云南大学学报（自然科学版），2011，33（4）：417 421CN53－1045/N ISSN0258－7971 Journal of Yunnan University http：//www．yndxxb．ynu．edu．cn
李瑞洁1，李子平2
（1．华北电力大学数理系，北京102206；2．北京工业大学应用数理学院，北京100022）
摘要：研究了含附加约束奇异Lagrange量系统（约束奇异系统）的量子化，给出了该约束奇异系统修改的Dirac－Bergmann算法，分析了系统的经典正则对称性，研究了它的路径积分量子化和量子对称性质，通过实例 说明经典理论中对称性和守恒律的关系在量子理论中不再有效．
关键词：约束Hamilton系统，附加约束，量子理论，守恒律
中图分类号：O316文献标识码：A文章编号：0258－7971（2011）04－0417－05
动力学系统的描述有位形空间中的Lagrange体制和相空间中的Hamilton体制2种形式，系统的量子化
通常是由相空间中的正则变量来实现的．系统的状态和运动往往受到某些约束条件的限制，约束可分为2类：一类是位形空间中的附加条件（如力学中的完整约束和非完整约束，场论中的附加条件），不妨称为外在约束；另一类是相空间描述时，正则变量间存在的固有约束关系，不妨称为内在约束．众多的物理系统在位形空间描述时，尽管不存在任何附加约束，但过渡到相空间描述时，正则变量间却存在某些约束关系（例如，用所谓奇异Lagrange量描述的系统，包括所有规范理论，就属于这类情况），为约束Hamilton系统．由于正则变量间彼此不独立，初等量子力学中的量子化方法，对该系统已不再适用．Dirac首先给出了约束Hamilton系统的算符形式量子化方法［1］，半个世纪以来，已建立了多种算符形式和路径积分形式量子化以及量子对称性质［2］．然而，在质点力学的经典理论过渡到量子理论中，已研究的系统其正则变量是独立的（正规Lagrange量系统），未讨论含附加约束的情况．场论中仅讨论了不含场量微商附加约束的个别情况下系统的量子化（如非线性σ－模型，CP1模型等［3－4］）．事实上，场论中的附加约束也有比较复杂的情况，例如研究电磁场在介质分界面附近的性质时，将场强的边界条件视为附加约束，用电磁场的矢量A
μ
表出，
该条件中含A
μ和
υ
A
μ
［5］（强子的口袋模型中，口袋表面上非Abel规范场论的边界条件也出现类似情况）．
这里我们来研究同时含外在非完整约束和内在约束系统的量子化．首先给出求该系统在相空间约束修改的Dirac－Bergmann算法，其次研究了约束奇异系统的经典正则对称性，通过路径积分形式对该系统作量子化并讨论其量子对称性质．最后用具体模型的量子化结果，导出的量子水平守恒能量，它不同于经典守恒能量，表明经典的对称性和守恒量的关系，在量子理论中不一定再保持．
1约束奇异系统的量子化
为简单起见，这里研究有限自由度系统，推广到场论情形是直接的．考虑用奇异Lagrange量L（q i， q i）
（i=1，2，…，n）描述的系统，正则动量和正则Hamilton量分别为p
i =
L
q i
和H
C
=p
i
q i－L（重复指标代表求
和）．由Lagrange量的奇异性，从正则动量的定义式，必导致相空间中正则变量q i（t），p i（t）之间存在内在约束［2］
*收稿日期：2010－11－23
基金项目：北京市自然科学基金资助项目（1942005）．
作者简介：李瑞洁（1974－），女，河南人，讲师，主要从事理论物理方面的研究．E－mali：nsylirui@sohu．com．
0a （q i
，
p i ）=0，（a =1，2，…n －R ），（1）
其中R 为Hess 矩阵 2
L q
i q []
j 的秩．由于 H C q i =0，H C 仅为正则变量q i ，p i 的函数，对H C 变分可得［2］ q i － H C p ()i δp i － L q i + H C q
()
i
δq i
=0．（2）
当系统的运动还受到外在非完整约束（Chetaev 型）
G s （q i ， q i ）=0，（s =1，2，…，m ＜R ）（3）
的限制时，位形空间中系统的运动方程为［6］
L q i －d d t L q i =λs G s q
i ，（4）
其中λs （t ）为Lagrange 乘子．假设由p i = L q i 解出的 q i 代入（3）式，可使（3）式化为相空间约束G 0s （q i ，
p i ）=0并与（1）式相容，且由 0a 和G 0a 导致的所有次级约束均彼此相容．此时， G s q i 化为q i
，p i 的函数，并记 G s q油泵法兰
i ≡
G 0si （q i
，
p i ）．将（4）式代入（2）式，得 q i － H C p ()i δp i － p i + H C q
i +λs G 0()
si δ
q i =0，（5）
由（1）式又有
a q
i δq i + 0
