⼀，背景
随着各种数字仪器和数码产品的普及，图像和视频已成为⼈类活动中最常⽤的信息载体，它们包含着物体的⼤量信息，成为⼈们获取外界原始信息的主要途径。然⽽在图像的获取、传输和存贮过程中常常会受到各种噪声的⼲扰和影响⽽使图像降质，并且图像预处理算法的好坏⼜直接关系到后续图像处理的效果，如图像分割、⽬标识别、边缘提取等，所以为了获取⾼质量数字图像，很有必要对图像进⾏降噪处理，尽可能的保持原始信息完整性（即主要特征）的同时，⼜能够去除信号中⽆⽤的信息。所以，降噪处理⼀直是图像处理和计算机视觉研究的热点。 图像视频去噪的最终⽬的是改善给定的图像，解决实际图像由于噪声⼲扰⽽导致图像质量下降的问题。通过去噪技术可以有效地提⾼图像质量，增⼤信噪⽐，更好的体现原来图像所携带的信息，作为⼀种重要的预处理⼿段，⼈们对图像去噪算法进⾏了⼴泛的研究。在现有的去噪算法中，有的去噪算法在低维信号图像处理中取得较好的效果，却不适⽤于⾼维信号图像处理；或者去噪效果较好，却丢失部分图像边缘信息，或者致⼒于研究检测图像边缘信息，保留图像细节。如何在抵制噪⾳和保留细节上到⼀个较好的平衡点，成为近年来研究的重点。
⼆，图像去噪理论基础
2.1 图像噪声概念
噪声可以理解为“妨碍⼈们感觉器官对所接收的信源信息理解的因素”。例如，⼀幅⿊⽩图⽚，其平⾯亮度分布假定为f(x，y)，那么对其接收起⼲扰作⽤的亮度分布R(x，y)，即可称为图像噪声。但是，噪声在理论上可以定义为“不可预测，只能⽤概率统计⽅法来认识的随机误差”。因此将图像噪声看成是多维随机过程是合适的，因⽽描述噪声的⽅法完全可以借⽤随机过程的描述，即⽤其概率分布函数和概率密度分布函数。但在很多情况下，这样的描述⽅法是很复杂的，甚⾄是不可能的。⽽实际应⽤往往也不必要。通常是⽤其数字特征，即均值⽅差，相关函数等。因为这些数字特征都可以从某些⽅⾯反映出噪声的特征。 2.2 常见的图像噪声
在我们的图像中常见的噪声主要有以下⼏种：
椒盐噪声（1），加性噪声
加性嗓声和图像信号强度是不相关的，如图像在传输过程中引进的“信道噪声”电视摄像机扫描图像的噪声的。这类带有噪声的图像g可看成为理想⽆噪声图像f与噪声n之和，即：
（2），乘性噪声
乘性嗓声和图像信号是相关的，往往随图像信号的变化⽽变化，如飞点扫描图像中的嗓声、电视扫描光栅、胶⽚颗粒造成等，这类噪声和图像的关系是：（3），量化噪声
量化嗓声是数字图像的主要噪声源，其⼤⼩显⽰出数字图像和原始图像的差异，减少这种嗓声的最好办法就是采⽤按灰度级概率密度函数选择化级的最优化措施。
（4），“椒盐”噪声
此类嗓声如图像切割引起的即⿊图像上的⽩点，⽩图像上的⿊点噪声，在变换域引⼊的误差，使图像反变换后造成的变换噪声等。
图像噪声模型
实际获得的图像含有的噪声，根据不同分类可将噪声进⾏不同的分类。从噪声的概率分情况来看，可分为⾼斯噪声、瑞利噪声、伽马噪声、指数噪声和均匀噪声。它们对应的概率密度函数（PDF）如下：
（1），⾼斯噪声
在空间域和频域中，由于⾼斯噪声在数学上的易处理性，这种噪声(也称为正态噪声)模型经常被⽤在实践中。⾼斯随机变量Z的PDF由下式给出：
