2021年3月电工技术学报Vol.36 No. 5 第36卷第5期TRANSACTIONS OF CHINA ELECTROTECHNICAL SOCIETY Mar. 2021 DOI：10.19595/s.201130
李雄松1,2崔鹤松1,3胡纯福1刘晓1黄守道1（1. 湖南大学电气与信息工程学院长沙 410082 2. 国网台州供电公司台州 318000
3. 机械工业北京电工技术经济研究所北京 100070）
摘要为了抑制永磁直线同步电机的推力波动，提升平均推力，以12槽10极平板型永磁同步直线电机为研究对象，对电机的设计参数进行优化。首先，采用Taguchi法的敏感性分析，从12个设计参数中选出6个敏感参数，确定为优化变量。然后，通过Kriging模型辅助的多目标粒子优化，获得推力波动和平均推力的Pareto前沿。结果显示，与原始电机相比，优化后的永磁同步直线电机的推力波动减小了64%，且平均推力提升了6.6%。配合斜极，推力波动减小量可进一步达到92%。最后通过实验验证了电机性能的改善。 关键词：永磁直线同步电机有限元分析推力波动 Kriging模型多目标粒子优化
中图分类号：TM359.4
Optimal Design of Thrust Characteristics of
Flat-Type Permanent Magnet Linear Synchronous Motor
Li Xiongsong1,2Cui Hesong1,3 Hu Chunfu1 Liu Xiao1 Huang Shoudao1（1. College of Electrical and Information Engineering Hunan University Changsha 410082 China
2. State Grid Taizhou Power Supply Company Taizhou 318000 China
3. Machinery industry Beijing Electrotechnical Institute of Economic Research Beijing 100070 China）
Abstract In order to reduce the thrust ripple and increase the average thrust of the permanent magnet linear synchronous motor (PMLSM), a 12-slot 10-pole flat-type PMLSM is taken as the research object to optimize the design parameters. Firstly, the analysis of sensitivity based on the Taguchi method is adopted, six sensitive parameters are selected from twelve design parameters and determined as optimization variables. Then, the multi-objective particle swarm optimization assisted by the Kriging model is used to get the Pareto frontier of thrust ripple and average thrust. Th
e results show that the optimized PMLSM reduces the thrust ripple by 64% while the average thrust increases by 6.6% compared with the original one. With the skew pole, the thrust ripple can be further reduced by 92%. Finally, the improvement of motor is verified through experiments.
Keywords：Permanent magnet linear synchronous motor, finite element analysis, thrust ripple, Kriging model, multi-objective particle swarm optimization
0引言
直线电机的特点是无需中间传动装置即可实现直线运动，具有结构简单、推力密度高[1]、定位精度高、可靠性高[2]和扩展性强等诸多优点。因此具有十分广泛的应用，如高精密数控机床[3]、地铁[4]、激光切割[5]、电磁弹射系统[6]及海洋波浪能的发电装置[7]等。
2020年湖南省杰出青年科学基金资助项目（2020JJ2005）。收稿日期 2020-08-31 改稿日期 2020-12-10
第36卷第5期李雄松等平板型永磁直线同步电机推力特性的优化设计 917
然而，在结构上直线电机初级铁心开断，其存
在边端效应，且在平板型永磁同步直线电机
