第４０卷第５期大 学 物
理
Ｖｏｌ．４０Ｎｏ．５２０２１
年５月
ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳ
Ｍａｙ２０２１
收稿日期：２０２０－０６－２３；修回日期：
２０１４－０２－１４ 基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金项目（ＧＫ２０１９０３０２２） 作者简介：王蒙（１９９７—），男，河南焦作人，陕西师范大学物理学与信息技术学院２０１９级研究生，主要从事粒子物理与场论方向的研究． 通信作者：郑华，ｚｈｅｎｇｈ＠ｓｎｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
物理学中常用的高斯与类高斯型积分
王 蒙，陶俊琦，程剑剑，郑 华
（陕西师范大学物理学与信息技术学院，陕西西安
７１０１１９
）
摘要：本文展示了基于大学数学基础对不同积分限的高斯与类高斯型积分的求解方法，并列举了高斯与类高斯型积分在
“热力学与统计物理”、“光学”、“量子力学”、“量子光学”等物理学科中的若干应用实例．
中图分类号：Ｏ４－１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００ ０７１２（２０２１）０５ ００１３ ０７【ＤＯＩ】１０．１６８５４／ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．２００２６８
高斯分布是一个在物理、数学及工程等领域都非常常见且重要的概率分布．因此，在涉及高斯分布的量的计算过程中都会用到高斯型的积分［１ ６
］．比如，在“热力学与统计物理”中，麦克斯韦速率分布就是高斯分布．计算物理量平均速率ｖ与方均根速率ｖ２
槡时，需要用到积分限从０到正无穷的高斯型积分．在“量子力学”中，一维谐振子在坐标表象中的基态波函数为高斯函数，验证海森堡测不准关系时，需要用到积分限从负无穷到正无穷的高斯型积分．类高斯型积分在物理学中也比较常见．比如，在“量子力学”中，利用傅里叶变换从一维谐振子在坐标表象中的基态波函数计算其在动量表象中的波函数和利用费曼路径积分计算一维自由粒子传播子时，需要用到积分限从负无穷到正无穷的类高斯型积分．“光学”中常用的菲涅耳积分可以利用类高斯型积分得到．“量子光学”中，在原子能级自发衰变中考虑原子之间弹性碰撞的贡献时，也会用到类高斯型积分． 本文旨在基于大学数学基础对常用的高斯及类高斯型积分做系统的阐述，给出相应的求解方法和通用积分结果．以期助力学生学习与教职人员教授相关内容．
１
高斯与类高斯型积分
本节中，我们将对不同的高斯与类高斯型积分进行计算与讨论，遵循由简到难、由特殊到一般的
逻辑．
１．１
高斯型积分Ｉ＝∫∞
－∞防火拉链
ｅ－αｘ２
ｄｘ，（α＞０，α∈Ｒ）
在高斯与类高斯型积分中，非常重要的一个积
分是
Ｉ＝
∫
∞
－∞
ｅ
－αｘ２
