文章编号：１００４－２８９Ｘ（２０２１）０２－００６８－０５
严海龙
洗水
（福州大学电气工程与自动化学院，福建 福州 ３５０１１６）
摘 要：针对采样型正弦脉宽调制（ＳＰＷＭ）技术中几种传统实现方法各有优缺点的问题，特别是在谐波含量这一重要指标上的比较，提出了一种谐波通用计算与分析方法，可作为ＳＰＷＭ新技术研究的辅助工具。基于ＭＡＴＬＡＢ数值计算和傅里叶级数，以不对称规则采样法ＳＰＷＭ波的生成及其谐波计算为例，详细分析了脉宽调制（ＰＷＭ）波的各次谐波和总谐波系数（ＴＨＤ）的计算过程。通过该方法计算对称规则采样法与不对称规则采样法ＳＰＷＭ波的ＴＨＤ值，比较结果验证了该方法的可行性。同时通过以占空比为３０％的方波的谐波计算，证明了该方法的通用性。 关键词：采样型ＳＰＷＭ；不对称规则采样；谐波计算；傅里叶级数
中图分类号：ＴＭ４６４ 文献标识码：Ｂ
ＧｅｎｅｒａｌＨａｒｍｏｎｉｃＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎａｎｄＡｎａｌｙｓｉｓＭｅｔｈｏｄｆｏｒ
ＳｉｎｕｓｏｉｄａｌＰｕｌｓｅＷｉｄｔｈＭｏｄｕｌａｔｉｏｎ
ＹＡＮＨａｉ ｌｏｎｇ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｕｔｏｍａｔｉｏｎ，ＦｕｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｕｚｈｏｕ３５０１１６，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｅｖｅｒａｌｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄｓｏｆｓａｍｐｌｉｎｇｓｉｎｕｓｏｉｄａｌｐｕｌｓｅｗｉｄｔｈｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ（ＳＰＷＭ）ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｈａｖｅｍｅｒ ｉｔｓａｎｄｄｅｍｅｒｉｔｓ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙｉｎｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｗｉｔｈｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｉｎｄｅｘｏｆｈａｒｍｏｎｉｃｃｏｎｔｅｎｔ．Ａｇｅｎｅｒａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎａｎｄａ ｎａｌｙｓｉｓｍｅｔｈｏｄｆｏｒｈａｒｍｏｎｉｃｓｗａｓｐｒｏｐｏｓｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｈｉｃｈｃａｎｂｅｕｓｅｄａｓａｎａｕｘｉｌｉａｒｙｔｏｏｌｆｏｒＳＰＷＭｎｅｗｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｒｅｓｅａｒｃｈ．ＢａｓｅｄｏｎＭＡＴＬＡＢｎｕｍｅｒｉｃａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎａｎｄＦｏｕｒｉｅｒｓｅｒｉｅｓ，ｔａｋｉｎｇｔｈｅｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｏｆＳＰＷＭｗａｖｅａｎｄｉｔｓｈａｒｍｏｎｉｃｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｂｙａｓｙｍｍｅｔｒｉｃｒｅｇｕｌａｒｓａｍｐｌｉｎｇｍｅｔｈｏｄａｓｅｘａｍｐｌｅｓ，ｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓｏｆｅａｃｈｈａｒ
ｍｏｎｉｃａｎｄｔｏｔａｌｈａｒｍｏｎｉｃｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ（ＴＨＤ）ｏｆｐｕｌｓｅｗｉｄｔｈｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ（ＰＷＭ）ｗｅｒｅａｎａｌｙｚｅｄｉｎｄｅｔａｉｌ．ＴｈｅＴＨＤｖａｌｕｅｓｏｆＳＰＷＭｗａｖｅｓｏｆｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌｒｅｇｕｌａｒｓａｍｐｌｉｎｇｍｅｔｈｏｄａｎｄａｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌｒｅｇｕｌａｒｓａｍｐｉｎｇｍｅｔｈｏｄｗｅｒｅｃａｌｃｕｌａｔｅｄｂｙｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｒｅｓｕｌｔｖｅｒｉｆｉｅｄｔｈｅｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｍｅｔｈｏｄ．Ａｔｔｈｅｓａｍｅｔｉｍｅ，ｔｈｅｇｅｎｅｒ ａｌｉｔｙｏｆｔｈｅｍｅｔｈｏｄｗａｓｐｒｏｖｅｄｂｙｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｔｈｅｈａｒｍｏｎｉｃｏｆｔｈｅｓｑｕａｒｅｗａｖｅｗｉｔｈｄｕｔｙｒａｔｉｏｏｆ３０％．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓａｍｐｌｉｎｇＳＰＷＭ；ａｓｙｍｍｅｔｒｉｃｒｅｇｕｌａｒｓａｍｐｌｉｎｇ；ｈａｒｍｏｎｉｃｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ；Ｆｏｕｒｉｅｒｓｅｒｉｅｓ
１ 引言
正弦脉宽调制（ｓｉｎｕｓｏｉｄａｌｐｕｌｓｅｗｉｄｔｈｍｏｄｕｌａ ｔｉｏｎ，ＳＰＷＭ）［１－７］技术目前已经在实际中得到非常广泛的应用。ＳＰＷＭ信号的生成与控制主要有硬件法和软件法两大类［８］。硬件法，顾名思义，是采用专用集成电路，成本相对较高；软件法则是通过微
处理器实时生成ＳＰＷＭ波。早些年人们是采用微机或单片机来计算，由于受处理器运算速度的限制，计算的速度和精度往往无法同时满足，现在具有高速运算功能的数字信号处理器（ｄｉｇｉｔａｌｓｉｇｎａｌｐｒｏｃｅｓ ｓｏｒ，ＤＳＰ）的出现，尤其是电动机控制专用型ＤＳＰ的出现，使得这一问题轻松得到解决。软件法生成ＳＰＷＭ信号的具体实现有很多方法，比如采样型ＳＰＷＭ法、谐波消去法、等面积法等，尤其是采样型ＳＰＷＭ法比较普遍，其中包括自然采样法、对称规则采样法、不对称规则采样法［９］。自然采样法因为涉及到求解超越方程，所以一般只作为理论指导。不