（Permanent Magnet Linear Synchronous Motor,
PMLSM）中更加显著。另外，对于有铁心的平板型
永磁同步直线电机，其初级铁心还需开槽嵌入线圈，
存在齿槽效应。由边端效应引起的边端力和齿槽效
应引起的齿槽力导致电机具有较大推力波动，严重
影响电机的稳定运行。因此，如何采取有效措施减
少推力波动，提高输出的平均推力，以获得良好的
推力特性是至关重要的。
针对此问题，在电机本体结构上，国内外学者
做了大量的研究[8-18]。削弱边端力方面，文献[8]分
别建立关于边端力的分析模型，提出最佳初级铁心
长度。文献[10]提出双边初级和双边次级结构，形成闭合磁回路以有效地抑制边端力。文献[11]提出初级辅助极结构，通过优化辅助极几何形状和位置来削弱边端力。文献[13]提出双边初级错位半个极距。文献[14]提出初级端部弧形结构以达到削弱边端力的目的。削弱齿槽力方面，文献[15]提出格栅型次级的新型拓扑结构；文献[16]提出采用不等槽口宽度配合减小齿槽转矩；文献[17]研究初级铁心齿开虚拟槽个数与齿槽力的规律；文献[18]研究磁极偏移来消除齿槽谐波，推导出具体的磁极偏移距离公式。尽管这些方法有效地减小了推力波动，但可能会降低可控性或降低平均推力，且优化的设计参数和目标单一。因此，多设计参数多目标的优化设计是很有必要的。
本文基于有限元分析，从电机本体结构入手，实现平板型永磁直线同步电机多设计参数多目标的优化设计。本文首先介绍平板型永磁直线同步电机的拓扑结构和设计参数的有限元分析；然后介绍Taguchi法的敏感性分析，从12个设计参数中选出6个敏感参数；介绍Kriging模型与多目标粒子优化算法相结合的优化设计方法；最后进行了实验验证。
1电机结构及参数
图1a为12槽10极平板型永磁直线同步电机的拓扑结构。图1b给出了13个设计参数，包括初级铁心长度l s，弧形辅助极位置d、高度h、弧形半径R和弧度θ，磁极宽度w pm和高度h pm，半闭口槽宽度b s0、b s1、b s2和高度h s0、h s1、h s2。
表1给出了12槽10极平板型永磁直线同步电机的基本结构参数。对于13个设计参数，初始设计值分别是初级铁心长度l s为256mm，辅助极位置d 图1 12槽10极永磁直线同步电机拓扑结构和设计参数Fig.1 Topology and design parameters of 12-slot 10-pole permanent magnet linear synchronous motor(PMLSM)
和高度h皆为0mm，弧形半径R为4mm，弧度θ为0°，磁极宽度w pm为20mm，磁极高度h pm为4.5mm，半闭口槽宽度b s0为6mm、b s1为12mm、b s2为12mm，半闭口槽高度h s0为2mm、h s1为1mm、h s2为37mm。表112槽10极平板型永磁直线同步电机基本结构参数Tab.1 Basic structure parameters of 12s10p PMLSM 参数数值（材料）参数数值（材料）
槽宽/mm 12 磁极宽度/mm 20
槽口宽度/mm 6 磁极高度/mm 4.5 槽距/mm 20 极距/mm 24
初级高度/mm60 永磁体材料NdFeB N35 硅钢片材料50w470 铁轭材料steel 1010
线圈匝数60 叠片厚度/mm
100 额定电流/A 6.8 气隙长度/mm 0.8 由于篇幅有限，本文仅对初级铁心长度l s、辅助极位置d、高度h、弧形半径R和弧度θ、磁极宽度w pm和高度h pm、半闭口槽宽度b s0这八个设计参数进行有限元分析，研究各个参数对平板型永磁直线同步电机推力特性的影响，其余保持原始值不变。
1）初级铁心长度l s
初级铁心长度主要影响永磁直线同步电机边端力的大小。根据理论可知，使得永磁直线同步电机边端力最小的初级铁心长度落在+/2
kττ（k为正整数，τ为极距）处。为了定量分析初级铁心长度对永磁直线同步电机边端力的影响，初级铁心长度范围设为240~264mm，递增量为1mm，边端力有限元结果及其前3次分量如图2
所示。可以看出，使得边
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端力最小的最佳初级铁心长度为254.5mm，幅值为29.2N，边端力最大和最小可相差72.7N。
图2 初级铁心长度l s对永磁直线同步电机边端力的影响Fig.2 The impact of primary core length on Side force of
PMLSM
2）弧形辅助极
弧形辅助极有四个设计参数，分别为辅助极位置d、高度h、弧形半径R和弧度θ。采用控制变量分析法，单独对每个设计参数进行有限元分析，其他保持原始值不变，结果如图3所示。可以看出，四个设计参数主要影响永磁直线同步电机的推力波动，对平均推力影响不显著。可初步判定，当辅助极位置d为1mm、高度h为2mm、弧形半径R为16mm、弧度θ为50°时，可获得较好的推力特性。
图3 弧形辅助极对永磁直线同步电机推力波动的影响Fig.3 The impact of arc-shaped auxiliary pole on thrust
ripple of PMLSM
3）槽口宽度b s0
