哈尔滨工业大学 李久胜 王炎
摘要：文章提出了一种适用于交流伺服系统的鲁棒滑模控制器的动态设计方法。该方法将线形控制理论中的动态设计方法与滑模控制有机地结合起来，形成了一套完善、系统的滑模控制器的设计方法。实验证明，这种设计方法可保证伺服系统具有无抖动、无静差、响应快且鲁棒性好，是一种很实用的工程控制方法。
关键词：交流伺服系统 滑模变结构控制 抖动现象 动态设计
Dynamic Design of Sliding Mode Controller in AC Servo System
高频发生器Li Jiusheng Wang Yan
Abstract:A dynamic design method of robus t sliding m od e controller in AC s ervo s ystem is proposed in th e pap er.It is a perfect and systemic design method for sliding mode controller,w hich com bines linear dynam ic theory w ith sliding mode control.Th e experiment pr oves that the AC servo sys tem us ing the dynamic des ign can acquire chatter ing-free,static errorless,fast an d robu st respon se.
Keywords:AC s ervo system variable structu re slid ing m ode control chattering dynamic design
1 引言
目前交流伺服驱动系统在电力传动领域已获得广泛的应用，而利用交流伺服电机构成的系统越来越呈现多样化和复杂化。工业对象的多样化和复杂化对伺服控制提出了更高的要求，即希望伺服系统具有一定的自适应能力和较强的抗扰能力，这一方面可降低用户调试系统的难度，另一方面可在参数时变及干扰强烈等恶劣的工况下保证系统良好的动态响应和较高的稳态精度。因此高性能伺服控制器的研究成为一个热点课题。各种控制方法被采用以提高系统的自适应性。滑模变结构控制是具有良好的自适应性能，因此近年来又重新引起人们的重视，并且已被应用到运动控制、直流伺服、机械手等领域。
理想滑模状态下的变结构控制是一种自适应控制，自适应机构为控制量表达式中的不连续控制部分。滑模开关能够根据扰动的情况在滑模平面两侧高速切换，从而调节了控制量的等效平均值，相当于自适应地调制出等效控制量u eq，使运动点停留在滑模平面上。从这个意义上讲，变结构控制属于自适应控制范畴。但是，由于实际执行机构的频带限制，理想开关状态不可能实现，相反还会产生不希望的抖动[1]。所以在实际应用中，往往要将滑模控制量u连续化，以获得平滑的控制量和近似的滑模运动。当在某一切换点附近的边界层内，对开关量做线形的连续化处理后，变结构控制将演变为关于滑模函数S的负反馈控制，丧失了变结构控制的完全自适应能力，而退化为一种鲁棒控制策略，正确地选取控制器参数可获得良好的鲁棒性能。
滤波器动态设计方法是一种通用的滑模控制设计方法，可有效地整定控制器参数同时设法消除抖振现象。从这种设计角度出发，滑模控制系统的结构图如图1
所示。
图1 通用型滑模控制系统
变结构控制系统包括2个串联的滤波器，滑模动态(S动态)是低通滤波器，而误差动态是高通滤波器。滑模动态在控制量的作用下用来消除扰动影响，滑模动态驱动误差动态，后者通过合理设计可满足系统响应的要求。S动态的合理选择有利于消除开关输入产生的高频激励对误差动态
17
本课题受国家自然科学基金资助(694744020)
的影响，从而达到削弱抖振的目的[2～5]
，同时通过合理的设计还可以保证系统的鲁棒性。一般来讲，控制器的阶次过高不利于系统的稳定，所以一般选取不超过二阶。本文将讨论一阶和二阶滑模控制器的动态设计方法，并通过实验加以验证。
2 一阶滑模动态设计方法
2.1 交流伺服系统的模型
交流伺服系统的动态模型可简化为一个二阶时变微分方程
x =bi q +d (1)式中 x ——角位移
