常见问题
问题1 空间曲线关于坐标面的投影柱面和投影曲线有何应用？ 答 一条空间直线的方程可用过这直线的任意两个平面的联立方程来表示。同样，一条空间曲线可以用它关于坐标面的投影柱面的联立方程来代替。如空间曲 线⎩
⎨⎧==0),,(,0),,(z y x G z y x F 的投影柱面的方程有
⎩⎨
柱面投影⎧==;0),(,0),(21x z H z y H 或⎩⎨⎧==;0),(,0),(32y x H x z H 或⎩⎨⎧==.
0),(,
0),(13z y H y x H 使用时，可以选取比较简单的一组方程为其方程．因此，可用画两个柱面的交线得到空间曲线，在画法几何上将这交线称为贯线．
例 证明曲线⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=---14
1625,
0201054:222z y x z y x L 是两条相交直线。
证 先求曲线L 关于xoy 面的投影柱面．由L 的方程消去z ，得
1)10
2054(411625222=---+y x y x ，化简得 0)4)(5(=+-y x ，即5=x 或4-=y ，因此，与曲线L 的方程等价的方程为
⎩⎨⎧==---,5,0201054x z y x 与⎩
⎨
⎧-==---.4,
0201054y z y x 这是两条相交的直线．
问题2 求空间曲线的参数方程及其投影曲线方程的方法有哪些？
（1）求空间曲线⎩⎨⎧==0),,(,
0),,(:z y x G z y x F C 的参数方程的一般方法：先消去一个变量，
如变量z ，得xoy 面上的投影曲线，写出投影曲线的参数方程，再写出变量z 的参数方程。
例1 求空间曲线⎩
⎨⎧=+=++.1,
5222y x z y x 的参数方程.
解 把1=+y x 看作xoy 面上的曲线，其参数方程为 t x =，t y -=1，将其代入球面方程得，即2224t t z -+±=，由于02242≥-+t t ，所以21≤≤-t ，
故所求参数方程为⎪⎩⎪
⎨⎧+-±=-==,
224,
1,2
t t z t y t x 21≤≤-t ．
（2）求投影曲线方程的方法有：
①求空间曲线在坐标面上的投影曲线．如⎩⎨⎧==0),,(0
),,(:z y x G z y x F C 在xoy 平面上的
投影曲线，消去z 得投影柱面0),(=y x H ，则⎩⎨⎧==00
),(z y x H 就是C 在xoy 平面上
的投影曲线；
②若空间曲线方程是参数方程⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(:t z t y t x C ωψϕ)(21t t t ≤≤，则⎪⎩
⎪
⎨⎧===0)()(z t y t x ψϕ就是C
在xoy 平面上的投影曲线；
③若求空间曲线在平面π上的投影曲线，先求以C 为准线、母线平行于平面
π的法向量的投影柱面方程，与平面方程联立即得所求投影曲线方程。
例2 求空间曲线⎩⎨⎧==++,1,
4:222y z y x C 关于平面0:=++z y x π的投影柱面
和投影曲线的方程．
分析 求空间曲线关于平面的投影曲线的方法：先通过消去相应变量或根据柱面的定影求得投影柱面方程，再将投影柱面与已知平面联立得投影曲线方程，即为所求。
解 设),,(z y x M 是投影柱面上任一点，平面的法向量)1,1,1(=n
，在准线C
上取一点),1,(000y x M ，使n
//M M 0，即1
11100z z y x x -=-=-，从而有 ⎪⎩⎪
⎨⎧++-==+-=,1,1,
1000z y z y y x x 代入曲线C 的方程，得投影柱面方程为
4)1(1)1(222=++-+++-z y y x ；所以，投影曲线方程为
⎩⎨
⎧=++=++-+++-.