ｄｘ（１）考虑α为实数的情况．为保证式（１）积分收敛，要求α＞０．式（１）无法利用牛顿莱布尼兹公式求出原函数对积分进行计算．但可以通过构造的方法，建立式（１）
与二维积分的联系，然后利用常用积分就可以计算了．具体过程如下
Ｉ２
＝∫∞
－∞ｅ－αｘ２
ｄｘ∫∞
－∞
ｅ－αｙ２
ｄｙ＝
∫２π０
ｄθ∫∞０
ｅ－αｒ２
ｒｄｒ＝πα
（２）对式（
２）中ｒ的积分进行变量代换，容易看出是一个指数函数积分．因此
Ｉ＝∫∞
－∞
ｅ－αｘ２
ｄｘ＝π
α
CC数据
槡
（３）此积分过程中体现了一个重要的思想，在当前维度下如果解决不了问题时，可以发散性的将问题向高维转化．某些特殊函数的生成函数，也应用了这一思想，在此我们不做详细论述［７ ］．
下面讨论３个常用的高斯型积分．
（ａ）当α＝１时，由式（３）可得
∫∞
－∞
ｅ－ｘ２
ｄｘ＝槡π
（４）
１４
大 学 物 理 第４０卷（ｂ）将式（３）的积分限变成０到正无穷，由式
（３）的积分函数是偶函数可得
∫∞０ｅ－αｘ２ｄｘ＝１
２
π
α
槡（５）
（ｃ）将式（３）的积分限变成０到正无穷且α＝１
∫∞０ｅ－ｘ２ｄｘ＝１
２
槡π（６）１．２ Γ函数与高斯型积分
Γ函数与高斯型积分具有直接的联系［８ １０］．在实变函数中，Γ函数的通常定义如下
Γ（ｘ）≡∫∞０ｅ－ｔｔｘ－１ｄｔ（ｘ＞０，ｘ∈Ｒ）（７）Γ函数具有如下性质
Γ（ｘ＋１）＝ｘΓ（ｘ）（８）将Γ函数式（７）的积分变量ｔ作积分变量代换，
令ｔ＝ｕ２．可得
Γ（ｘ）＝∫∞０ｅ－ｕ２ｕ２（ｘ－１）ｄｕ２＝２∫∞０ｅ－ｕ２ｕ２ｘ－１ｄｕ（９）为便于文章后面的讨论，将式（９）改写为
１２Γ
ｘ＋１
２
()＝∫∞０ｅ－ｕ２ｕｘｄｕ（１０）
可见，当ｘ＝０时，式（１０）右边为高斯型积分式（６），故有
Γ
１
２
()＝槡π（１１）
这是我们熟知的结果．
１．３ 高斯型积分Ｉ（ｎ）＝∫ｘｎｅ－αｘ２ｄｘ（α＞０，α∈Ｒ）下面将考虑几个不同积分限的高斯型积分．
１．３．１ 高斯型积分Ｉｎ()＝∫∞－∞ｘｎｅ－αｘ２ｄｘ
与高斯分布相关的物理量的计算中，很常用的一类积分为
Ｉｎ()＝∫∞－∞ｘｎｅ－αｘ２ｄｘ（１２）当ｎ为奇数时，由于被积函数为奇函数，可得
Ｉ（ｎ）＝∫∞－∞ｘｎｅ－αｘ２ｄｘ＝０（１３）当ｎ为偶数时，取ｎ＝２ｋ（ｋ为自然数），式（１２）变成
Ｉ２ｋ
()＝∫∞－∞ｘ２ｋｅ－αｘ２ｄｘ（１４）我们将以ｋ＝１为例，通过３种方法来计算
Ｉ（２），然后给出积分式（１４）的通用公式．（ａ）计算积分Ｉ（２）常用的方法为分部积分法
Ｉ（２）＝∫∞－∞ｘ２ｅ－αｘ２ｄｘ＝－１２α∫∞－∞ｘｄｅ－αｘ２＝
－１
２α
ｘｅ－αｘ２
∞
－∞
－
－１
２α
∫∞－
∞
ｅ－αｘ２ｄｘ＝
１
２α
∫∞－
∞
ｅ－αｘ２ｄｘ＝
１
２α
π
α
槡（１５）已经利用了高斯型积分式（３）的结果．如果ｋ值取更大，用分部积分法计算式（１４）会比较繁琐．（ｂ）另一种方法计算积分Ｉ（２），可以将α看成变量
Ｉ（２）＝∫∞－∞ｘ２ｅ－αｘ２ｄｘ＝－ｄｄα∫∞－∞ｅ－αｘ２ｄｘ＝