其中，z表⽰灰度值，µ表⽰z的平均值或期望值，α表⽰z的标准差。当z服从上述分布时，其值有95%落在[(-2σ)， (µ+2σ)]范围内。
（2）脉冲噪声（椒盐噪声）
（双极）脉冲噪声的PDF可由下式给出：
如果b>a，则灰度值b在图像中将显⽰为⼀个亮点，反之则a的值将显⽰为⼀个暗点。若Pa或Pb为零，则脉冲称为单极脉冲。如果Pa和Pb均不可能为零，尤其是它们近似相等时，则脉冲噪声值将类似于随机分布在图像上的胡椒和盐粉微粒。由于这个原因，双极脉冲噪声也称为椒盐噪声。
（3）瑞利噪声
其均值和⽅差分别为：
（4）伽马噪声
其密度的均值和⽅差为：
（5）指数分布噪声
其中a>0，概率密度函数的期望值和⽅差是：
（6）均匀噪声
其均值和⽅差分别为：
2.4 图像去噪算法分类
（1），空间域滤波
空域滤波是在原图像上直接进⾏数据运算，对像素的灰度值进⾏处理。常见的空间域图像去噪算法有邻域平均法、中值滤波、低通滤波等。
（2），变换域滤波
图像变换域去噪⽅法是对图像进⾏某种变换，将图像从空间域转换到变换域，再对变换域中的变换系数进⾏处理，再进⾏反变换将图像从变换域转换到空间域来达到去除图像嗓声的⽬的。将图像从空间域转换到变换域的变换⽅法很多，如傅⽴叶变换、沃尔什-哈达玛变换、余弦变换、K-L变换以及⼩波变换等。⽽傅⽴叶变换和⼩波变换则是常见的⽤于图像去噪的变换⽅法。
（3），偏微分⽅程
偏微分⽅程是近年来兴起的⼀种图像处理⽅法，主要针对低层图像处理并取得了很好的效果。偏微分⽅程具有各向异性的特点，应⽤在图像去噪中，可以在去除噪声的同时，很好的保持边缘。偏微分⽅程的应⽤主要可以分为两类:⼀种是基本的迭代格式，通过随时间变化的更新，使得图像向所要得到的效果逐渐逼近，这种算法的代表为Perona和Malik的⽅程[27]，以及对其改进后的后续⼯作。该⽅法在确定扩散系数时有很⼤的选择空间，在前向扩散的同时具有后向扩散的功能，所以，具有平滑图像和将边缘尖锐化的能⼒。偏微分⽅程在低噪声密度的图像处理中取得了较好的效果，但是在处理⾼噪声密度图像时去噪效果不好，⽽且处理时间明显⾼出许多。
（4），变分法
另⼀种利⽤数学进⾏图像去噪⽅法是基于变分法的思想，确定图像的能量函数，通过对能量函数的最⼩化⼯作，使得图像达到平滑状态，现在得到⼴泛应⽤的全变分TV模型就是这⼀类。这类⽅法的关键是到合适的能量⽅程，保证演化的稳定性，获得理想的结果。
（5），形态学噪声滤除器
将开与闭结合可⽤来滤除噪声，⾸先对有噪声图像进⾏开运算，可选择结构要素矩阵⽐噪声尺⼨⼤，因⽽开运算的结果是将背景噪声去除；再对前⼀步得到的图像进⾏闭运算，将图像上的噪声去掉。据此可知，此⽅法适⽤的图像类型是图像中的对象尺⼨都⽐较⼤，且没有微⼩细节，对这类图像除噪效
果会较好。
三，⼏种图像去噪算法介绍
3.1 基于空间域的中值滤波
中值滤波器是⼀种常⽤的⾮线性平滑滤波器，基本原理是把数字图像或数字序列中⼀点的值⽤该点邻域内各点的中值代换。设f(x，y)表⽰数字图像像素点(x，y)的灰度值，滤波窗⼝为A的中值滤波器可以定义为：