i q ——q 轴的矢量电流 b =K i /J K i ——转矩系数
J ——系统转动惯量
由于J 的时变性，使参数b 为时变量。将系统的摩擦、负载等因素用一等效量d 来表示，显然d 为时变量，且有界。
2.2 一阶滑模控制器的结构
所谓一阶滑模动态设计方法，即指通过合理选择滑模函数S 及控制量u ，使得最终的S 的动态模型表现为一阶微分方程形式。根据此要求，滑模平面选择为
S =e
+c 1e e =x d -x (2)
式中 x d ——角位移给定
e ——位置偏差则滑模动态方程为
S =e +c 1e =-bi q -d +x d +c 1e (3)
设李氏方程为
v =1
2
S 2
(4)为使系统稳定，要求d v /d t <0，则有
SS ≤0(5)
采用常值开关控制，令
u =M sgn(S )
(6)
为了简化分析过程，近似认为控制量u (即电
流给定)与实际电流值i q 相等，将式(3)、式(6)代入式(5)，则稳定条件转化为
S [-bM sg n(S )+ ]≤0
=-d +x
d +c 1
e (7)
其中, 表示负载、扰动、给定变化及收敛加速度
之和，即等效扰动。则稳定条件为 ≤bM
(8)
正常情况下，负载在允许范围内，给定变化和加速
度设定值不很大，且滑模平面选择合理时，上式可成立。
为了消除抖动，采用边界层法将控制量连续化。则线性连续化处理后的控制量表达式为
u
act =M S S < M sg n(S )
S ≥
(9)
式中 ——边界层宽度
则边界层内滑模的动态方程为
S =-bu +
=-b M
S +
S + c = c =b M
(10)
则扰动 到滑模函数S 的传递函数为
G (s )=S (s ) (s )=
1
s + c
(11)
式(11)即为采用动态设计时滑模动态滤波器的传递函数，因其为一阶环节，所以上述的设计方
法称为一阶滑模动态设计方法。该传递函数的性质直接决定了整个伺服系统的特性，下面对它的动、静态性能进行分析。
1) c 可近似地认为是S 动态的截止频率，因为控制量u 与S 成正比，所以 c 也就是控制信号u 的频带宽度(u 为电流环给定)。上面的推导是建立在电流环为理想的比例环节的假设基础上的，而实际电流环的响应频带 i 是有限的，为了保证电流响应能够较好地跟随给定，以避免抖动
的出现，一般要求 c < i ，即要求式(12)成立。所
以由于执行机构带宽的限制，边界层厚度 不能取得太小，否则会带来抖动。
b M < i <bM
i
(12)
2)S 的稳态误差为
S (s ) s →0=SG (s ) (s )= t →∞ c
(13)
真空吸砂机上式暴露出一阶滑模设计的最大缺点，即存在静差。当 c 受限且稳态负载较大时，稳态误差较大。滑模函数S 存在静差意味着实际运动点与设定的滑模平面之间有一定的距离，这样当系统进入稳态后,S ≠0，则由滑模函数S 的表达式(2)可知，位置误差e ≠0，即伺服系统存在稳态误差。为减小稳态误差可采取如下2个办法。
根据对象参数b 的变化情况，在线地调节
18
，使得 c 在符合要求的前提下尽可能大，以减小稳态误差。实验证明 c =(0.2～0.5) i 时，控制效果较好。
在滑模平面中引入误差e 的积分项，以消除静差。
方法 实质上是一个控制参数的自校正问题，不在此讨论。下面研究采用积分方法来解决静差的问题[6]
。
2.3 采用积分作用以消除稳态误差
一阶滑模控制的问题是稳态时滑模函数S ≠0，导致最终位置偏差e ≠0。为了解决该问题，可在滑模平面中引入误差e 的积分项，以消除静差。则新的滑模函数如下
S =e
+c 1e +c 0∫
e e =x d -x 0
(14)
此时S 动态到输出误差e 的传递函数为
G (s )=e (s )/S (s )
=s /(s 2
+c 1s +c 0)(15)
在稳态时，可以认为滑模函数S 基本不变，则有e (s ) s →0=0
(16)上式表明，稳态时位置偏差为0。接下来分析位置偏差e 的动态响应特性，将式(14)化为状态方程，令x 1=
∫
e (t ),x 2
=e (t ),u (t )=S (t )，可得 x =
0 1
-c 0-c 1x (t )+
1