－
ｄ
ｄα
π
α
槡＝１２απα槡（１６）此方法比分部积分法简洁，更重要的是其可以很容易给出积分式（１４）的通用公式
Ｉ（２ｋ）＝∫∞－∞ｘ２ｋｅ－αｘ２ｄｘ＝（－１）ｋｄｋｄαｋ∫∞－∞ｅ－αｘ２ｄｘ＝（－１）ｋ
ｄｋ
ｄαｋ
π
α
槡()＝（２ｋ－１）！！２ｋαｋπα槡
（１７）双阶乘定义：（２ｎ－１）！！≡１·３……（２ｎ－３）（２ｎ－１）．（
ｃ）更简洁的方法是将Ｉ（２）与Γ函数式（１０）联系，可得
Ｉ（２）＝∫∞－∞ｘ２ｅ－αｘ２ｄｘ＝２槡αα∫∞０ｕ２ｅ－ｕ２ｄｕ＝
１
槡ααΓ３２()＝１２απα槡（１８）其中ｕ＝槡αｘ．同理可得Ｉ（２ｋ）的通用公式
Ｉ（２ｋ）＝∫∞－∞ｘ２ｋｅ－αｘ２ｄｘ＝２αｋ槡α∫∞０ｕ２ｋｅ－ｕ２ｄｕ＝
１
αｋ槡αΓ
２ｋ＋１
２
()＝（２ｋ－１）！！
２ｋαｋ
π
α
槡（１９）
最后的结果已经利用Γ函数的性质式（８）．此方法避免了（ｂ）中对α求导的过程．
综上所述，式（１２）的积分结果为
Ｉ（ｎ）＝∫∞－∞ｘｎｅ－αｘ２ｄｘ＝
０，ｎ＝２ｋ＋１
（２ｋ－１）！！
２ｋαｋ
π
α
槡，ｎ＝２ｋ
{
（２０）其中ｋ为自然数．
１．３．２ 高斯型积分Ｉｎ()＝∫∞０ｘｎｅ－αｘ２ｄｘ
由上节可知，将高斯积分与Γ函数联系是很简
第５期
王 蒙，等：物理学中常用的高斯与类高斯型积分
１５
洁的方法．与式（２０）类似的过程可得
Ｉ（ｎ）＝∫∞０
ｘｎ
ｅ－αｘ２
ｄｘ＝ｋ！２αｋ＋１
，ｎ＝２ｋ＋１（２ｋ－１）！！２
ｋ＋１
α
ｋ
πα
槡
，ｎ＝２ｋ
（
２１）其中ｋ为自然数．
１．４ 类高斯型积分Ｉ＝∫∞
－∞ｅ－α（ｘ＋ｃ）２
ｄｘ
现在来计算类高斯型积分
Ｉ＝∫∞
－∞
ｅ－α（ｘ＋ｃ）２
ｄｘ（
２２）其中α与ｃ可以是复数，考虑到积分的收敛性，要求Ｒｅ（α）
＞０．这与１．１与１．３中要求α为实数不一样，我们称之为类高斯型积分．
由于类高斯型积分已经涉及到了复数，有些计算过程会用到“数学物理方法”中的留数定理［１１
］．为使讨论更为清晰，我们分以下几种情况：
人脸识别门（ａ）α与ｃ均为实数：这种情况与１．１的讨论很相似，唯一的差别是高斯函数的对称中心在ｘ＝－ｃ．可以通过积分变量代换将式（２２）变成式（
３）∫∞
－∞
ｅ－α（ｘ＋ｃ）２
ｄｘ＝∫
∞
－∞ｅ－α（ｘ＋ｃ）２
ｄ（ｘ＋ｃ）＝∫∞
－∞
ｅ－αｕ２
ｄｕ＝πα
槡
（２３）（ｂ）α为实数，
ｃ为纯虚数：这种情况下需要用到留数定理．不失一般性的可以令ｃ＝ｉｂ，ｂ为正实
数．在复平面上选择积分路径如图１所示．
图１ 复平面积分路径
被积函数ｆ（ｚ）＝ｅ－αｚ２在积分区域内是解析的．由留数定理可得
∮ｅ－αｚ２
ｄｚ＝０
（２４）可将积分式（２４）沿长方形闭合区域写成４部分之和
∫Ｒ
－Ｒ
ｅ－αｘ２
ｄｘ＋∫
通用积分ｂ
０
ｅ－α（Ｒ＋ｉｙ）２
ｉｄｙ＋
∫－Ｒ
Ｒ
ｅ－α（ｘ＋ｉｂ）２
ｄｘ＋
∫
０ｂ
ｅ－α（－Ｒ＋
ｉｙ）２ｉｄｙ＝０
（２５）在Ｒ→∞，
第三项与待求积分有简单的关系：∫－Ｒ