a
p i δp i =0，（6）
引入乘子μa
（t ），由Lagrange 乘子法则，从（5）、
（6）式得 q i = H C p i +μa 0
a p i
，（7a ） p i =－ H
C q i +μa 0
a q
i －λs G 0si ，
（7b ）
由（7）式，可得力学量F （q i
，
p i ）随时间的演化F ·
=
F q
i q i + F p i p i =｛F ，H T ｝+ F
p i G i ，（G i =λs G 0si ），（8）
其中H T =H C +μa 0a 为总Hamilton 量，｛·，·｝代表Poisson 括号．将 0a 和G 0a 作为初级约束［3，7］
，并统一记为Φ0a =（ 0a ，G 0a ）．约束的自恰性要求，
Φ·
0α=0，也许可确定乘子μa ，λs
，也可能导致次级约束：Φ1α
=｛Φ0α
，
H T ｝+ Φ0
α
p i G i
=0，（9）
次级约束的自恰性要求，可能导致其他次级约束
Φk α
=｛Φk －1α
，H T ｝+ Φk －1
α
p i G i
=0，
（10）
这个过程直至
Φ
m+1
α=｛Φm
α
，H T ｝+ Φm
α p i
G i =G βαk Φk
β，（k ≤m ）（11）
为止，并设所有的约束Φk
α（k =0，
1，…，m ）均彼此相容．这就是上述特定的附加非完整约束奇异Lagrange 量系统求约束的修改Driac －Bergmann 算法．
当附加约束为完整约束G s （q i ）=0时，其位形空间运动方程（4）式中右端应改为λ
s轮椅电机
G s
环保电镀q i ，此时正则方程为 q i =｛q i ，H'T ｝， p i =｛p i ，H'T ｝，其中H'T =H C +μa 0a +λs G s ．从约束的自恰性求次级约束的Dirac －
814云南大学学报（自然科学版）第33卷
Bergmann 算法与传统算法相同（只要将原有的不含附加约束系统的H T 换为H'T 就是了）［3－4］．
记附加约束奇异Lagrange 量系统在相空间中所有约束为｛Φk α｝，其中第1类约束为Λl （q i
，p i ）=0（l =1，2，…，A ），第2类约束为θj （q i ，p i ）=0（j =1，2，…，B ），按Faddeev －Senjanovic 路径积分量子化方案［8］
，相应于每一个第1类约束须选取一规范条件Ωl （q i
，p i ）=0（l =1，2，…，A ），该系统Green 函数的生成泛函
可写为
Z ［J ］=∫
Dq i Dp i ᵑj ，k ，l
δ（θj ）δ（Λk ）δ（Ωl ）det ｛Λk ，Ωl ｝［det ｛θi ，θj ｝］1
2exp i ∫
d t （p i ，
q i －H C +J i q i {}
），（12）
其中J i 为q i
的外源．出现在上述路径积分中的数均为C －数，这为分析系统的量子对称性带来方便．利用δ－函数和Grassmann 变量ηi （t ）和η+i （t ）的积分性质，可将（12）式化为
［9］Z ［J ］=∫
Dq i Dp i D η+i D ηi D λm exp i ∫
d t （L p
eff +J i q i
{}
）
，（13）
其中
L p eff =L p +L m +L gh ，
L p =p i q i －H C ，（13a ）L m =λj θj +λk θk +λl Ωl ，λm =（λj ，λk ，λl ），
（13b ）
L gh =∫d τη+k （t ）｛Λk ｝（t ），Ωl （τ）｝ηl （τ）+12
η+
i （t ）｛θj （t ），θj （τ）｝θj （τ[]
）．
（13c ）
2约束奇异系统的正则对称性
先研究该系统的经典正则对称性．设系统的正则作用量I p =∫
tuner接口
L p
d t 在无穷小整体变换
t'=t +Δt =t +εστσ（t ，q i ，p i ），
q i '（t'）=q i （t ）+Δq i （t ）=q i （t ）+εσξi σ（t ，q i ，p i ），p'i （t ）'=p i （t ）+Δp i （t ）=p i （t ）+εησi （t ，
q i ，p i {
）（14）
下不变，σ=1，2，…，r ，εσ为任意无穷小参数，τσ，ξi σησi 为给定函数．由整体变换（14）下I p 不变δI
p
=0，有
［2］
∫
q i
－
H C
p ()i
δp i +－
p i
－
H C q
()i δq i +d d t ［p i δq i +（p i q i －H C ）Δt {}
］d t =0，（15）
假设变换（14）所确定的等时变分δq i =Δq i － q
i Δt 分别适合（6）和G 0si δq i
=0，
（16）
引入乘子μa （t ）和λs
（t ）分别乘（6）式和（16）式，将所得结果与（15）式合并，利用运动方程（7）得非完整
