1.几种常用曲面
含有的一个等式或表示空间的曲面，在这里只考虑几种简单的曲面。
C是面内的定曲线，柱面投影L是平行于轴的直线，动直线L沿定曲线C移动形成的曲面叫做母线平行于轴的柱面，其方程为。类似，母线平行于轴的柱面方程为；母线平行于轴的柱面方程为。 例如：是准线在面内，母线平行于轴的抛物柱面；是准线在面内，母线平行于轴的双曲柱面。
【例题1-12】在三维空间中方程所代表的图形是：
（A）母线平行轴的双曲柱面 （B）母线平行轴的双曲柱面
（C）母线平行轴的双曲柱面 （D）双曲线
解：由于方程中缺变量，故是母线平行轴的双曲柱面，应选（A）。
平面曲线绕其平面上一定直线旋转一周所成的曲面叫旋转曲面，定直线叫旋转曲面的轴。
设面内曲线C的方程为，该曲线绕轴旋转一周所成的旋转曲面方程
；绕轴旋转一周所成的旋转曲面方程为 。
【例题1-13】坐标面上的曲线绕轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是：
A. B.
C. D.
解析：由于曲线是绕轴旋转，故旋转曲面的方程只需将中的换成则可，故得。答案：A
【例题1-14】方程，表示：
（A）旋转双曲面 （B）双叶双曲面
（C）双曲柱面 （D）锥面
解析：这是双曲线（或）绕旋转所生成的旋转双曲面。
答案：A
（3）常用二次曲面
1）椭圆锥面： 标准方程为
2）椭球面：标准方程为
3)单叶双曲面：标准方程为，如果，就是旋转双曲面。
4)双叶双曲面：标准方程为，如果，就是旋转双曲面。
5)椭圆抛物面：标准方程为（和同号），如果，就是旋转抛物面。
6)双曲抛物面：标准方程为（和同号）,也叫马鞍面。
【例题1-15】下列方程中代表锥面的是:
(A) (B)
(C) (D)
解: 由二次曲面的标准方程知，，代表椭圆锥面；而表单叶双曲面, 表双叶双曲面, 表椭球面,故应选(A).
【例题1-16】在空间直角坐标系中，方程所表示的图形是：
（A）圆锥面 （B）圆柱面
（C）球面 （D）旋转抛物面
提示： 移项得，这是旋转抛物面。
答案：D
2.空间曲线在坐标面上的投影
（1）空间曲线是两个曲面的交,所以空间曲线的一般方程为
（2）空间曲线在坐标面上投影的概念
经过空间曲线C，且垂直于面柱面，称为曲线C在面的投影柱面，投影柱面与面的交线，就是空间曲线C在面的投影。
（3）空间曲线在坐标面上投影的方程
设空间曲线C的一般方程为
消去方程组中的变量，得到方程，显然这是一个母线平行于轴的柱面，又曲线C在该柱面上，故是曲线C在面的投影柱面，因而曲线C在面的投影方程为：
类似，从方程组中消去变量，得到方程，曲线C在面的投影方程为：
同理，可得曲线C在面的投影方程。
【例题1-17】曲线与平面的交线在平面上的投影方程是：
(A) ; (B) ;
(C) ; (D)
解析：联立和消去，得投影柱面方程，。
答案：A
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