2020中考数学复习微专题:用瓜豆原理解决最值问题 在辅助圆问题中,我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹,即可求出关于动点的最值. 在此类题目中,题目或许先描述的是动点P,但最终问题问的可以是另一点Q,当然P、Q之间存在某种联系,从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值,为常规思路.
一.轨迹之圆篇
引例1:如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接顶喷AP,Q为AP中点.
考虑:当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?
【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆,而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系? 考虑到Q点始终为AP中点,连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心,半径MQ是OP一半,任意时刻,均有△AMQ∽△AOP,QM:PO=AQ:AP=1:2. 【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径,
由A、Q、P始终共线可得:A、M、O三点共线,
由Q为AP中点可得:AM=1/2AO.
Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.
根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系;
根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.
引例2:如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,作AQ⊥AP且AQ=AP.
考虑:当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?
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【分析】Q点轨迹是个圆,可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ,故Q点轨迹与简易升降平台P点轨迹都是圆.接下来确定圆心与半径.
考虑AP⊥AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO;
考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.
即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO≌△AQM.
引例3:如图,△APQ是直角三角形,∠PAQ=90°且AP=2AQ,当P在圆O运动时,Q点轨迹是?
【分析】考虑AP⊥AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO;
考虑AP覆膜胶:AQ=2:1,可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1.
即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO∽△AQM机器人电主轴,且相似比为2.
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