弹簧摆

主题展厅：探索与发现展项名称：弹簧摆

1、展示内容、原理、目的

本展项通过竖直方向的振动与水平方向的扭动的运动形式和能量的转换，介绍弹簧摆产生此现象的基本原理。

悬挂一个弹簧，弹簧末端系一质量为m的物块，这就构成了一个弹簧摆，这时只要用力轻轻地向下拉物块，弹簧就会上下振动起来。如果适当选择弹簧的长度，物块质量m，及弹簧倔强系数K（表示弹簧伸长单位长度强力的大小），我们就可以做成一个极为有趣的弹簧摆：当用力在垂直方向拉弹簧，弹簧开始作竖直方向的来回振动，成为一个弹簧振子。但它的振幅会逐渐减少，并同时开始左右摆动，摆动幅度越来越大，即弹簧振子的振动逐渐过渡到摆的摆动。之后，单摆的摆动又会转化为弹簧振子的上下振动，如此反复地振动、摆动、振动……不停地转换，这是什么原因呢？

原来，适当选择摆长l，振子质量m、倔强系数K后，可以使得摆动周期与振子振荡周期相等，这时，振子振动时能量就可以从振动转变为摆动，又能从摆动转变为振动。因而物块m既可作为弹簧振子，又可作为摆的摆锤。这里弹簧起到了能量转换缓冲器的作用。一旦一种形式的运动开始，能量即通过弹簧的

张力从这种形式的运动转换到另一种形式的运动，直到这种形式运动的能量全部传递完为止，然后又开始通过弹簧反方向传递，相应物质的运动也即从一种形式过渡到另一种形式。

2、彩三维效果图

3、展示和操作方式

本展项和“共振秋千”、“龙形摆”组成运动之律展区中的振动分主题。展项从振动中最基础的概念——频率出发，介绍共振，以及共振中的能量转换。使参与者对振动的认识有一个清晰的脉络。“龙形摆”通过一组摆长不同的小球介绍振动中最基础的频率的概念，以及对于最常见机械振动——单摆来讲，影响振动频率的因素是什么？“共振秋千”通过一个原理实验类展品和一个观众体验类展品，使观众从多角度了解共振这个科学内容。“弹簧摆”以看似神奇的现象介绍共振中产生的能量间的转换。

本分主题使观众在参与、操作和体验过程中对振动的最重要概念——频率和共振，由浅入深，有清晰

的认识和了解。

本展品由一套弹簧摆、电磁铁启动装置及升降机构和展台组成。弹簧摆下端连接一个铁块，铁块通过水平的金属杆两端固定两个铁球。弹簧的振动频率与铁块由两端铁球产生的扭动频率接近相同。

参与者按下展台上的“启动”按钮，使升降机构将电磁铁升高，电磁铁通电后将铁块吸附，升降机构下降将铁块竖直下拉到一固定位置随后释放，铁块随后便产生竖直方向的振动，但很快竖直方向的运动停止，开始水平方向上的扭动，过一会儿它又开始竖直方向振动。这个系统的能量在两种振动方式之间不停的转换。

操作按钮旁有状态指示灯（绿），当一个观众操作后，一个周期内（1分钟），物体自己运动，这时候指示灯息，观众操作按钮无效，当这个周期结束后，绿灯亮，观众操作按钮有效重新启动弹簧摆。

参与者操作步骤为：

1>当绿指示灯亮时，按下启动按钮

2>观看弹簧摆摆动情况

练习二弹簧摆

1.实验题目

如图2.20所示，设质量为m的摆锤挂在劲度系数为k，原长为0

微型直线电机l的轻弹簧上，弹簧的另一端悬挂于固定点

O，系统静止自然下垂时弹簧长度为

l l

，系统可在过O点的竖直平面内自由摆动，试研究摆锤的

运动

2.实验目的和要求

⑴作出弹簧摆的模拟运动图像并画出摆锤的运动轨迹

⑵学习一些作模拟动画的技巧，如在模拟摆锤运动的同时画出摆锤的运动轨迹，用正弦曲线表示弹簧，并且通过极坐标变换来表示运动中的弹簧

3.解题分析

系统自由度为2，以O 为极点，竖直向下的Ox 轴为极轴，建立极坐标系，如图2.20所示，r 为质点m 到O 点距离，θ为Ox 轴与弹簧间的夹角，则系统的拉格朗日函数为