《电气开关》（２０２１．Ｎｏ．２）
对称规则采样法较对称规则采样法的采样时刻更接近于自然采样法，使得其生成的ＳＰＷＭ波更加接近于正弦波，即谐波含量更低，因此在实际中得到更为广泛的应用。然而，不对称规则采样法在每个载波周期内要采样两次，是以采样次数多、占用微处理器内存资源大和实时性相对较差为代价，来获取较对
称规则采样法谐波含量低的优点［１０］。
如果想要研究出性能更好的新型ＳＰＷＭ技术，谐波含量的定量计算与分析则是必不可少的，这是
评估新技术优劣的一个重要指标［
１１］
。为此，本文基于ＭＡＴＬＡＢ数值计算和傅里叶级数，提供了一种采样型ＳＰＷＭ波的谐波通用计算与分析方法，并以不对称规则采样法ＳＰＷＭ波的生成及其谐波分析为例，验证了该方法可以为ＳＰＷＭ新技术的研究提供参考作用，如文献［１０－１１］等中的新技术的研究。最后，本文通过对占空比为３０％的方波的谐波计算，验证了该方法也可以作为任意周期性ＰＷＭ波的谐波通用计算工具。
２ 采样型ＳＰＷＭ波的ＭＡＴＬＡＢ生成方法
图１所示是不对称规则采样法生成ＳＰＷＭ电压波形的原理示意图，正弦调制波函数Ｕｍ·ｓｉｎｗｔ，其中Ｕｍ是正弦波的幅值，ｗ是正弦波的角频率，且ｗ＝２πｆ，ｆ为正弦波的频率，正弦波周期Ｔ＝１／ｆ。高频三角载波的幅值为Ｕｃ，频率为ｆｃ，周期Ｔｃ＝１／ｆｃ。Ｍ＝Ｕｍ／Ｕｃ称为调制度或调制比，即正弦调制波峰值与三角载波峰值之比；Ｎ＝ｆｃ／ｆ＝Ｔ／Ｔｃ称为载波比。本文以不对称规则采样法ＳＰＷＭ波为例，分析所提出的谐波计算方法。如图１所示，不对称规则采样法既在载波的顶点对称轴位置采样，又在载波的底点对称轴位置采样，也就是在每个三角载波周期内采样两次，比对称规则采样法多了一倍。
由参考文献［８］可知，两种采样法的Ａ相脉宽计算公式分别是：
对称规则采样法：ｔｏｎ
＝Ｔｃ
２［１＋Ｍｓｉｎ（２πｋＮ）］（１）
不对称规则采样法：
ｔｏｎ
＝Ｔｃ
２｛１＋Ｍ２［ｓｉｎ２πｋＮ＋ｓｉｎπ（２ｋ＋１）Ｎ］｝（２）式中，ｋ＝０，１，２…Ｎ－１；Ｍ为调制度；Ｎ为载波
比。
图１ 不对称规则采样法ＳＰＷＭ原理图
图２所示是基于ＭＡＴＬＡＢ的ＳＰＷＭ电压波形生成主程序流程图，利用数组思维计算各相电压及生成电压波形，程序的关键点在于两个数组ｔ（时间）和Ｕａ（Ａ相电压）长度必须一致，这里采用ｔ与数组序号ｉ
同步增长的方式保证两者数组长度一致。图２ ＳＰＷＭ电压波形生成主程序流程图
Ａ相电压Ｕａ（ｉ）的波形生成子程序流程图如图３所示，Ｂ相电压Ｕｂ（ｉ）和Ｃ相电压Ｕｃ（ｉ）的波形生成子程序与Ａ相类似，即在计算关断区间Ｔｏｆｆ１和导通区间Ｔｏｎ时，
Ｂ相在Ａ相的基础上减去２π／３相角，Ｃ相在Ａ相的基础上加上２π／
３相角即可。设逆变器前端母线电压为５地昔尼尔
００Ｖ，上述图３对应的不对称规则采样法ＰＷＭ波形生成参考程序如下：
ｆｕｎｃｔｉｏｎｆｕｎａ＝ＰＷＭＡ（ｔ，Ｔｃ
，Ｍ，Ｎ） ％ｆｕｎａ为返回《电气开关》（２０２１．Ｎｏ．２）
值
ｋ＝ｆｉｘ（ｔ／Ｔｃ）； ％ｋ为载波序号
Ｔｏｆｆ１＝（Ｔｃ／４） （１－Ｍ ｓｉｎ（２ ｐｉ ｋ／Ｎ））；Ｔｏｎ＝
（Ｔｃ／２） （１＋（Ｍ／２） （ｓｉｎ（２ ｐｉ ｋ／Ｎ）＋ｓｉｎ（（２ ｋ＋１） ｐ
ｉ／Ｎ）））；ｉｆ（ｔ＞＝（ｋ Ｔｃ＋Ｔｏｆｆ１））＆（ｔ＜（ｋ Ｔｃ＋Ｔｏｆｆ１＋Ｔｏｎ
））；ｆｕｎａ＝５００；ｅｌｓｅ
ｆｕｎａ＝０；ｅｎｄ；