Ｒ
ｅ－α（ｘ＋ｉｂ）２
ｄｘ＝－Ｉ
（２６）由式（３）知第一项等于πα槡
；第二项的模为ｌｉｍＲ→∞
∫ｂ
０
ｅ－α（Ｒ＋ｉｙ）２
ｉｄｙ≤ｌｉｍＲ→∞
ｅ－αＲ２
∫ｂ０
ｅαｙ２
ｄｙ＝０，因此第二项为０；同理可得第四项为０．由式（２５）与式（２６）可得
∫∞
－∞
ｅ－α（ｘ＋ｉｂ）２
ｄｘ＝πα
槡
（２７）当ｂ为负实数时，在复平面上将积分路径选在下半平面，其余过程与ｂ为正实数类似，可以得到同样的积分结果．
（ｃ）α为复数，ｃ为实数：α为复数时，与１．１中α为实数时类似，
可以得到∫∞
－∞
ｅ－αｘ２
ｄｘ＝πα
槡
（２８）由于此处α为复数，槡α是多值函数．为保证积
分值的单一性，我们限定α的辐角在－π
２，π
２()
．利用１．４（ａ）中的积分变量代换，可得到
∫∞
－∞
ｅ－α（ｘ＋ｃ）２
ｄｘ＝πα槡
（２９）（ｄ）α为复数，ｃ为纯虚数：与１．４（ｂ）中计算过
程类似并利用１．４（ｃ）的积分结果，可得
∫∞
－∞
ｅ－α（ｘ＋ｃ）２
ｄｘ＝πα
槡（３０）同１．４（ｃ）一样，限定α的辐角在－π２，π
２()．（ｅ）α与ｃ均为复数：此种情况是最一般的情况．利用１．４（ａ）中的积分变量代换，可以将复数ｃ的实部消除，这时积分就变成了１．４（ｄ）中的积分．因此，积分结果为
∫∞
－∞
ｅ－α（ｘ＋ｃ）２
ｄｘ＝πα
槡
（３１）同１．４（ｃ）一样，限定α的辐角在－π２，π
２()
．讨论延拓：在１．４中讨论的积分基础上，利用积分变量代换与留数定理，我们可以计算积分Ｉｎ()＝
∫
∞
－∞
ｘｎｅ－α（ｘ＋ｃ）２
ｄｘ，其中α与ｃ是复数，要求Ｒｅ（α）＞０．但计算结果开始变得复杂．由于篇幅有限，在此我
１６
大 学 物 理
第４０卷
们不做具体计算．
１．５ 类高斯型积分Ｉ＝∫∞
－∞
ｅｉｍ（ｘ＋ｃ）２
ｄｘ
在１．４所有的讨论中，要求Ｒｅ（α）＞０．本节将讨论另外一种情况，即Ｉ＝∫∞
－∞
人工熊胆ｅｉｍ（ｘ＋ｃ）２
ｄｘ其中ｍ为实数，ｃ可以为复数（只有ｃ为实数此积分才收敛）．与１．４的讨论类似，我们分以下几种情况．
（ａ）ｃ为实数：利用１．４（ａ）中的积分变量代换，可以将实数ｃ消除，积分Ｉ＝∫∞
－∞
ｅｉｍ（ｘ＋ｃ）２
ｄｘ变为
Ｉ＝∫∞
－∞
ｅｉｍｘ２
ｄｘ＝２∫∞０
ｅｉｍｘ２
ｄｘ（３２）不失一般性的，先考虑ｍ为正实数．在复平面上ｅｉｍｚ２
解析，利用留数定理可得
∮ｅｉｍｚ２
ｄｚ＝０
（３３）可在复平面上选择如图２所示积分路径
．
图２ 复平面积分路径可将积分式（３３）写成三部分之和∫Ｒ
０
ｅｉｍｘ２ｄｘ＋∫Ｃ２
ｅｉｍｚ２
ｄｚ＋∫０
Ｒ
ｅｉｍ（ρｅｉπ／４）２ｄ（ρｅｉπ／４
）＝０
（
３４）当Ｒ→∞时，式（３４）
第一项为Ｉ／２，其中Ｉ为待求积分；第二项积分为０，计算如下∫Ｃ２
ｅｉｍｚ２
ｄｚ＝∫π／４
０
ｅｉｍ（Ｒｅｉθ）２Ｒｉｅｉθ
ｄθ＝ Ｒ∫π／４
０ｅ－ｍＲ２ｓｉｎ２θ
ｄθ＝Ｒ２∫π／２
０
ｅ－ｍＲ２ｓｉｎ
ｄ ≤ Ｒ２∫π／２