对于永磁直线同步电机初级铁心的半闭口槽，其包含六个设计参数，其中槽口宽度b s0对气隙磁场的影响最大。与旋转电机不同，永磁直线同步电机的端部为半填槽，槽口宽度为b s0的一半。将半填槽口宽度和中间槽口宽度看作两个独立设计参数，有限元参数化分析结果如图4所示。图4a显示半填槽口
宽度为4.5mm、中间槽口宽度为10.5mm时推力波动达到最小值，图4b显示半填槽口宽度为3mm、中间槽口宽度为6mm时平均推力达到最大值，两者没落在同一点处，优化时应合理设计。
图4 槽口宽度对推动波动和平均推力的影响Fig.4 The impact of notch width on thrust ripple and
average thrust of PMLSM
4）磁极宽度w pm和高度h pm
图5a显示随着磁极宽度w pm的增大，永磁直线同步电机的平均推力呈缓慢递增趋势，推力波动先减小后增大。图5b显示永磁直线同步电机的平均推力和推力波动与磁极高度h pm近似成正比关系。综合分析可得，磁极尺寸的增大有助于提高永磁直线同步电机的平均推力，同时会使推力波动增大，永磁材料的成本增加，设计时应统筹考虑。
图5 磁极宽度和高度与永磁直线同步电机平均堆力与
推力波动的关系
Fig.5 The impact of magnet width and height on thrust ripple and average thrust of PMLSM
2参数敏感性分析
影响永磁同步直线电机平均推力和推力波动的设计参数有很多，为降低优化问题维度，提高优化效率，本文采用Taguchi法对12个设计参数（辅助极位置d和高度h、弧形半径R和弧度θ，磁极宽度w pm和高度h pm，半闭口槽宽度b s0、b s1、b s2和高度h s0、h s1、h s2）进行敏感性分析，初级铁心长度l s 因间接体现在辅助极设计参数中被略去。通过Taguchi法的信噪比分析和方差分析，选出敏感参数，为后文多目标优化奠定基础。具体过程是将12个设计参数分为两组：第一组是关于弧形辅助极和磁极的六个设计参数d、h、R、θ、w pm、h pm；第二组是关于半闭口槽的六个设计参数b s0、b s1、b s2、
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h s0、h s1、h s2，分别进行参数敏感性分析。
2.1第一组设计参数敏感性分析
首先，建立一张关于六个设计参数的L25(56)正
交表，即进行变量数为6、变量水平数为5、试验次
数为25。接着，利用有限元分析计算出每次试验的
目标值，包括推力波动和平均推力，填入表中；然后，对正交表进行信噪比分析和方差分析，推力波
动的信噪比目标选择“望小”，平均推力的信噪比目
标选择“望大”，信噪比分析和方差分析结果分别如
图6和表2所示。
图6 第一组参数信噪比分析
Fig.6 Signal noise ratio analysis of the first set of parameters
混凝土包管表2 第一组设计参数方差分析
Tab.2 Analysis of variance of the first set of design parameters
设计参数
推力波动平均推力
方差比重（%）方差比重（%）w pm 245 3.2 273 36
h pm256 3.4 448 59
d 242 3 32 15 2
硫铁矿制硫酸
h 3 049 40 11 1.5
R 705 9.2 2 0.5 θ948 12.4 5 1
由图6和表2可看出，对推力波动敏感的设计
参数是d和h，而对平均推力敏感的设计参数是w pm
和h pm。将d、h、w pm、h pm这四个变量选出确定为
优化变量。至于对推力波动和平均推力影响比重都
小的弧形半径R和弧度θ，根据图6的信噪比分析
结果将两者值固定为R=16mm，θ=50°。2.2第二组设计参数敏感性分析
同样的步骤对第二组关于半闭口槽的六个设计
参数再操作一次，信噪分析比和方差分析结果分别
如图7和表3所示。
图7 第二组参数信噪比分析
Fig.7 Signal noise ratio analysis of the second set of
parameters
表3 第二组设计参数方差分析
Tab.3 Analysis of variance of the second set of design
parameters
设计参数
推力波动平均推力
方差比重（%）方差比重（%）
b s0 439 65 47.8 0.4
b s1129 19 696
0 62
b s241 6 403
5 36gps组合
h s09.5 1 22 0.2
h s135.4 5 47 0.4
h s218.7 3 50.3 0.5
图7信噪比分析结果和表3方差分析结果显示，
半闭口槽的六个设计参数中对推力波动最敏感的参
数是b s0，对平均推力敏感的参数是b s1和b s2。
本文最终采用原始b s1=b s2的平行槽结构，确定
b s0和b s1为优化变量。其他参数影响比重小，分别
固定为：h s0=1mm、h s1=2.5mm、h s2=34mm。
综上，确定弧形辅助极的位置d和高度h、磁
