滑坡大小-频率曲线体现了区域滑坡灾害的概率特征。有证据表明，滑坡具有自组织临界性，其大小-频率分布部分具有幂律特征。
但是，当滑坡规模较小时，斜率平缓（称为“偏转”），滑坡分布
明显不服从幂律。如果我们想准确预测区域滑坡灾害、风险或者地
貌剥蚀，那么认识这一现象背后隐含的原因就显得非常重要了。有
可能引发的一个争论是，滑坡大小-频率分布受控于地形因素，为什
么根据幂律，滑坡规模趋向于更大，而更大的滑坡受到地形地貌的
限制。我们首先利用一个简单的确定性模型来研究这种争论，然后
将元胞自动机模型应用到加拿大英属哥伦比亚沿海地区。模拟结果
与真实的滑坡数据吻合极好：模拟的滑坡在局部高地产生分支，优
先堆积在局部斜率下降的缓坡上，沿着一些狭谷或者沟网运动，当
道生液
达到足够规模的时候，就会覆盖局部地形。对于大于
10,000~20,000m2的滑坡，真实滑坡和元胞自动机模型的大小-频率
分布都服从幂律，而对于更小规模的滑坡，则显示出了平缓的斜率。
根据这两个模拟结果，我们认为，大小-频率分布，包括偏转和幂律
渗透印章
两部分，都是由与斜坡、斜坡距离以及滑坡内块体分布相关的实际 地形限制的结果。元胞自动机模型利用了从全球各地收集到的简单
的经验准则。
一、前言和背景
滑坡大小-频率分布曲线对于正确认识和刻画区域滑坡灾害是非常必要的。当用时间和频率进行校正的时候，利用这个曲线，可以求解滑坡大小和发生的概率性质（Guthrie和Evans，2005）。这样就能更深刻的认识滑坡灾害、影响、风险、山坡剥蚀以及滑坡改造地貌的作用。遗憾的是，全球几乎没有完整的滑坡编目（Guzzetti等，2005），也很少有研究者致力于这项工作。 通用模型
从已研究过的滑坡编目中发现，滑坡的实验数据和真实数据都是对数正
态分布的，当滑坡规模超过几个数量级之后，倾向于服从逆幂律（Dai和Lee，2001；Fujii，1969；Guthrie和Evans，2004a，b，2005；Guzzetti等，2002a，b，2005；Hirano和Ohmori，1989；Hovius等，1997；Malamud等，2004a，b；Pelletier等，1997；Reid和Page，2002；Somfai等，1994; Stark和Hovius，2001）。
上述研究证实，滑坡频率-大小分布除顶端之外的其它部分服从幂律（图1），在最好的情况下，服从弱逆幂律（Perline，2005），最差的情况下，服从假逆幂律。在累积频率图上，当滑坡规模较小时，滑坡编目显示出各个滑坡分布呈现扁率，因此用一个简单的方程无法进行预报。扁率使数据偏转幂律，称之为“偏转（rollover）”，对于造成这种现象的原因已有相当多的讨论。
不过，达到自组织临界状态的滑坡具有尺度恒定性或不规则地形（Bak，1996；Bak等，1988；Czirok等，1994；Hall，1992；Noever，1993；Pelletie 等，1997；Malamud和Turcotte，2000；Chen等，2007）。在不考虑原因的情况下，利用几种分布来计算总灾害，包括双重柏拉图（Double Pareto）分布（Guthrie和Evans，2004a，b；Guzzetti等，2002a，b，2005；Stark和Hovius，2001）和反伽玛分布（Guzzetti等，2005；Malamud等，2004a，b）。但是，时至今日，偏转的原因还未完全弄清楚，总灾害的刻画也因这方面知识的匮乏而受限。
