________；
(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为________．
解析：(1)由线面角定义知，∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.
(2)如图，连接A1D，设A1D∩AD1＝O，连接BO，则易证A1D⊥平面ABC1D1，∴A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO.∵A1O＝A1B，∴∠A1BO＝30°.
(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，
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