该程序的关键在于利用向零取整函数ｆｉｘ计算载波序号ｋ值，并说明ｔ在区间［ｋ Ｔｃ，（ｋ＋１） Ｔｃ］。
取Ｍ＝０ ８，Ｎ＝１５，ｆ＝５０Ｈｚ时，利用图２和图３所述方法生成的不对称规则采样法ＳＰＷＭ波形见图４
所示。
图３ Ａ相ＰＷＭ电压波形生成子程序流程图
３ 谐波含量的计算与分析
３ １ 各次谐波含量的计算
本文基于傅里叶级数，将谐波含量的计算具体详细化，并且提供相应的ＭＡＴＬＡＢ软件编制通用方法。
如果周期性线电压函数Ｕａｂ
（ｔ）的周期为Ｔ，频率为ｆ＝１／Ｔ，基波角频率ｗ＝２πｆ，Ｕａｂ（ｔ）＝Ｕａｂ（ｔ＋Ｔ），那么Ｕａｂ（ｗｔ）可以分解为无限项三角级数———傅里叶级数，即如式（３）～（７）
所示。
图４ 不对称规则采样法ＰＷＭ电压波形
Ｕａｂ（ｗｔ）＝Ａ０＋∑
ｎ＝１
［Ａｎｃｏｓ（ｎｗｔ）＋Ｂｎ
ｓｉｎ（ｎｗｔ）］（３）
Ａ０＝１Ｔ∫Ｔ
０Ｕａ
ｂ（ｔ）ｄｔ
（４）Ａｎ
＝２Ｔ∫Ｔ
０
Ｕａｂ
（ｔ）ｃｏｓ（ｎｗｔ）ｄ
ｔ
（５）Ｂｎ
＝２Ｔ
∫Ｔ
０
Ｕａｂ
（ｔ）ｓｉｎ（ｎｗｔ）ｄ
ｔ
（６）Ｃｎ＝Ａ２ｎ＋Ｂ２
槡ｎ
（７）
式中，Ａ０是直流分量，Ａｎ是ｎ
次谐波余弦分量，Ｂｎ是ｎ次谐波正弦分量，Ｃｎ是ｎ次谐波幅值。ｎ＝１时，Ｃ１是基波幅值。
图５是采用傅里叶级数及Ｍ
ＡＴＬＡＢ数值计算的各次谐波含量计算主程序流程图。图中Ｍ为调制度，Ｎ为载波比，Ｔ为调制波周期。
以不对称规则采样法为例，Ａ相电压的谐波余
弦分量计算子程序可参考如下，Ｂ相电压的计算类似，在关断时间和导通时间的计算式上与Ａ相滞后２π／３。如此Ａ相与Ｂ相的谐波余弦分量之差便为线电压Ｕａｂ（ｔ）的谐波余弦分量，而线电压Ｕａｂ（ｔ）的谐波正弦分量的计算亦是类似。
ｆｕｎｃｔｉｏｎｆｕｎ１＝ＪＩＦＥＮＡ（ｔ，ｎ，Ｔｃ，Ｍ，Ｎ） ％ｋ为载波序号ｆｕｎａ＝０；ｆｕｎｂ＝０；
ｆ＝５０；ｗ＝２ ｐｉ ｆ；Ｔ＝１／ｆ；ｆｏｒｋ＝０：１：Ｎ－１；
Ｔｏｆｆ１＝
（Ｔｃ／４） （１－Ｍ ｓｉｎ（２ ｐｉ ｋ／Ｎ））；《电气开关》（２０２１．Ｎｏ．２）
Ｔ
ｏｎ
＝（Ｔｃ／２） （１＋（Ｍ／２） （ｓｉｎ（２ ｐｉ ｋ／Ｎ）＋ｓｉｎ（（２ ｋ＋１） ｐｉ／Ｎ）））；
ｑｄ＝ｋ Ｔｃ＋Ｔｏｆｆ１； ％ｑｄ为积分起点
ｚｄ＝ｋ Ｔｃ＋Ｔ
ｏｆｆ１＋Ｔ
ｏｎ
； ％ｑｄ为积分终点
ｙ１＝＠（ｔ）５００ ｃｏｓ（ｎ ｗ ｔ）； ％ｙ１为积分函数
ｆｕｎａ＝ｆｕｎａ＋ｑｕａｄ（ｙ１，ｑｄ，ｚｄ）；
ｅｎｄ；
ｆｕｎ１＝（２／Ｔ） ｆｕｎａ
；
图５ 各次谐波含量计算主程序流程图
以上关键思维有三点：一是采用了分段处理，即每个载波期间各自积分，分段计算后再叠加；二是
分相处理，不直接计算线电压的余弦分量，而是由各自计算Ａ相和Ｂ相的余弦分量后相减所得。三是采用＠（ｔ）将多个变量函数的自变量限定为ｔ。
采用图５方法，不对称规则采样法生成的线电压谐波分布情况见图６
所示。
图不对称规则采样法线电压谐波分布情况（Ｎ＝１５） 计算结果表明，４Ｎ次（Ｎ为载波比）以下谐波中，含量比重较大的是Ｎ±２、２Ｎ±１、３Ｎ±２、３Ｎ±４次谐波，即载波比及其倍数附近次数的谐波。改变载波比Ｎ，亦能得到相同的结论。４Ｎ次及以上高次谐波可在交流调速时被电机自身漏感滤波掉，可根据计算精度要求不予分析。对称规则采样法生成的线电压谐波分布情况分析与不对称规则采样法的类似，只要在涉及到计算导通时间时分别采用上述式（１）和（２）。
３ ２ 总谐波系数的计算