通常认为数据偏差导致了偏转。这一观点认为，小滑坡的数量没有统计完全，这样就人为减少了小滑坡的发生概率（Brardinoni等，2003；Hungr 等，1999；Malamud等，2004b；Stark和Hovius，2001）。Malamud等（2004b）提出了一个通用曲线，来外推缺失数据。这个曲线假设，在不考虑地形限制的情况下，滑坡具有相似的大小-频率特征（例如，平均滑坡大小是普遍的），并提出，许多滑坡编目实际上只考虑了总滑坡数量中的一少部分（<1%）。尽管对于时间下限未定义的滑坡历史事件可能出现上述情况，但是与完整编目中的单个事件却并不一致，比如暴雨（Guthrie和Evans 2004b）或者通过时间序列进行的分析结果（Guthrie和Evans，2004a）。滑坡通用模型对于较大规模浅层土体滑坡分布的偏转现象也没有很好的解释。在浅层土体中，较大规模和中等规模事件的持续时间相似，但是对于连续的更大规模的事件，持续时间更长（Guthrie和Evans，2007）。因此，从单个图像集获得的历史编目的偏差有限，较大规模浅层滑坡的数量统计过多。但是，这个偏差不足以解释那些占绝对数量的却必须忽略才能吻合通用模型的滑坡。
Hungr等（2007），Guthrie和Evans（2004a，b），Hovius等（2000），
Pelletier等（1997）以及Turcotte等（2002）认为，对于偏转现象应该有一种物理解释。特别是，Guthrie和Evans （2004a，b），Pelletier等（1997）以及Turcotte等（2002）都认为，大规模滑坡的偏转现象不能归因于数据偏差。这些观测通过世界滑坡数据得到了确证，其中在相对大规模处发生的偏转有：加拿大英属哥伦比亚省沿海是10,000~30,000 m2（Guthrie和Evans，2004a，b）；日本是3,
000~30,000m2（Hirano和Ohmori，1989）；新西兰南部阿尔卑斯山是5,000 m2（Hovius等，1997）。
Pelletier等人（1997）提出了与土壤水分变化及土壤水分与地形相互作用相关的分布的物理解释。Hungr等人（1997）与Guthrie和Evans（2004a，b）提出，地貌的整体地形变量，特别是斜坡的几何形态，控制了大小-频率（M–F）曲线的两个部分。
地形学上的争议认为，根据幂律，对于大于给定规模的滑坡，能够连续发生较大规模失稳事件的地形上的位置是衰减的。这个论点的缺陷非常明显，因为滑坡的大小不可能超过它所在的地形的大小；滑坡的大小是由下切速率和斜坡组成物质的强度控制的（Schmidt和Montgomery，1995）。对于英属哥伦比亚（BC）沿海的降雨诱发型滑坡，基于它们的起动点（位于陡坡的中上部）和运动趋势，即一旦起动，就会沿着河流或者谷底向着坡下运动，可以用滑坡趋向于更大规模的概率来解释比幂律平缓的那部分分布。图2说明了BC沿海地区典型滑坡发生在斜坡上的位置。斜坡的下部是堆积着的沉积物，斜坡上部最陡的那部分是裸露的，限制了降雨触发型泥石流的发生。Chung等（2001）认为，Vancouver岛（北美洲）流域内中上部的斜坡最可能发生滑坡。在暴雨期间，预计一个正失稳的斜坡的几个部位将几乎同时出现高水位，是由直接的降水或者BC沿海地区常见的快速径流造成的。这样，饱和斜坡的强度降低，始于斜坡中部的滑坡将使其下部的饱和斜坡负载过大，于是携带其它的物质，常常运动到谷底。结果是，极少数的小滑坡受限于斜坡的地形。
图2 英属哥伦比亚沿海地区山坡地貌的简单示意图。A表示陡坡的上部，这个地方的沉积物一般都被剥蚀掉了，因此并不是特别容易发生浅层滑坡或者泥石流。B表示中等坡度（25~45°）的斜坡中部和较上部，一般覆盖着薄层的耕土和崩积层，很容易失稳。C表示从斜坡上运动下来的物质的沉积区，其底部一般是由崩积扇和泥石流扇接合在一块构成的。始于斜坡中部的滑坡将负载于饱和斜坡之上，携带更多的物质，常常向着谷底运动。因此，小型滑坡的发生受限于坡形。小型滑坡发生在不可能有很长延伸路径的地方；但
是，这些位置有限（D）。
本文将详细研究斜坡形态特征与滑坡大小和频率分布之间的联系。
二、研究区
本文选择两个场地来研究地形对滑坡大小-频率分布的控制：Loughborough海湾和Klanawa流域，下文将进行简要介绍。
Loughborough海湾研究区位于BC大陆西海岸，面积为370km2。Guthrie 和Evans （2004b）已对该地进行了详细描述，包括一个包含101个滑坡的编目，这些滑坡都是于2001年11月发生的由高强度暴雨引发的大型区域事件。滑坡数据是从事件发生之后迅速拍摄的低空航片收集的，从地方伐木公司以