u (t )=A x +bu
(17)
对上式取拉氏变换，可得
X (s )=(sI -A )-1x (0)+(sI -A )-1
bU (s )
X 2(s )=s
s 2+c 1s +c 0
[x 2(0)+U (s )](18)
其中x 2(0)为位置误差的初值,U (s )为由负
载、扰动或参数变化所导致的滑模动态的偏差。x 2(s )为位置误差e ，从物理意义上看，它的前一项代表收敛特性，旨在使e 快速趋向原点。后一项为抗扰项，旨在抑制不确定性的影响，而滑模控制器正是通过这种对扰动的抑制来实现优良的鲁棒性能。当U (s )较小时,x 2的响应性能主要由前一项来决定，受扰动的影响小，为达此目的须使滑模动态的截止频率 c 尽可能大。在理想滑模状态下, c →∞,u (t )→0，则位置响应几乎不受扰动的影响，使控制系统表现出很强的鲁棒性能。既然x 2的响应性能由跟随和抗扰两部分组成，则控制参数
c 0和c 1的选择就应该从这两方面考虑。将式
(18)的特征方程表示为
s 2
+c 1s +c 0=s 2
+2 n s + 2
n
(19)
在自然频率 n =1000，而阻尼系数 变化时，位
置误差x 2的响应曲线如图2所示。图2a 为零输入响应，即x 2(0)=1时的跟随性能曲线。图2b 为零状态响应，即输入u =1时的抗扰特性曲线。从跟随特性的响应速度上看，当 较小时( =0.5)，出现震荡；而当 较大时( =5)，跟随性能好，超调小但稳态收敛缓慢。从抗扰特性上看，当 较小时( =0.5)，超调较大；而当 较大时( =5)，恢复缓慢。所以 的取值应折中选取，当阻尼系数 为1时，跟随特性与抗扰特性的综合指标较好。
图2 阻尼系数 变化时，位置误差x 2的响应曲线
在实际应用中，为防止积分饱和，滑模平面中的积分项只有在原点附近才引入，而在趋向原点
的大部分过程中c 0=0，则只要根据滑模存在条件适当选择c 1即可。(详见本文第4部分)c 1选好后，根据 =1的原则，结合式(19)，可求出c 0。综上所述，在滑模平面中采用积分项后，可以消除静差，但却带来了位置响应的超调，这对提高
伺服控制的精度不利。然而当c 1较大，且积分引入时刻恰当时，超调很小，可满足一般伺服控制的需要。
3 二阶滑模动态设计方法
3.1 滑模平面的选择
所谓二阶滑模动态设计方法，即指通过合理选择滑模函数S 及控制量u ，使得最终的S 的动态模型表现为二阶微分方程形式。根据此要求，滑模平面选择为
S =e +c 1e e =x d -x (20)则滑模动态方程为 S =e +c 1e
=-bi q -d +x
d +c 1
e (21)
既然式(21)为S 的二阶形式，所以须用二阶滑模
条件来判断其稳定性，设李式方程为
v =
12(S )2+12
S 2n S (22)
19
为使系统稳定，要求d v /d t <0，则有
S (S
+ 2
n S )≤0(23)
上式中 n 为弹性系数，将用于调整滑模动态的带宽。设趋近率为
S (S + 2
n S )≤- S (24)为满足式(24)的稳定趋近条件，控制量u 应按如
下选取。
3.2 控制量u 的选择
采用常值开关控制，令
u =M sgn(S )(25)
为了简化分析过程，近似认为控制量u (即电流给定)与实际电流值i q 相等，将式(21)、式(25)代入式(24)，则稳定条件转化为
S [-bM sgn(S )+ + 2
n S ]≤- S
=-d +x d +c 1e (26)
其中, 表示负载、扰动、给定变化及收敛加速度
之和，即等效扰动。则稳定条件为
M >b -1 + 2n S +b -1
(27)
正常情况下，负载和位置误差在允许范围内，给定变化和趋近速度设定值不很大，且滑模平面选择合理时，上式可成立。
为了消除抖动，采用边界层法将控制量连续化。为消除静差，将控制率在边界层内整定为比例、积分形式，其表达式如下
u (t )=M S
+K I ∫S
=K p S +K I ∫
S
u (t ) ≤M
(28)
式中 ——边界层宽度
M ——控制量的最大值 K p ——比例系数
K I ——积分系数
3.3 边界层内S 的动态性能及其对系统性能的
影响