０
ｅ－
２ｍＲ２π
ｄ
＝π
４ｍＲ
（１－ｅ－ｍＲ２
）＝０（３５）第三项积分为∫０
∞
ｅｉｍ（ρｅｉπ／４）２ｄ（ρｅｉπ／４）＝－ｅｉπ／４
∫∞０
ｅ－ｍρ２
ｄρ＝－１２ｅｉπ／４
πｍ槡
（３６）由式（３４）可得Ｉ＝∫∞
－∞
ｅｉｍ（
ｘ＋ｃ）２
ｄｘ＝ｅｉπ／４
πｍ
槡＝π（－ｉ）ｍ
槡（３７
）
只取ａｒｇ（－ｉ）＝－π２
．当ｍ为负实数时，在复平面上将积分路径选在下半平面，其余过程与ｍ为正实数类似．为方便，我们让ｍ＝－ｍ′（ｍ′＞０），可得
Ｉ＝∫∞
－∞
ｅｉｍ（ｘ＋ｃ）２
ｄｘ＝ｅ－ｉπ／４
πｍ′槡＝πｉｍ′
槡
（３８）只取ａｒｇ（ｉ）＝π２
．式（３７）与式（３８）可以写成通式Ｉ＝
∫
∞
－∞
ｅ－
（ ｉｍ）（ｘ＋ｃ）２ｄｘ＝π
ｉｍ
槡
（ｍ＞０
）（３９）只取ａｒｇ（±ｉ）＝±π２
．（ｂ）ｃ为纯虚数：不失一般性的可以令ｃ＝ｉｂ，ｂ为正实数．在复平面上选择积分路径如图１所示，同１．４（ｂ）类似有
∮ｅｉｍｚ２
ｄｚ＝∫Ｒ
－Ｒｅｉｍｘ２
ｄｘ＋∫ｂ
０
ｅｉｍ（Ｒ＋ｉｙ）２
ｉｄｙ＋
∫－Ｒ
Ｒ
ｅｉｍ（ｘ＋ｉｂ）２
ｄｘ＋∫０ｂ
ｅｉｍ（－Ｒ＋ｉｙ）２
ｉｄｙ＝０（４０）
当Ｒ→∞时，式（４０）第一项可以利用１．５（ａ）的结果，第三项等于负的待求积分，考察第二项与第四项
的模可以发现总有一项是发散的．因此，此种情况
下待求积分是发散的．
（ｃ）ｃ为复数：此种情况是最一般的情况．利用
１．４（ａ）中的积分变量代换，可以将复数ｃ的实部消除，这时积分就变成了１．５（ｂ）中的积分．同样的道理，此时积分是发散的．１．６ 高斯与类高斯型积分的讨论通过观察式（３），式（３１）与式（３９）的积分结果，可以发现高斯与类高斯积分结果均可写成高斯积分结果的形式，只是需要限定α的辐角范围：（ａ）Ｒｅ（α）＞０，α∈Ｃ，ｃ∈ＣＩ＝∫∞
－∞
ｅ－α（ｘ＋ｃ）２
ｄｘ＝π
α槡（４１）需要限定ａｒｇ（α）∈（－π／２，π／２），注意α为实数时其辐角为０．
（ｂ）Ｒｅ（α）＝０，α∈Ｃ，
ｃ∈ＲＩ＝∫∞
－∞
ｅ－α（ｘ＋ｃ）２
ｄｘ＝πα
槡
（４２）
第５期 王 蒙，等：物理学中常用的高斯与类高斯型积分１７
需要限定ａｒｇ（α）＝－π／２或ａｒｇ（α）＝π／２．
２ 高斯与类高斯型积分在物理学中的应用
为将上面讨论的高斯及类高斯型积分与物理学
科中的实际问题联系起来，在此我们将选择不同物
理学科中的几个具体问题，来展示不同形式的高斯
及类高斯型积分的应用实例．所选问题的物理内涵
及重要性，读者均可从相应的教科书中查阅．
水晶面膜２．１ 热力学与统计物理［３］
热力学与统计物理中，在讨论麦克斯韦速度分
布律及能量均分定理时，需要计算分子速率的平均
及分子速率平方的平均（见文献［３］中１９７－２００
页）．为避免重复计算，我们可先得到速率ｎ次方的
平均的通用式
ｖｎ＝∫∞０ｖｎｆ（ｖ）ｄｖ＝４πｍ０２πｋＴ
()３２∫∞０ｖｎ＋２ｅ－ｍ０ｖ２２ｋＴｄｖ＝
４π
α
π
()３２∫∞０ｖｎ＋２ｅ－αｖ２ｄｖ（４３）