()2222011cos 22dr d L T V r mgr k r l dt dt θθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-=+--+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦ （2.12.1）

由拉格朗日方程可求出系统的运动微分方程为

22cos d r d k mg r g r l dt dt m k θθ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222sin d dr d g dt r dt dt r θθθ=-- （2.12.2）

上式未作小摆角近似，因此可用以研究弹簧摆的大摆角运动，但是难以求出解析解。由数值计算结果所画出弹簧摆的大摆角运动轨迹，可发现它的运动情况很复杂，不作数值计算是无法想象的令1y r =，2dr y dt =，3y θ=，4d y dt θ=，则（2.12.2）式成为 12

dy y dt =

221431cos dy k mg y y g y y l dt m k ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭ 34dy y dt = 424312sin dy g y y y dt r y -=-

程序中解微分方程的过程比较简单，主要的技巧是在作模拟动画上。有两点值得注意，一是模拟弹簧的运动，另一点是在模拟弹簧运动的同时画出轨迹图。程序运行的结果如图2.22所示

4.思考题

⑴能不能到其它方法来表示运动中的弹簧，试一试，并比较你的方法与本书介绍的方法的优劣

⑵在小摆角近似的条件下，方程能否有解析解？试加以分析陶瓷发簪

5.参考程序

主程序的文件名thb.m

theta0=pi/10 %\fs{初始角度，可由读者设不同的值}

螺钉加工

m = 1; k = 80; ; g = 9.8;

L0 = 1; L = L0 + m*g/k; %\fs{L0为弹簧原来长度，L为弹簧静止时长度}

[t,u1] = ode45('thbfun',[0 : 0.005 : 15],[L0 0 theta0 0],[],L,k,m,g);

[y1,x1] = pol2cart(u1(:,3),u1(:,1)); y1 = -y1;%\fs{将极坐标换为直角坐标}

ymax = max(abs(y1));

axis([-1.2 1.2 -1.2*ymax 0.2]);%\fs{设置坐标范围}

axis off

title('弹簧摆','fontsize',14)

hold on;

R =0.055 ; %\fs{设置弹簧半径}

yy = -L0 : 0.01 : 0;

xx = R*sin(yy./L0*30*pi);%\fs{用正弦曲线表示弹簧}

[a,r] = cart2pol(xx,yy); %\fs{用坐标变换来画初始位置的弹簧}

a = a + theta0;

[xx,yy] = pol2cart(a,r);%\fs{弹簧的数据}

line([-1 1],[0 0],'color','r','linewidth',2)%\fs{画横杆，球与弹簧} ball = line(xx(1),yy(1),'color','r','marker','.',...

'markersize',70,'erasemode','xor');

ball2 = line(xx(1),yy(1),'color',[0.5 0.51 0.6],'linestyle','-',... 'linewidth',1.3,'erasemode','none');

厚涂型防火涂料spring = line(xx,yy,'color','r','linewidth',2,'erasemode', 'xor'); pause(0.5)

for i = 1 : length(t) %\fs{画出每一步的弹簧位置}

yy = -u1(i,1) : 0.01 : 0;

xx = R*sin(yy./u1(i,1)*30*pi);

[a,r] = cart2pol(xx,yy);

a = a + u1(i,3);

[xx,yy] = pol2cart(a,r);

set(ball,'XData',x1(i),'YData',y1(i));

set(ball2,'XData',x1(i),'YData',y1(i));

set(spring,'XData',xx,'YData',yy);

drawnow;

弹簧铰链

end

函数文件是一个独立的文件，文件名为thbfun.m

led斗胆灯function F = thbfun(t,u,flag,l,k,m,g)

本文发布于:2024-09-20 15:04:23，感谢您对本站的认可！

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