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三维建模之曲面的数学模型

三维建模之曲⾯的数学模型

曲⾯是空间具有两个⾃由度的点的轨迹，常见的有平⾯、旋转⾯和⼆次曲⾯。⼆次曲⾯指任何N维的超曲⾯，其定义为多元⼆次⽅程的解的轨迹。

曲线-曲⾯的结构特征

1，曲线的结构特征

曲线可看作是⼀个点在空间连续运动的轨迹。按点的运动轨迹是否在同⼀平⾯，曲线可分为平⾯曲线和空间曲线；按点的运动有⽆⼀定规律，曲线⼜可分为规则曲线和不规则曲线。

因为曲线是点的集合，所以画出曲线上的⼀系列点的投影，并将各点的同⾯投影依次光滑连接，得到该曲线的投影，这是绘制曲线投影的⼀般⽅法。若能画出曲线上⼀些特殊的点，如最⾼点、最低点、最左点、最右点、最前点及最后点等，则可更确切地表⽰曲线。

曲线的投影性质

曲线的投影⼀般仍为曲线，如图1-16所⽰曲线L，当它向投影⾯进⾏投影时，形成⼀个投射柱⾯，该柱⾯与投影平⾯的交线必为⼀曲线，故曲线的投影仍为曲线。属于曲线的点，它的投影属于该曲线在同⼀投

影⾯上的投影。如图1-16所⽰点D属于曲线L，则它的投影点d必属于曲线的投影I；属于曲线某点的切线，它的投影与该曲线在同⼀投影⾯的投影仍相切于切点的投影。

曲线的阶次

曲线的阶次⽤于判断曲线的复杂程度，⽽不是精确程度。简单⼀点说，曲线的阶次越⾼，曲线就越复杂，计算量就越⼤。⽽使⽤低阶曲线更加灵活，更加靠近它们的极点，使得后续操作（显⽰、加⼯、

柱面投影

分析等）运⾏速度更快，也便于与其他CAD系统进⾏数据交换，因为许多CAD只接受3次曲线。

使⽤⾼阶曲线常常会带来如下弊端：灵活性差，可能引起不可预知的曲率波动，造成与其他CAD系统数据交换时的信息掉失，使得后续操作（显⽰、加⼯、分析等）运⾏速度变慢。⼀般来讲，最好使⽤低阶多项式，这就是为什么在UG、Pro/E等CAD软件中默认的阶次都为低阶的原因。

规则曲线

规则曲线就是按照⼀定规律分布的曲线特征。规则曲线根据结构分布特点可分为平⾯和空间规律曲线，分别介绍如下

平⾯规则曲线：凡曲线上所有的点都属于同⼀平⾯，则该曲线称为平⾯曲线。常见的圆、椭圆、抛物线和双曲线等可以⽤⼆次⽅程描述。平⾯曲线除具有上节所述的投影性质外，还有下列投影性质：平⾯曲线所在的平⾯平⾏于某⼀投影⾯时，则在该投影⾯的投影，反映曲线的实形，如图1-17所⽰；平⾯曲线所在的平⾯垂直于某⼀投影⾯时，则在该投影⾯的投影，积聚成⼀条直线；平⾯曲线上某些奇异点的投影保持原有性质，即曲线的拐点、尖点及两重点投影后仍为曲线投影的拐点、尖点及两重点。此外，抛物线、双曲线、椭圆的A影为椭圆。

空间规则曲线：凡是曲线上有任意四个连续的点不属于同⼀平⾯，则称该曲线为空间曲线。常见的空间规律曲线有圆柱螺旋线和球⾯螺旋线，如图1-18所⽰。

不规则曲线⼜称⾃由曲线，是指形状⽐较复杂、不能⽤⼆次⽅程准确描述的曲线。⾃由曲线⼴泛⽤于汽车、飞机、轮船的计算机辅助设计中。其涉及的问题有两个⽅⾯：⼀是对已知⾃由曲线，通过交互⽅式加以修改，使其满⾜设计者的要求；⼆是由已知的离散点确定曲线。使⽤平⾯离散点获得曲线特征，则必须⾸先通过拟合⽅式形成光滑的曲线。离散点确定了曲线的⼤致形状，拟合就是强制曲线沿着这些点绘制出样条曲线，通常情况下为创建更加光滑的曲线，可将⼏个曲线段彼此⾸尾相连拼接，这就要求曲线连接处有连续的⼀阶和⼆阶导数，从⽽保证各曲线段的光滑连接。拟合曲线可以通过下⾯两种⽅法获得。

插值拟合：该⽅法要求构造的曲线依次通过⼀组离散点（称为型值点）并满⾜光滑性要求，称作插值样条曲线。在设计的最初阶段，型值点的确定往往是不精确地，需要修改，⽽插值曲线不能直接通过修改离散点的坐标控制和修改曲线的形状，如图1-19所⽰。以插值⽅法构造的⾃由曲线，⼀般⽤于绘图或动画设计。

逼近拟合：要求构造的曲线最逼近所给定的数值点（称为控制点），称作逼近样条曲线。将控制点⽤直线段连接起来，称为曲线的控制图（或称为控制多边形），如图1-20所⽰。包含⼀组控制点的凸多边形边界称为“凸包”，每个控制点均在凸包之内或凸包边界上，曲线以凸包为界，保证沿控制点平滑前进。凸包提供了曲线与控制点区域间的偏差测量。

2.曲⾯的结构特征

在⼯程上经常会遇到各种曲⾯，如某些机器零件的表⾯、飞机机⾝、汽车外壳以及船体表⾯等，为了表⽰这些曲⾯，必须熟悉曲⾯的形成和创建⽅法。由于曲线分为规则与不规则曲线，则使⽤这些曲线参照所获得的曲⾯同样有规则和不规则曲⾯两类，分别介绍如下。

规则曲⾯

规则曲⾯可看作是⼀条母线按照⼀定规律运动所形成的轨迹，母线在曲⾯上的任何⼀个位置统称为曲⾯的素线，⽽控制母线做规则运动的⼀些不动的⼏何元素称为导元素。按母线的形状不同，常见的规则曲⾯可分为直纹和曲纹曲⾯。其中，直母线形成的曲⾯称为直纹曲⾯，它⼜可分为单曲⾯和扭曲⾯；由曲母线形成的曲⾯称为曲纹曲⾯，它⼜可分为定线曲⾯和变线曲⾯。

既然规则曲⾯由母线沿导元素运动⽽成，故表⽰⼀个曲⾯时，必须⾸先表⽰该曲⾯的母线及导元素，这样该曲⾯的性质就被确定。然后为了清晰起见，还需画出该曲⾯上的轮廓线及外视转向线。对于复杂的曲⾯，还需表⽰出曲⾯上的某些素线或交线。例如利⽤柱状⾯创建螺旋输送器曲⾯特征，正螺旋柱状⾯的两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的直母线始终垂直于圆柱轴线，效果如图1-21所⽰。

不规则曲⾯

随着现代汽车和飞机制造⼯业的发展，对⾃由曲⾯建模提出了更⾼的要求，现代研究⽅法突破了许多运动学理论和⼯程实践问题。有效解决了不规则曲⾯的设计难题，使⽤不同的⽅法可创建不同的⾃由曲⾯。⼀条⾃由曲线可以由⼀系列的曲线段连接⽽成。类似地，⼀个⾃由曲⾯也可以看作⼀系列曲⾯拼合⽽成，如图1-22所⽰。

本文发布于:2024-09-23 18:27:20，感谢您对本站的认可！

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