其中α＝ｍ０
２ｋＴ．ｋ，ｍ０，Ｔ分别为玻尔兹曼常数，单个理
想气体分子的质量与温度．式（４３）中的积分是１．３．２中讨论的高斯型积分，直接可以利用积分结果．因此粒子平均速率ｖ与方均根速率ｖ２槡，即对应ｎ＝１，２的情况，分别为
（ａ）当ｎ＝１时，平均速率ｖ为
ｖ＝４π
α
π
()３２１２
α２
＝
４
απ
槡＝８ｋＴπｍ０槡（４４）
（ｂ）当ｎ＝２时，速率平方的平均ｖ２为
ｖ２＝４π
α
π
()３２３８
α２
π
α
槡＝３ｋＴｍ０（４５）
因此方均根速率为
ｖ２
槡＝３ｋＴｍ
０
槡（４６）
２．２ 量子力学［１，２，１２］
在量子力学中，高斯与类高斯型积分有着广泛应用．
（ａ）一维谐振子是量子力学中可以精确求解的少数几个问题之一，其在坐标表象中的基态波函数是高斯函数（见文献［１２］中卷一８６页）．在验证海森堡测不准关系时需要分别计算ｘ，ｘ２，ｐ，ｐ２．按照量子力学中力学量平均值的公式，可以得到１．３．１中讨论的高斯型积分．与２．１中的过程类似，直接利用积分结果．
（ｂ）量子力学中，对同一个问题，可以选择在不同的表象中求解．一般情况下，解薛定谔方程是在坐标表象中进行的，但对有些问题在动量表象中求解更方便（见文献［１２］中卷一１０８－１１３页）．一维谐振子既可以在坐标表象也可以在动量表象中精确求解，且在坐标表象中得到的波函数与在动量表象中得到相应的波函数之间可以通过傅立叶变换联系．以一维谐振子在动量表象中的基态波函数与其在坐标表象中的基态波函数为例
ｃ（ｐ）＝１２π槡 ∫∞－∞ψ（ｘ）ｅ－ｉ ｐｘｄｘ（４７）由于一维谐振子在坐标表象中基态波函数是高斯函数，傅立叶变换时会出现类高斯型积分
ｃ（ｐ）＝１２π槡 α槡π槡∫∞－∞ｅ－α２ｘ２２ｅ－ｉ ｐｘｄｘ＝
１
２π
槡 α槡π槡∫∞－∞ｅ－α２２ｘ２＋２ｉｐ α２ｘ＋ｉｐ α２()２
[]ｅα２２ｉｐ α２()２ｄｘ＝１
２π
槡 α槡π槡ｅ－ｐ２２ ２α２∫∞－∞ｅ－α２２ｘ＋ｉｐ α２()２ｄｘ＝
１
２π
槡 α槡π槡ｅ－ｐ２２ ２α２πα２２槡＝１ α槡槡πｅ－ｐ２２ ２α２
（４８）其中α＝ｍω
槡，计算过程中用到了１．４中讨论的类高斯积分结果．
（ｃ）费曼路径积分作为量子力学（矩阵力学与波动力学之外）的另一种理论形式，其核心是如何计
算量子系统的传播子．在费曼路径积分计算自由粒子传播子的过程中，会用到１．５中讨论的类高斯型积分．自由粒子传播子的计算需要计算两个高斯函数乘积的积分（见文献［１２］卷二１７６页），如下∫∞－
∞
ｅα
（ｘ－ｘ
１
）２＋β（ｘ－ｘ
２
）２ｄｘ＝
∫∞－∞ｅ（α＋β）［ｘ－（αｘ１＋βｘ２α＋β）］２ｅαβα＋β（ｘ１－ｘ２）２ｄｘ＝
π
－（α＋β）
槡ｅαβα＋β（ｘ１－ｘ２）２
（４９）其中为α、β纯虚数．
３．３ 光学［６，１１，１３］
在研究光在锋利刃边缘的衍射问题时，会出现
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