裴闯;蒋晓瑜;王加;宗艳桃
【摘 要】为了进行3维物体全息图的快速运算,在迭代傅里叶变换算法基础上,通过分析透镜的傅里叶变换性质,采用编码球面相位因子的方法,将全息图平行光再现等效为点光源再现.将球面相位因子加入到迭代运算中,获得了具有深度特征的3维物体全息图；同时利用球面相位因子查表运算法简化了相位因子的计算,提高了算法的迭代速度,并基于空间光调制器进行了3维物体的再现实验.结果表明,该算法具有良好的收敛特性,计算的全息图能够在不同距离的像面实现对应层面的物场再现,具有3维的视觉效果. 【期刊名称】《激光技术》
【年(卷),期】2013(037)003
【总页数】6页(P347-352)
n-苯基咔唑【关键词】全息;数字全息;迭代傅里叶变换;相位因子;3维图像
【作 者】裴闯;蒋晓瑜;王加;宗艳桃
【作者单位】装甲兵工程学院控制工程系,北京100072;装甲兵工程学院控制工程系,北京100072;装甲兵工程学院控制工程系,北京100072;装甲兵工程学院控制工程系,北京100072本地摄像头
【正文语种】中 文
【中图分类】O438.1
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全息术因能记录和显示3维图像，吸引了众多科研人员对其进行研究。3维计算全息技术借助计算机强大的运算和图像处理能力，由人工产生全息图，避免了繁琐、费时、费力的化学处理，其数字重构像具有较强的立体感，真正体现了全息的优势。3维数字全息技术在地形地貌测量、表面轮廓重构、3维显示、3维物体成像、3维目标识别和医学诊断等领域拥有广阔的应用前景。
目前，3维物体全息图的计算方法主要包括菲涅耳波带法［1-3］、多视角投影法［4-5］和分数傅里叶变换法［6］等。菲涅耳波带法将物体视为一系列点源，很好地表现物体真实分布，但计算量大，无法适应复杂物体，而且各个菲涅耳波带会互相干扰，影响再现质量。
多视角投影法适合于人眼多角度观察，但是各个角度看到的依旧是2维图像，没有体现3维物体的深度分布。分数傅里叶变换法用不同分数阶表现物体的深度变化，再现光场具有的深度信息，但是再现时需要不同焦距的透镜，限制了该方法的应用。甜菜斑蝇
GERCHBERG和SAXTON［7］提出了一种2维全息图的优化计算方法——迭代傅里叶变换算法（Gerchberg-Saxton，G-S算法），该算法通过在全息图平面和再现像面之间的迭代运算，得到全息图的一组优化解。算法快速、通用、收敛有保证，已经广泛应用于2维全息图计算及光束整形之中［8］。但是该算法计算的是远场夫琅禾费衍射的全息图，再现像在无穷远处，忽略了物体深度信息，无法进行3维物体全息图的计算。
作者在迭代傅里叶变换算法基础上，采用编码透镜球面相位因子的方法表现3维物体不同深度特征，由计算机软件自动迭代生成3维物体数字全息图，将全息图写入液晶空间光调制器中光学再现，获得了具有3维立体视觉效果的再现图像。
1.1 迭代傅里叶变换计算2维全息图
迭代傅里叶变换算法通过在再现像面和全息图平面之间的不断傅里叶变换和逆变换寻全
息图最优的相位解，在每一个变换面都加入强度约束。首先在再现像面以目标图像加上随机相位开始，傅里叶逆变换后在全息图加上平行光强度的幅值约束；傅里叶变换回物面，加上目标图像的幅值约束。同时，如果再现像与目标图像的相似程度达到要求，或者达到算法规定的最高迭代次数，则运算停止，输出相位形成全息图。再现时，用平行光照射全息图，则在无穷远处衍射成期望的目标图像。算法的原理如图1所示。
采用G-S算法对图2a所示的目标图像进行计算，迭代100次后输出全息图如图2b所示（右上角为局部放大图）。可以看出，2维G-S算法的收敛速度很快，可以获得质量较高的再现像（见图2c）。
1.2 透镜的傅里叶变换性质
用点光源照射全息图，远场的光强分布相当于全息图的傅里叶变换。为了便于观察，在全息图后面加一个成像透镜［9-10］，将远场成像在透镜的像面上。如图3所示。
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透镜的焦距为f，点光源与透镜距离为p，像面与透镜间距离为q，点光源与像面之间存在如下关系：
点光源对全息图平面上光场分布的相位影响为：
此时，点光源共轭像面上的光场分布U（x，y）为：
