“圆 锥 摆”及 其 变 形
江苏省木渎高级中学（215101）郁建石
细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”， 如图[1]所示。 “圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，如果真正地搞清了圆锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。下面就“圆锥摆”问题着重谈三个方面的问题。 一、受力分析 如图[1]所示的圆锥摆，小球在水平面内做
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匀速圆周运动，共受到重力G 和悬线上拉力T 两个力作用，这两个力的合力F 沿水平方向指 向圆周运动的圆心O ′，它作为小球做匀速圆 周运动的向心力。若悬线长为l ，小球的质量 为m ，悬线与竖直方向的夹角为α，则向心力 F ＝mg tan α。 二、角速度 根据匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，可以得到：mg tan α＝m ω2r ，其中r ＝l sin α，代入整理，得到其角速度：ω＝α
cos l g
。根据这一表达式，进行如下讨论：
①当悬线长度l 一定时，ω∝α
cos 1，即悬线与竖直方向的夹角α随着小球角
速度ω的增大而增大。
- 1 -
②若悬线的长度l 和悬线与竖直方向的夹角α均不相同，但是l 和cos α的乘积l cos α相同，则角速度ω
就相同，乘积l cos α实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m 和悬线长度l 各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度ω就一定相同。
③小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。当悬线与竖直方向的夹角α＝0时，得到角速度ω0＝
l
g
，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。即只有当ω＞
l
g
时，悬线才会被拉直，小球在 l
g
，小球不会在水平面内做圆 水平面内做圆锥摆运动；如果ω＜
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锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直 ω
杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动， 图[2]
如图[2]所示）。 三、变形
根据圆锥摆的受力特点和运动特点，可以将其进行如下几种变形：
1、小球沿一个倒置的光滑圆锥面的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图[3]所示。
受力分析：这时小球在重力G 和圆锥面对它的支持
力N （相当于圆锥摆中悬线的拉力T ）的合力F 提供小 球做匀速圆周运动的向心力。
与圆锥摆比较：由于圆锥面的顶角θ为一定值，根 θ
指路器θ
据F ＝mg ctg
＝ma ，得小球的向心力速度a ＝g ctg ，
22
图[3]
可知所有在此圆锥面内做匀速圆周运动的小球，都具有
- 3 -
相同大小的加速度；再由向心加速度公式：a ＝r v 2
＝ω2r ，可知小球圆周运动的轨道
半径r 越大（即离开圆锥顶点O 越远），线速度v 越大，角速度ω越小。
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3、细线一端系一小球，另一端固定于光滑圆锥面
的顶点，小球在水平面内做圆周运动，如图[4]所示。
受力分析：小球共受到三个力的作用：小球的重力 G 、细线对它的拉力T 和圆锥面对它的支持力N 。这三控制器外壳
个力的合力提供小球做圆周运动的向心力。
与圆锥摆比较：当角速度ω较小时，小球将沿圆锥 面运动，此时分别将N 和T 分解到水平方向和竖直方向，
列出方程：水平方向 T sin 2θ－N cos 2θ＝m ω2r ，竖直方向 T cos 2θ+N sin 2θ
－mg ＝0 。
不难看出，随着角速度ω的增大，圆锥面对小球的支持力N 将减小；当角速度ω增大到ω＝
2
cos
θ
g 时l ，圆锥面对小球的支持力N 将减小到0，这是一个临界状态；如果
继续增大角速度ω，小球将脱离圆锥面运动，这时其规律与圆锥摆就没有区别了。
如果将这种情况中的圆锥面去掉，而紧贴 着小球的运动平面加一个光滑水平面，如图[5] 所示。小球在水平面内做匀速圆周运动时的受 力情况、运动情况以及临界状态的分析，都同 这种情况相似；所不同的是将原来的圆锥面对 小球斜向上的支持力，改成现在水平面对小球 竖直向上的支持力而已。
3、用两根细线，其一端系着一个小球，另一端系在一根匀速转动的竖直杆上的两点
图[4]
图[5]
上，小球在水平面内做匀速圆周运动，如图[6]所示。
连续缠绕玻璃钢夹砂管受力分析：小球共受到三个力的作用：小球的重力G 、细线AB 对它的拉力T 1和细线BC 对它的拉力T 2。这三个力的合力提供小球做圆周运动的向心力。
l
g
与圆锥摆比较：①当角速度ω较小，即当ω＜
时，小球不会在水平面内做圆周运动，此时两根细线小球将均缠绕在竖直杆上，小球随杆一起转动，如图[7]所示。 - 4 -
②当角速度ω在下列范围：
l g ＜ω＜α
cos l g
，细线AB 将被拉紧，而细线BC 则处于松弛状态，这时情形与原始的圆锥摆相同，如图[8]所示。③当角速度ω＞锯齿线面部提升术
α
cos l g
时，两根细线都将被拉紧，也就是象图[6]中的情形了。有兴趣的同学还可以进一步讨论：这时细线AB 和BC 哪根线上拉力较大？如果两根细线的规格是相同的，则随着角速度ω的不断增大，哪根细线先断？断了以后再增大角速度ω，又会出现什么情况？等等。
另外，还可把圆锥摆问题放到电场、磁场中去，这时只要再原来的基础上再加上电场力或者磁场力就行了，限于篇幅，这里就不再细述了。
C 图[6]
G
图[8]
图[7]
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