§1柯西判别法及其推广
比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理：比较原理I：设
u，vnn1n1n都是正项级数，存在c0，使
uncvn(n1,2,3,...)
n
（i）若
un1n也收敛；（ii）若
vn1n也发散．
比较原理II（极限形式）设
u，vnn1n1n均为正项级数，若
p2p网络电视录像专家limunl(0,)
nvn
则
u、vnn1n1n同敛散．
根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法．定理1（柯西判别法1）设 un1n为正项级数，
（i）若从某一项起（即存在N，当nN时）有nunq1（q为常数），
则
un1n收敛；
（ii）若从某项起，nun1，则un发散．
n1证（i）若当nN时，有nunq1，即unqn，而级数
qn1n收敛，
根据比较原理I知级数
un1n也收敛．
（ii）若从某项起，nun1，imun0则un1，故ln，由级数收敛的必要条件知
un1n1
发散．定理证毕．定理2（柯西判别法2）设
微型超级电容器un1n为正项级数，limnn则：（i）当r1时，ununr，
n1收敛；（ii）当r1（或r）时，un发散；（iii）当r1时，法则失效．
时规带n1
例1判别下列正项级数的敛散性
123(1)()2()3357nn()2n1；(2)nen=1nn
(3)n某n（为任何实数，某0）．
n=11解(1)因为rlimun1n2n，所以原级数收敛．
(2)因为rnlimnunlimnnen，所以原级数发散．
(3)对任意，rlimnun某．当0某1时收敛；当某1时发散；当某1时，
1，即1时收敛；当1此时级数是p级数，要对p进行讨论，当时，即1时发散．
1nn例2判别级数n[2(1)]的敛散性．
n13解由于
n12(1)nnlimunlimnn[2(1)]limnn3n3n不存在，故应用定理2无法判别级数的敛散性．又因为
n12(1)21nnnun[2(1)]q1n3n33由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛．例3（98考研）设正项数列an单调减少，且是否收敛？并说明理由．
1n(1)a发散，试问级数na1n1n1nn2
解答案：级数
1a1n1nn收敛，证明如下：
由于an单调减少且an0,根据单调有界准则知极限liman存在．设limana,则
nna0．如果a0,则由莱布尼兹判别法知
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n(1)a(1)an发散矛盾，收敛，这与nnn1n1故a0．再由an单调减少，故ana0,取q0nun11，a111q1an1a1n根据柯西判别法1知
1n1an1收敛．
下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法．定理3（广义柯西判别法1）设
un1n为正项级数，如果它的通项un的
anbanba0次根的极限等于r，即limnunr．则当r1时，级数收敛；当r1时，
级数发散；当r1级数可能收敛也可能发散．
证因为limanbunr，即对任给正数，存在正整数N1，当nN1时，有
n
ranbunr（1）
对于任给常数b，总存在N2，当有nN2时有粉尘收集
anb0（2）
取Nma某N1,N2，当nN时，式（1）和式（2）同时成立．马胶配方的大全
当r1时，取足够小，使rq1．由上述讨论，存在N，当nN时，式（1）
anb和式（2）同时成立，那么有unq，正项级数
qn1anbqb(qn1an)收敛（因为其为等
比级数且公比0q1），由比较审敛法知，级数
nun1n收敛．
当r1时，取足够小，使rq1，由上面的讨论，存在N，当nN时，式（1）
anb和式（2）同时成立，则unq
，正项级数
qn1anbqb(qn1an)发散，由比较审敛法知，
3
级数
un1n发散．
当r1时，取un11anbulimlim1．a0,b，那么，对任何为常数，有而npp/(anb)nnnn11发散，收敛．说明此时级数可能收敛也可能发散．定理证毕．2nnn1n11例4判别级数n13n1解因为lim2n1unlimn2n1的收敛性．
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