二次函数与几何综合题
1. 如图，抛物线y＝x2－x－2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，M是直线BC下方的抛物线上一动点． (1)求A、B、C三点的坐标；
(2)连接MO、MC，并把△MOC沿CO翻折，得到四边形MOM′C，那么是否存在点M，使四边形MOM′C为菱形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由； (3)当点M运动到什么位置时，四边形ABMC的面积最大，并求出此时M点的坐标和四边形ABMC的最大面积．
第1题图
解：(1)令y＝0，则x2－x－2＝0，
解得x1＝4，x2＝－1，
∵点A在点B的左侧，
∴A(－1，0)，B(4，0)，
令x＝0，则y＝－2，
∴C(0，－2)；
(2)存在点M，使四边形MOM ′C为菱形．如解图①，连接MM ′，
设M点坐标为(x，x2－x－2)(0＜x＜4)，
∵四边形MOM ′C是菱形，
∴MM ′垂直平分OC，
∵OC＝2，
∴隧道隔音降噪施工M点的纵坐标为－1，
∴x2－x－2＝－1，
解得x1＝，x2＝(不合题意，舍去)，
∴M点的坐标为(，－1)；
(3)如解图②，过点M作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点H，连接CM、BM、AC，设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
第1题解图②
将B(4，0)，C(0，－2)代入，得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x－2，
设M(x，x2－x－2)，0＜x＜4，则Q(x，x－2)，
∴QM＝x－2－(x2－x－2)＝－x2＋2x，
∴S四边形ABMC＝S△ABC＋S△CMQ＋S△BQM
＝AB·OC＋QM·OH＋QM·HB
＝AB·OC＋QM·(OH＋HB)
＝AB·OC＋QM·OB
＝×5×2＋(－x2＋2x冰雕模具)·4
＝－x2＋4x＋5
＝－(x－2)2＋9，
∴当x保护架＝2时，四边形ABMC的面积最大，且最大面积为9，
又∵当x＝2时，y＝x2－x－2＝－3，
∴当M点的坐标为(2，－3)时，四边形ABMC的面积最大，且最大面积为9.
2．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD. (1)求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
(2)点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，bbzsM为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．
第2题图 备用图
解：烟雾净化(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，
∴，解得，
∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)如解图①，连接PC、PE.
∵－＝－＝1，
当x＝1时，y＝－1＋2＋3＝4；
当锅炉烟囱制造x＝0时，y＝3，
∴点D坐标为(1，4)，点C坐标为(0，3)，
第2题解图①
设直线BD的表达式为：y＝mx＋n，
将点B、D坐标分别代入，得，解得，
∴y＝－2x＋6，
设点P坐标为(x，－2x＋6)，
由勾股定理可得PC2＝x2＋(3＋2x－6)2，PE2＝(x－1)2＋(－2x＋6)2，
∵PC＝PE，
∴x2＋(3＋2x－6)2＝(x－1)2＋(－2x＋6)2，
解得x＝2，则y＝－2×2＋6＝2，
∴P点坐标为(2，2)；
(3)依题意可设点M坐标为(a，0)，则点G坐标为(a，－a2＋2a＋3)．
如解图②，以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，必有FM＝MG，
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