约束奇异Lagrange 量系统的守恒量
p i ξi σ－H C τσ=const ，（σ=1，2，…，r ）（17）
可见对非完整约束奇异Lagrange 量系统，当由p i =
L q
i 解出的q i
代入（3）式中，
可使其化为相空间约束且与（1）式相容，就有该系统的正则Noether 定理：如果在（14）式变换下，
系统的正则作用量不变，且变换（14）所确定的等时变分δq i 分别满足（6）式和（16）式，那么此非完整奇异Lagrange 量系统在相空间中存在r 个守恒量（17）式．在经典水平下，这实际上给出了非完整力学系统的一种积分方法．该方法对非完整约束正规Lagrange 量系统（无内在约束）也适用．（16）式相应于约束加在虚位移上的条件．
下面研究该系统的量子对称性．设系统有效正则作用量I p eff =∫L p eff d t =∫
（p i q
i －H eff ）d t 在（14）式变换下不变（此时q i 可以包含q i ，η+
i ，ηi 等）．将（14）式中的εσ改为εσ（t ），使其为一定域变换，而εσ（t ）（σ=1，2，…，r ）为无穷小任意函数，它们及其微商在时间区间的端点为0，在此定域变换下，有效正则作用量的
9
14第4期李瑞洁等：附加约束奇异Lagrange 量系统的量子化理论
变分为
ΔI p
eff =
∫ p i － H eff q
()i δq i + q i － H eff p ()i δp i +d d t ［p i δq i +（p i q i －H eff ）Δt {}
］d t +∫［p i
（ξ
i σ
－ q
i τσ）+（p i q i －H eff ）τσ］d d t εσ（t {}
）d t =－∫
d t εσ（t ）
d d t
［p i （ξi σ－ q i τσ）+（p i q i －H eff ）τσ］，（18）
上式中利用了有效正则作用量在整体变换（14）下不变，（18）式第1个等式的第1项为0，并对第2项作分
部积分，再利用εσ（t ）的端点条件而得．假设上述定域变换的Jacobi 行列式为1，由生成泛函在该定域变换下的不变性，有
Z ［J ］=∫
Dq i Dp i Dp i exp iI p
eff +i ∫
J i q i
d {
}t
1－i ∫d t εσ
（t ）d d t ［p i
（ξ
i σ
－ q
i τσ）{(+（p i q
i －H eff ）τσ］+J i （ξi σ－ q i τσ）｝）
，
（19）对（19）式关于εσ（t ）求泛函微商，然后让外源J i =0，得
〈0T *（p i ξi σ－H eff τσ）0〉=const ，
（20）
其中|0＞代表系统的基态，T *为一种特定的编时乘积［10］．上式中H eff 包含了所有外在和内在约束
不用充电的手电筒甚至规范条件等．可见，在整体变换（14）式下，如果附加约束奇异Lagrange 量系统的有效正则作用量不变，且相应的定域变换的行列式为1，那么该系统在相空间存在量子守恒律（20）式．此量子守恒律与经典正则Noether 定理的守恒律相对应，后者守恒律中出现的是H C ，而前者则是H eff ，这是由于系统存在外在和内在约束的量子化效应．当变换（14）相应的定域变换的Jacobi 行列式为1且有效正则作用量不变才存在守恒律（20）．这些都是与经典理论不同的．经典理论中对称性所联系的守恒律，在量子理论中不一定再保持．
3实例
在前面的工作中［2］
，用其他方式研究了含附加非完整约束
G =a 2 q 21－ q 1 q 2－ q 22=0，
（a 为常数）（21）
的奇异Lagrange 量L =12（ q 21+ q 22）+12q 23（q 21+q 22）－q 3（q 1 q 2－q 2 q 1）－12
（q 2
1+q 22）（22）
系统的经典对称性，这里进一步研究系统的经典正则对称性，并给出它的路径积分量子化，讨论其量子对
称性质．
由Lagrange 量（22）式求出系统的正则动量分别为
p 1= L q 1
= q 1+q 3q 2，p 2= q 2－q 3q 1，p 3=0，（23）
相空间固有初级约束为 0
=p 3=0，（24）
正则Hamilton 量为
H C =p i q
i －L =12（p 21+p 22）－q 3（q 1p 2－q 2p 1）+12
（q 2
1+q 22）．（25）
将（23）式中的 q 1和 q 2代入非完整约束（21）式，可将（21）式用正则变量表出的相空间约束
G 0=a 2（p 1－q 2q 3）
2
－（p 1－q 2q 3）（p 2+q 1q 3）－（p 2+q 1q 3）
2
=0．（26）
将（24）式和（26）式作为系统在相空间的初级约束
［7］
，按上述修改的Dirac －Bergmann 算法（9）式， 0
和
G 0的自恰性要求 ·
0=0和G ·
0=0分别导致确定Lagrange 乘子的方程，不产生任何次级约束，且