当n为奇数时，n个数x1，x2，…xn的中值就是按数值⼤⼩顺序处于中间的数；当n为偶数时，我们定义两个中间数平均值为中值。
⼩波萎缩法是⽬前研究最为⼴泛的⽅法，⼩波萎缩法⼜分成如下两类：第1类是阈值萎缩，由于阈值萎缩主要基于如下事实，即⽐较⼤的⼩波系数⼀般都是以实际信号为主，⽽⽐较⼩的系数则很⼤程度是噪声。因此可通过设定合适的阈值，⾸先将⼩于闽值的系数置零，⽽保留⼤于闭值的⼩波系数；然后经过阈值函数映射得到估计系数；最后对估计系数进⾏逆变换，就可以实现去噪和重建；⽽另外⼀种萎缩⽅法则不同，它是通过判断系数被噪声污染的程度，并为这种程度引⼊各种度量⽅法(例如概率和
⾪属度等)，进⽽确定萎缩的⽐例，所以这种萎缩⽅法⼜被称为⽐例萎缩。阈值萎缩⽅法中的两个基本要素是阈值和阈值函数。
阈值的选择：
阈值的确定在阈值萎缩中是最关键的。⽬前使⽤的阈值可以分成全局阈值和局部适应阈值两类。其中，全局阈值对各层所有的⼩波系数或同⼀层内的⼩波系数都是统⼀的；⽽局部适应阈值是根据当前系数周围的局部情况来确定阈值。⽬前提出的全局阈值主要有以下⼏种：
（1），Donoho和Johastone统⼀阈值（简称DJ阈值）：
其中σ为噪声标准⽅差，N为信号的尺⼨或长度。
（2），基于零均值正态分布的置信区间阈值：
（3），Bayes Shrink阈值和Map Shrink阈值。在⼩波系数服从⼴义⾼斯分布的假设下，Chang等⼈得出了阈值：
其中，（R为噪声标准⽅差，RB为⼴义⾼斯分布的标准⽅差值）。
（4），最⼩最⼤化值：这是Donoho和John Stone在最⼩最⼤化意义下得出的阈值与上边的阈值不同，它是依赖于信号的，⽽且没有显式表达式，在求取时需要预先知道原信号。
（5），理想值：理想阈值是在均⽅差准则下的最优阈值，同最⼤最⼩化阈值⼀样，也没有显式的表达式，并且这个阈值的计算通常也需先知道信号本⾝。
阈值函数：
Bruce和Gao。提出了⼀种半软阈值函数：
该⽅法通过选择合适的阈值T1和12，可以在软阈值⽅法和硬阈值⽅法之间达到很好的折中。另外，zhang等⼈为了对SIJRE误差准则函数进⾏基于梯度的优化搜索，提出了另外⼀种阈值函数，这种阈值函数同上边闭值函数所不同的是它拥有更⾼的导数阶，故其重建图像更为平滑，但该⽂作者将去噪效果的提⾼归功于搜索⽅法，其实，Donoh。和 Johnstone提出的在当前⼩波系数集合中，搜索最优阈值的⽅法，对于当前已经是优的了，由此可见，该去噪效果的提⾼则应归功于阈值函数的选取。
基于PDE的图像去噪
⽬前，基于PDE的图像处理⽅法的研究，也是图像去噪的研究热点⽅向，并且⼰经取得了⼀定的理论和实际应⽤⽅⾯的成它的去噪过程为通过建⽴噪声图像为某⾮线性PDE的初始条件，然后求解这个PD
E，得到在不同时刻的解，即为滤波结果。Perona和Malik提出了基于PDE的⾮线性扩散滤波⽅法（以下简称P-M），各向异性的去噪模型根据图像的梯度值决定扩散的速度，使之能兼顾噪声消除和边缘保持两⽅⾯的要求。