及野外调查获得滑坡报告。Loughborough海湾研究区由冰河时代的极陡峭的海湾口和宽阔的U形谷构成，被陡峭的山峰包围，绵延1,769 m。研究区的岩床主要是由均质的闪长岩、辉长岩、辉绿岩和闪岩，以及小条带的坚硬火山岩构成（Guthrie和Evans，2004b）。与滑坡活动的历史记录一样，研究区的伐木业分布很广。编目中的每个滑坡的面积代表了运动路径在内的总面积。
颜料专用助剂Klanawa河研究区位于BC Vancouver岛西海岸外，是一个面积为242km2的小流域，包含了一个从航片上解译出来的381个滑坡的编目，其中331个面积大于500 m2，小型滑坡数量少，降低了数据偏差。Klanawa河研究区下伏花岗闪长岩和含钙碱性火山岩，这些岩石在更新世冰河作用下，被深切了；研究区地形崎岖不平，大约有41%的斜坡坡度大于31°，整体上海拔高度在海平面以上大约960m。利用BC地形资源信息管理（TRIM）图和数字高程模型计算得到坡度和高程。滑坡是该研究区一种常见的灾害现象，据Guthrie （2005）的描述，研究区位于一个区域块体运动带，年降水超过3000mm，其中降雨是主要的，集中在11月至来年3月，自然滑坡频率大约为0.024 km−1 yr−1。到2001年，46%的研究区都有伐木业，整体滑坡速率预计将高出至少一个数量级。这个编目中的滑坡面积也代表了包括运动路径在内的总面积。
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三、滑坡大小-频率分布模拟
（一）一种简单的认识滑坡大小-频率的确定性方法
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我们利用一个严格的滑坡发生的确定性模型来探讨一下“滑坡大小和频率受控于地形”这个观点（图3）。通过建立一系列可能发生在陡坡上并运动到谷底的滑坡来考虑地形的限制。在Loughborough海湾，利用了一个基
于TRIM图的25m像素的数字高程模型（DEM），大约85%的滑坡都是在25°~45°坡度之间的斜坡上发生的（实际的比例可能更高），因此对于大多数滑坡的起动而言，提供了合理的限制标准。在滑坡图层上，将与Loughborough海湾那些标准匹配的地形划分为5m大小的像素，每个像素的质心代表了滑坡发生的起始点。在每个例子中，滑坡的长度L是滑坡可能发生的位置到基线的距离，因此是受斜坡限制（可能发生的位置）的。考虑DEM中每个像素到基线最陡的路径，利用地理信息系统确定滑坡向下运动的路径。为了简单说明的需要，在图3中用直线简化了滑坡的运动路径；而真实的路径类似于水沿着斜坡向下流动的路径。在Loughborough海湾，与面积（A）相关的长度表示为：
L= 0.76×A0.66
（1）
利用这种方法，可以建立数百万个滑坡，并将M-F数据与真实事件进行比较。当滑坡分布面积约大于20,000m2时，曲线与真实数据近似平行，这样一般就支持了物理论点，即由降雨触发的真实滑坡，一旦发生，将会更趋向于沿着斜坡向下运动，直到遇到物理阻碍。由此说明，这个大小范围之内的滑坡
的M -F分布依赖于潜在发生地与斜坡底部的距离，一般来说，滑坡不可能在斜坡中部就停止运动。但是这是一个非常简单的模型，不能够预测较大型滑坡发生的可能性，随着滑坡规模的扩大，误差也将增加。此外，曲线呈指数下降，说明对于更大规模的滑坡，既不是斜坡上一个可定义的转折点，也不服从幂律。
图3 一个简单的滑坡频率-大小分布的确定性模型的示意图。从左上角开始，地形被划分为容易失稳的单元。对每个网格（图中网格大小是是25像素）进行赋值，“1”表示对滑坡敏感，“0”表示不敏感。从敏感单元的质心开始，确定失稳的运动路径，并延伸到谷底或者河网（图中将延伸路径简化为直线）。根据研究区实际滑坡的方程，直线的长度与面积相关。最后绘制模拟滑坡和真实滑坡的M-F。
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