动点轨迹为一条直线时,利用“垂线段最短”求最值。
(1)当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值
(2)当动点轨迹不易确定是直线时,可通过以下三种方法进行确定
观察动点运动到特殊位置时,如中点,端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变,若存在该动点的轨迹为直线。
当某动点到某条直线的距离不变时,该动点的轨迹为直线。 当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时,若可化为一次函数,则点的轨迹为直线。
例题.如图,矩形中,,,点是矩形内一动点,且,则的最小值为_____.
【解析】为矩形,
又
点到的距离与到的距离相等,即点线段垂直平分线上,
连接,交与点,此时的值最小,
且
巩固1.如图,等腰Rt△ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC边上的动点,OQ⊥OP交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为( )
A. B. C.1 D.2
【解析】连接OC,作PE⊥AB于E,MH⊥AB于H,QF⊥AB于F,如图,
∵△ACB为到等腰直角三角形,∴AC=BC裤衩裙=AB=,∠A=∠B=45°,
∵O为AB的中点,∴OC⊥AB,OC平分∠ACB,OC=OA=OB=1,∴∠OCB=45°,
∵∠POQ=90°,∠COA=90°,∴∠AOP=∠COQ,
在Rt△AOP和△COQ中,,∴Rt△AOP≌△COQ,∴AP=CQ,
易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形,∴PE=AP=CQ,QF=BQ,
∴PE+QF=(CQ+BQ)=BC==1,∵M点为PQ的中点,
∴MH手动风量调节阀为梯形PEFQ的中位线,∴MH=(PE+QF)=,即点M到AB的距离为,
而CO=1,∴点M的运动路线为△ABC的中位线,∴当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长=AB=1,选C.
巩固2.如图,在平面内,线段AB=6,P为线段AB上的动点,三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P,且满足PC=PA.若点P沿AB方向从点A运动到点B,则点E运动的路径长为______.
【解析】如图,由题意可知点C运动的路径为线段AC′,点E运动的路径为EE′,
由平移的性质可知AC′=EE′,
在Rt△ABC′中,易知AB=BC′=6,∠ABC′=90°,∴EE′=AC′=
巩固3.如图,等边三角形ABC的边长为4,点D是直线AB上一点.将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE,连结BE.
(1)若点D在AB边上(不与A,B重合)请依题意补全图并证明AD=BE;
(2)连接AE,当AE的长最小时,求CD的长.
【解析】(1)补全图形如图1所示,AD=BE,理由如下:∵△ABC是等边三角形,∴AB医院新风系统=BC=AC,∠A=∠B=60°,由旋转的性质得:∠ACB=黑碟∠DCE=60°,CD=CE,
∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BEabaqus后处理.
(2)如图2,过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F.
∵△ACD≌△BCE,∴∠CBE=∠A=60°,∴点E的运动轨迹是直线BE,
根据垂线段最短可知:当点E与F重合时,AE的值最小,此时CD=CE=CF,
∵∠ACB=∠CBE=60°,∴AC∥EF,又∵AF⊥BE,∴AF⊥AC,
在Rt△ACF中,∴CF===,∴CD=CF=.
类型二:动点轨迹--圆或圆弧型
动点的轨迹为定圆时,可利用:“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和,最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法:
(1)动点到定点的距离不变,则点的轨迹是圆或者圆弧。
(2)当某条边与该边所对的角是定值时,该角的顶点的轨迹是圆,具体运用如下;
见直角,斜边,想直径,定外心,现圆形
见定角,对边,想周角,转心角,现圆形
例题.如图,点在半圆上,半径,,点在弧油泵法兰上移动,连接,作,垂足为,连接,点在移动的过程中,的最小值是______.
【解析】如图,设AD的中点为点E,则
由题意得,点H的运动轨迹在以点E为圆心,EA为半径的圆上
由点与圆的位置关系得:连接BE,与圆E交于点H,此时取得最小值,