以P-M模型为代表的这类⽅法⼰经在图像增强、图像分割和边缘检测等领域得到了⼴泛的应⽤，取得了很好的效果。
P-M是⼀种⾮线性的各向异性⽅法，⽬的是为了克服线性滤波⽅法存在的模糊边缘和边缘位置移动的缺点。基本思想是：图像特征强的地⽅减少扩散系数，图像特征弱的地⽅增强扩散系数。⽅程如下：
其中u(x，y，t)是随时间变化的图像，是梯度的模，扩散系数函数⽤于控制扩散速度。理想的扩散系数应当使各向异性扩散在灰度变化平缓的区域快速进⾏，⽽在灰度变化急剧的位置（即图像特征处）低速扩散乃⾄不扩散函数，所以，应具有如下性质：
基于以上的两个性质，P-M提出了如下扩散系数函数：
其中k为边缘阈值，⽤来判断边缘区域和平坦区域。引⼊通量函数，主要是为了阐明阈值k在扩散操作中的作⽤，其函数定义如下：
尽管P-M⽅程在抑制噪声与保留图像重要特征⽅⾯取得了⼀定的效果，但却表现出病态且不稳定。Catt
等⼈对该⽅程进⾏了改进，他们先⽤⾼斯核同图像作卷积，然后取其梯度模作图像边缘信息的估计。⽂献提出⽤优化的对称指数滤波器对图像作光滑，然后取其梯度模作图像边缘信息的估计。这两种估计⽅法的基本思想是降低噪声的⼲扰，更加真实地提取图像的边缘特征信息，以便利⽤边缘信息更好地控制P-M⽅程的扩散⾏为。
3.4 全变分（TV）图像去噪
TV⽅法是由Rudin Osher and Fatemi提出，它基于变分法的思想，确定图像的能量函数，通过对图像能量函数最⼩化达到平滑去噪的⽬的。是现在⽐较流⾏的图像复原⽅法。图像的能量函数⽅程为：
在⽂献[2]中给出的全变分去噪能量泛函为：
为了使得能量函数最⼩，其欧拉-拉格朗⽇⽅程为：
其中，梯度算⼦：
正则项：
⽤来减少平坦区域的退化。将整体左边转换成图像中任意像素点中的局部坐标系后，⽅程可以分解成边缘⽅向和边缘正交的两个⽅向，分解后个⽅向的系数控制着该⽅向的扩散强度。扩散⽅向实际上是
⼀个分线性的各向异性的扩散⽅程，其扩散算⼦仅沿图像梯度的正交⽅向扩散，扩散系数为1/|▽µ|，⽽朝着梯度⽅向⽆扩散。这样可以通过图像的梯度来判断边缘位置，使得边缘扩散系数最⼩，从⽽降低对边缘的模糊程度，但是也由于边缘的扩散系数⼩，噪声得不到很好的抑制，⽽且当|▽µ|>λ的时候，势能函数是⾮凸的，使得边缘处处理表现不稳定。所以，如何确定扩散参数的值是⼀个问题。
随着科技的发展和⼯作⽣活的需要，数字图像滤波应⽤将越来越⼴泛，要求也将越来越⾼。到⽬前为⽌，仍有很多去噪⽅⾯的新思想、新⽅法出现，不断的充实图像去噪⽅法。⽽且，噪声的研究范围也在不断扩⼤，由⾼斯噪声到⾮⾼斯噪声。去噪技术有很⼴泛的应⽤和研究的前景，⽽且，研究领域也在不断的拓展。本⽂主要的内容是对图像的去噪技术做⼀个简单的介绍。全⽂对图像去噪技术进⾏了概述，包括噪声的概念和去噪原理，并对⼀些基本的图像去噪⽅法做了介绍。由于时间关系，并且这是导论课程的论⽂作业，就没有进⾏深⼊细致的研究。
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