交流调速系统中，为了比较各种采样法ＳＰＷＭ波输出线电压的总谐波幅值，即评价两者输出电压波形的质量，可以引入总谐波系数ＴＨＤ：
ＴＨＤ＝∑
ｎ＝２，３，４
Ｕ
ｎ
()
ｎ
槡２／Ｕ１（８）
式中，ｎ是谐波次数，Ｕ
ｎ
为谐波幅值或有效值，
取幅值时即为式（７）中的Ｃ
ｎ
，Ｕ
１
为基波幅值，即Ｃ
１
。
ＴＨＤ的计算流程图如图７所示，采用此方法计算对称规则采样法和不对称规则采样法生成的的线电压波形ＴＨＤ比较见图８。由图８可定量验证不对称规则采样法较对称规则采样法生成的ＳＰＷＭ波谐波含量确实更低，即更加接近正弦波。类似的，我们可以采用本文的方法计算分析其他ＰＷＭ波的谐波情况，在此基础上，也可以为探索新型ＳＰＷＭ技术提供方法依据。
４ 其他ＰＷＭ波谐波分析的通用性验证以占空比为３０％的ＰＷＭ方波举例说明，采用本文的方法或思路可以计算出该ＰＷＭ波的各次谐波分布情况，结果为：在６０次谐波以内，除基波外，比重较大的谐波有２９次、４９次、５８次。采用图７的方法计算该ＰＷＭ波的ＴＨＤ值，结果见表１所示，忽略高次谐波的影响，该ＰＷＭ波的ＴＨＤ值为０ ３０７５。
表１ 占空比为３０％的ＰＷＭ方波ＴＨＤ值计算
计算精度（谐波求和次数）ＴＨＤ值
２０００ ３０７４
３０００ ３０７５
４０００ ３０７５
６０００ ３０７５
《电气开关》（２０２１．Ｎｏ．２）
图７ 总谐波系数ＴＨＤ
的计算主程序流程图
图８ 采样法ＳＰＷＭ线电压ＴＨＤ的比较（Ｎ＝１５）
５ 结论
交流调速系统中，传统采样型ＳＰＷＭ技术因为
采样次数的不同各有优缺点，为在原有ＳＰＷＭ技术
auts
的基础上研究新型ＳＰＷＭ逆变技术，谐波含量的计
算与分析是必不可少的，这是评估ＳＰＷＭ技术优劣
的一个重要指标。本文基于ＭＡＴＬＡＢ数值计算和
傅里叶级数，提供了一种ＰＷＭ波的谐波通用计算
与分析方法，并重点以不对称规则采样法为例，给出
了详细的谐波计算过程以及相应程序段或关键思维
点。文中不对称规则采样法、对称规则采样法以及
方波三种ＰＷＭ波的谐波计算结果，验证了该方法
可以作为ＳＰＷＭ新技术研究的辅助工具，也可以作
为任意周期性ＰＷＭ波的谐波通用计算工具。
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［Ｊ］．电气技术，２０１２（９）：６１－６４．
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气开关，２０１６，５４（６）：１８－２２．
收稿日期：２０２０－１１－２０
作者简介：严海龙（１９８７－），男，江西赣州人，福州大学实验师，硕士，主要从
事现代调速系统的研究
檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨
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檨
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应急调度
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飓风数据檨
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殎
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