0,
4)1(1)1(222z y x z y y x 问题3 如何利用求空间曲线在坐标面上的投影曲线的方法, 求空间曲面（或立体）在坐标面上的投影区域．
例 求旋转曲面22y x z +=被平面1=z 所截下部分的曲面∑在三个坐标面上的投影区域。
解 曲面∑在xoy 面上的投影曲线是⎩⎨⎧==+.0,
122z y x 所以，∑在xoy 面上投影
区域为 ⎩⎨⎧=≤+0
1
22z y x ，求∑在xoz 面上的投影区域，须将∑分解为对xoz 面的两
个投影曲面1∑:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=1
02
z x z y 和⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=∑1
0:2
2
z x z y ，由对称性知，1∑和2∑在xoz 面上的投影区域都为⎩⎨⎧=≤≤0
1
2y z x 类似可得∑在yoz 面上的投影区域。
问题4 关于空间直角坐标系的坐标变换。
答 与平面解析几何一样，空间直角坐标系也有坐标平移和坐标旋转两种变换。空间直角坐标系的平移，即移动坐标系的原点而不改变坐标轴的方向和单位线段；空间直角坐标系的旋转，即转动坐标轴的方向而不改变坐标原点和单位线段。利用适当的坐标变换，可以简化曲面方程，有助于讨论曲面的性态。
(1)空间直角坐标系的平移
设空间直角坐标系oxyz 经平移至z y x o ''''，空间一点P 在旧系oxyz 的坐标为
),,(z y x ，在新系z y x o ''''的坐标为),,(z y x '''，O '在oxyz 中的坐标为),,(c b a ．
则有 ⎪⎩⎪⎨⎧+'=+'=+'=,,,c z z b y y a x x 或 ⎪⎩
⎪
⎨⎧-='-='-=',,,
c z z b y y a x x 称为坐标系的平移公式．
例1 利用坐标平移化去曲面方程03242222=++--+y x z y x 中的一次项，并说出曲面的名称．
解 将方程配方，得0)1()1(2222=-++-z y x ，令⎪⎩
⎪
⎨⎧='+='-='.,1,
1z z y y x x 得在新系下的
曲面方程2222z y x '='+'，可见，该曲面是椭圆锥面．
例2 设两对点),,(1111z y x P 、),,(2222z y x P 和),,(3333z y x P 、),,(4444z y x P ，求证
① 212212212)()()(z z y y x x -+-+-；
② ))(())(())((341234123412z z z z y y y y x x x x --+--+--是坐标平移下的不变式，并说明它们的几何意义．
证 设经坐标平移，新系原点在旧系Oxyz 的坐标为),,(c b a ，则点
),,(i i i i z y x P 变换为点)4,3,2,1(),,,(=''''i z y x P i i i i ．由平移公式,
,
,
⎪⎩⎪
⎨⎧+'=+'=+'=c z z b y y a x x i i
i i i i
故有 1212x x x x '-'=-，1212y y y y '-'=-，1212z z z z '-'=-，
3434x x x x '-'=-，3434y y y y '-'=-，3434z z z z '-'=-．
于是有
①2
1
2212212212212212)()()()()()(z z y y x x z z y y x x '-'+'-'+'-'=-+-+-；②
)
,)(())(())(()
)(())(())((3
41234123412341234123412z z z z y y y y x x x x z z z z y y y y x x x x '-''-'+'-''-'+'-''-'=--+--+--
这就证明了上面两式是坐标平移下的不变式．
再讨论其几何意义：显然
)1(式表示
21P P 的长度；而
)2(式表示的是
4321P P P P ⋅，若以θ表示21P P 与43P P
的夹角，则cos P P P P ⋅=
θ何上看，经过坐标平移，21P P 的长度是不变的，21P P 与43P P 的夹角也是不变的．
（2）空间直角坐标系的旋转
设oxyz 与z y x o '''为同原点的两个直角坐标系，又z o y o x o ''',，关于oxyz 的方向角分别是333222111,,;,,;,,γβαγβαγβα，且空间一点P 在坐标系oxyz 与
z y x o '''下的坐标分别为),,(z y x 及),,(z y x '''，则有
⎪⎩⎪⎨⎧'+'+'='+'+'='+'+'=,cos cos cos ,cos cos cos ,cos cos cos 321321321γγγβββαααz y x z z y x y z y x x ， 或⎪⎩
⎪
⎨⎧++='++='++='.
cos cos cos ,cos cos cos ,
cos cos cos 333222111γβαγβαγβαz y x z z y x y z y x x 称为坐标系的旋转公式．
例3 利用旋转变换化去曲面xy z =中的xy 项，并说出曲面的名称．解 要化去二次方程中的xy 项，
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