式中，（x0，y0）为全息图平面坐标，O（x0，y0）为全息面光场分布，（x，y）为再现光场坐标，k=2π/λ为波数，λ为波长，C为常数，F为快速傅里叶变换符号。此时，衍射光场的复振幅与全息图平面后光波的复振幅不是准确的傅里叶变换关系，相差一个常数C和相位因子exp［j k（x2+y2）/（2q）］及exp［j k（x02+ y0
2）/（2p）］。前一个相位因子与再现像平面的坐标（x，y）相关，只改变再现光场的相位，不影响再现光场的光强分布；而后一个相位因子与全息图平面坐标（x0，y0）相关，将其视为距离为p的点光源发出的球面波对衍射场的影响，定义其为球面相位因子K。
2维迭代傅里叶算法不能直接应用到3维物体全息图的计算。傅里叶迭代运算中没有考虑物面与全息图平面的距离问题，将物面与全息图平面间设为完整的傅里叶变换关系，再现像面在无穷远处。这样，物体各个物面的深度差异无法体现。另外，如果将各个层面的全息图简单的叠加，则这种重叠会造成复杂的光学重现，而不是期望的再现图像亮度的分布，
即迭代运算获得的全息图简单相加，无法获得3维物体最优化的相位结果。因此，在迭代的运算过程中，应该考虑距离对于全息图优化计算的影响。
2.1 改进G-S算法光学分析
由透镜的傅里叶变换性质可以得到，位于光轴上的点光源照射全息图，紧贴全息图放置凸透镜，则再现像面为全息图的傅里叶变换，只是相差一个球面相位因子K。点光源的位置p不同，根据（1）式，再现像面与透镜间的距离q会发生改变。
在3维物体的全息再现时，用平行光照射全息图，期望在衍射场的不同位置得到不同层次的再现像。同时，考虑到凹透镜对平行光的发散作用，可以将平行光等效为某个位置的点光源照射。这样，在全息图中编码进凹透镜的效应，把平行光等效为一系列位置不同的点光源照射，则点光源的共轭像面位置不同，在不同的共轭像面上就可以得到不同层次清晰的像。物体某一层面上的图像在对应的共轭像面上聚焦，而其它层面上的图像在此像面上出现离焦，等效光路如图4所示，用平行光照射全息图，在全息图中加入不同焦距凹透镜的影响进行编码。焦距为f1，f2的凹透镜分别将平行光等效成距离为p1，p2处的点光源S1，S2照射全息面。则物面P1，P2的全息图在两个点光源的照射下，P1在距离为q1处、点光源S
1的共轭像面在Z1处成像，P2在距离为q2处、点光源S2的共轭像面在Z2处成像。
凸透镜在全息图的傅里叶变换时，对再现像有一个负的球面相位因子影响，而凹透镜编码到全息图中，对全息图有一个正的球面相位因子影响。因此，在图1所示的2维G-S算法的基础上，迭代运算需要将凹透镜和凸透镜对全息图和再现像的影响加入进去。在傅里叶逆变换后，除以球面相位因子；在加入平行光幅值约束后，乘以球面相位因子，模拟不同距离的各个层面再现效果的不同，体现了距离对3维全息图计算的影响。
2.2 球面相位因子查表运算法
在迭代的运算中，需要进行球面相位因子的乘除运算。观察（2）式可以发现，球面相位因子对图像的每一个点都有影响，而且根据其与原点的距离不同而变化。迭代运算需要对图像的每个点都进行乘除运算，大大增加了运算量。在计算机数值运算中，加减的运算速度明显优于乘除的运算速度。观察球面相位因子的特性，其对衍射光的幅值没有影响，只是在相位上叠加了一个与坐标相关的因子。如图5所示，其相位影响呈现严格的对称分布，在半径相等的位置，具有相同的影响。因子叠加在衍射光的复振幅上，只是在相位上加减一个与坐标相关的数值。因此，针对不同的衍射距离q，求出对应点光源位置p，并在初次计
算中建立球面相位因子的查表（见图6），存储在计算机中，迭代运算时根据点的坐标（）查相位影响因子，直接叠加到复振幅的相位上。该算法将复杂的相位因子运算转化为简单的查表加减运算，提高了运算速度，避免了加入相位因子对整体迭代速度的影响。
2.3 3维全息图的迭代运算过程
改进的迭代傅里叶算法实现3维物体全息图的计算流程如图7所示，步骤如下。
（1）将3维物体沿深度方向进行分割，分割物面的层数由人眼的分辨率决定，设为n。将第i个物面Oi作为第i个再现图像Pi。根据需要的成像距离q计算p，并得到各个图层的球面相位因子Ki，转换为球面因子查表，放入存储器。
（2）第1次迭代运算（N=1），将目标图层Pi的幅值Ai加上随机相位Φi，作为目标再现图像。金属手铐脚镣
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