极的宽度w pm和高度h pm、半闭口槽的槽口宽度b s0
和槽宽b s1共六个设计参数为优化变量，为下文的
多目标优化奠定基础。
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电 工 技 术 学 报 2021年3月
3 多目标优化
本文以上述六个敏感设计参数为优化变量，其约束条件为
pm pm s0s10mm 6mm 0mm 10mm 18mm 24mm 3mm 6mm 4mm 10mm 10.5mm 13.5mm
微电解填料d h w h b b ⎧⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎩
≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ （1）
优化目标是获得小的推力波动和大的平均推力，目标函数采用标幺值
pk2pk 1
pk2pk0
avg
2avg0min max F f F F f F美容笔
⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
（2）
式中，F pk2pk 为推力波动；F pk2pk0为推力波动原始值；F avg 为平均推力；F avg0为平均推力原始值。
本文研究一种Kriging 代理模型与多目标粒子优化算法相结合的优化设计方法，优化过程为：
（1）试验设计，对六个优化变量采用拉丁超立方试验设计，获取分布均匀的样本空间，有限元分析获取对应的目标函数值。
（2）代理模型，选取代理模型构建样本点中变量与目标函数值之间的函数关系。对于Kriging 模型，采用期望提高的加点准则，优化第一阶段多目标粒子优化的目标函数为推力波动和平均推力的期望提高E [f 1]和E [f 2]，目的是采用尽量少的样本点获取高精度预测的模型。
（3）多目标粒子优化，也称优化第二阶段，以推力波动和平均推力为优化目标，算法中引入变异操作，获得两目标函数解的Pareto 前沿。 3.1 试验设计
利用Matlab 的lhsdesign 函数来获得基于maxmin 准则的拉丁超立方试验设计，样本空间维度和样本点数同样设为6和80，迭代次数设为200。对采样后的样本分别建立有限元模型，通过有限元分析得到每个样本点的推力波动和平均推力值。 3.2 代理模型
试验设计获得80个样本点后，分别利用多项式
齿槽转矩
响应面模型和Kriging 模型来建立优化变量与目标函数之间代理模型。多项式响应面模型为
1s0s1pm pm s0pm s0pm s0s1pm s1pm s1s0pm pm pm pm pm 24.090.08 2.170.650.9 0.050.310.0380.024 0.020.040.0280.028 0.0270.0330.018 0.0280.010.02f b b h w d h b h b w b d b h b w b d b h h w h d w h w d dh =+−−−+
−+−++−+−−+−
−− 2
s12222pm pm 0.09 0.070.040.020.02 3b h w d h +++++
（）
2s0s1pm pm s0s1s0pm s1pm 44
s1pm s1pm pm 4422pm s0
s12
pm 1.060.050.230.160.07 0.010.0050.0010.006 0.002410810 4102100.00150.01 0.0060.f b b h w d b b b h b h b w b d h w h h dh b b h −−−−=−−+++++++−−
−×+×+×−×−−−−25242
pm 001 1.3510210w d h −−−×−× （4）
Kriging 模型无具体的表达式，其回归部分为二次型，随机部分的相关函数采用高斯函数。代理模型建立后，利用第2节中的25组样本点进行检验，结果见表4。
表4 代理模型检验 Tab.4 Check of surrogate model
代理模型
平均推力
推力波动
多项式
Kriging 多项式 Kriging
期望提高的Kriging
与有限元的方均误差
4.0 2.1 3
5.8 27.1 2.2
可以看出，平均推力与优化变量的函数关系简单，多项式模型和Kriging 模型皆能获得比较好的拟合效果。而对于推力波动，其与优化变量的函数关系复杂，非线性程度高，两模型都未能取得很好的拟合效果。但Kriging 模型通过期望提高的加点准则，样本点由初始的80个加到116个，最后获得较为理想的拟合效果。
3.3 基于Kriging 模型的多目标粒子优化
本文中，采用Kriging 模型辅助的多目标粒子优化（Multi-Objective Particle Swarm Optimization,
MOPSO ）来实现永磁直线同步电机的多目标优化。其中，粒子的适应度计算由Kriging 模型来完成，算法中引入变异操作，避免MOPSO 算法过早陷入局部最优的可能性。
粒子算法的结构形式十分简单，其主体部分是粒子速度和位置的更新公式，即
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