｛ 0，G 0｝=2a 2q 2（p 1－q 2q 3）+q 1p 1－q 2p 2－2q 1q 2q 3+2q 1（p 2+q 1q 3），
（27）
024云南大学学报（自然科学版）第33卷
可见， 0和G 0
均为第2类约束．按Faddeev －Senjanovic 路径积分量子化方案，此系统Green 函数的生成泛
函为
Z ［J ］=∫
Dq i Dp i D λm D η+i D ηj δ（ 0）δ（G 0）det ｛ 0，G 0槡｝
i ∫d t （p i
q i
－H C +J i q i {}）
=
∫Dq i
Dp i
D λm
D η+
i
D ηj
exp i ∫d t （L
p eff
+J i q i {}
），
（28）
其中
L p eff =L p
+L f +L g
（29a ）L p =p i q i －H C ，L f =λ1 0+λ2G 0，（λ1，λ2为乘子）（29b ）L g =12
∫
d τη+i （t ）｛θi （t ），θj （τ）｝ηj （t ），（θ1= 0，θ2=G 0
）
（29c ）
其中｛θi ，θj ）可由｛ 0， 0
｝，
｛ 0，G 0｝，｛G 0，G 0｝的Poisson 括号给出．时间平移变换（ξi σ=0，τσ=1）下，有效Lagrange 量L p
eff 不变，且正则变量变换的Jacobi 行列式为1，由（20）得到的量子守恒荷为
＜0T *H eff 0＞=const ，
（30）
而在经典理论中，时间平移变换下，系统的Lagrange 量（22）和约束（21）均不变，由Δq i =δq i + q
i Δt 以及约束的稳定性（自恰性）条件，注意到（21）式是 q i 的二次齐次函数，可见时间平移变换下，δq i 分别满足
（6）式和（16）式［2］．此系统时间平移不变性导致的守恒量由（20）式为正则Hamilton 量H C ．在量子情形，
即使是沿约束超曲面 0=0和G 0
=0，其有效Hamilton 量H eff 也不同于正则Hamilton 量H C ，这是由于系统存在附加非完整约束，
量子化后出现“鬼量”η+
i （t ）和ηj （t ）（反对易C －数）的缘故．相应于非Abel 规范场量量子化后出现的“鬼粒子”，对量子系统的能量、动量和角动量有贡献
［2，9］
．此例子表明经典理论中的对称性和守恒量的关系在量子理论中不再保持，出现所谓“量子反常”，此反常的出现曾被认为是由于对
称变换下，路径积分测度非不变的结果
［11］
，
上述结果说明，反常也可出现在对称变换下路径积分测度不变
的情形．
4结果和讨论
本文研究含附加约束奇异Lagrange 量有限自由度系统的相空间路径积分量子化和正则对称性．通过
实例分析了系统的经典对称性和守恒量的关系在量子理论中不一定再保持．将这一讨论推广到场论中含
附加约束系统的量子化是直接的［12］
．场论的附加约束中场量可不含时间微商（如非线性σ模型，
CP 1－模型等），也可以含时间微商，如在研究电磁波在介质分界面附近的性质时，是将电磁场在分界面上的边界条件作为约束来处理的［5，13］
，边界条件用矢势A μ来表达时，就会出现场量的时间微商A ·
μ，
非标夹具A ·
μ且可用电磁场的正则变量表达，其相空间量子化可类似地进行研究．
参考文献：
［1］DIRAC P A M．Lecture on quantum mechanics ［M ］．New York ：Yeshiva University ，1964．［2］LI Z P ，JIANG J H．Symmetries in constrained canonical systems ［M ］．北京：科学出版社，2002．
［3］张莹，李爱民，李子平．含Hopf 项和Maxwell －Chern －Simons 项O （3）非线性σ模型的分数自旋和分数统计性质［
J ］．物理学报，
2005，54（1）：43-46．［4］张莹，李子平．非Abel Chern －Simons 理论中量子水平的分数自旋性质［J ］．物理学报，2005，54（6）：2611-2613．［5］LI Zi-ping ，WU B C．Symmetry in extended phase space for singular Lagrangian with subsidiary constraints ［J ］．Int J Theor
Phys ，1994，33（5）：1063-1075．
［6］梅凤翔．非完整系统力学基础［M ］．北京：北京理工学院出版社，1985．
（下转第427页）
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24第4期李瑞洁等：附加约束奇异Lagrange 量系统的量子化理论
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