将式(28)代入式(21)[近似认为控制量u (即电流给定)与实际电流值i q 相等]，可得边界层内滑模动态方程为
S +bK p S +bK I S = (29)上式表示了一个质量-阻尼-弹性系统。
可令
bK p =2 n bK I = 2n
式中 ——阻尼系数
n ——弹性系数
则S 的动态特性由 、 n 这两个参数决定。由滑模平面表达式(20)可知，系统最终的位置伺服特性与d s /d t 的关系更为直接，下面分析通过决定d s /
d t 的特性进一步阐述伺服系统的性能。将式(29)
化为状态方程，令x 1=S ,x 2=d s /d t ,u = ，则有
x =
1
-bK I -bK P
x (t )+
1
10658154u (t )=A x +bu
(30)
对上式取拉氏变换，可得
X (s )=(sI -A )-1
元器件清单x (0)+(sI -A )-1
bU (s )
X 2(s )=
s
s 2
+bK p s +bK I
动员剂[x 2(0)+U (s )](31)
式中 x 2(0)——滑模函数的初值 U (s )——由负载、扰动或参数变化所导致
的滑模动态的偏差
式(31)中,x 2(s )的前一项体现跟随特性，后一项体现抗扰特性。由其结构可知，如果在稳态时扰动U 为常值，则x 2(t →∞)=0，即滑模函数d s /d t =0，于是位置误差e 稳态为零，可见二阶滑模设计可保证伺服系统无静差。伺服系统的动态性能也由式(31)决定，因此该式中控制参数选取原则是：使跟随
性能与抗扰性能综合指标最优，同时避免抖动的出现。具体分析与2.3节相似，不再赘述。
4 滑模动态设计方法在交流伺服系
ace3统中的应用
4.1 滑模控制器动态设计方法的改进
从上述分析并结合实验研究可知，一阶滑模
设计方法所构成的控制器阶次较低，稳定性好，但存在静差，采用带积分的滑模平面后又会带来位置响应的超调。而二阶滑模控制器虽然解决了静差问题，但由于阶次较高且含有积分项，会导致滑模动态响应的超调较大，使系统稳定性下降。因此，将两种设计方法取长补短、结合起来，可获得更优良的性能。具体做法是：在伺服控制过程中，当位置误差e 较大时，采用一阶滑模控制，以保证动态响应的快速性和稳定性，而当e 较小时，切换为二阶滑模控制，以保证稳态精度，上述方法将两种动态设计方法混合起来使用，故称之为混合型动态设计方法。
4.2 交流伺服系统实验装置的结构
交流伺服系统实验平台结构如图3所示。位控装置由PC 机及在扩展槽里的位控模板组成，利用码盘反
馈回来的位置信号，经过由软件实现的一系列控制算法给出控制量的离散形式，通过位控模板转化为相应的模拟量作为对下级驱
20
图3 交流伺服系统实验平台结构
动器的转矩给定，从而构成灵活的位置闭环，各种控制算法均可通过微机中的软件编程来实现。为了仿真交流伺服系统实际运行过程中可能存在的不确定因素，与电动机同轴连接一个惯量臂用以改变系统转动惯量。
在实验系统中，交流伺服电机采用美国CSR 公司生产的AC800系列永磁交流伺服电动机，其基本参数为：堵转力矩3.6N ・m ，堵转电流7.0A，最大转速3000r/min 。伺服驱动器为与电机配套的交流伺服驱动器，最大额定电流7A/相，最大额定功率1.8kW ，开关频率4kHz，电流环带宽400Hz 。带惯量臂以后，整个系统的转动惯量可在0.04kg ・m 2附近变化。4.3 滑模控制器参数的选择
4.3.1 一阶滑模控制器参数的选择
由第2部分的分析可知，一阶滑模控制系统由2个串联的动态环节组成。
S + c S =
S =e +c 1e
(32a)(32b)
其中式(32a)为滑模动态，式(32b)为误差动态。控制参数包括 c 和c 1，下面讨论这3个参数的选择
问题。
1) c 的选择。 c 为S 动态的截止频率，也就是控制信号u 的截止频率。从抑制抖动的角度讲, c 应小于
电流环的带宽 i ，另一方面，从提高鲁棒性的目的出发, c 应尽可能大。在4.2节所描述的系统中，经过反复实验得到结论: c =75Hz 时综合指标最好。因为 c =bM / ，而b =K i /J =0.5/0.04=12.5，所以控制增益M / =6。2)c 1的选择。由式(32b)可知，误差的动态特性主要由c 1来决定。c 1的选择有2个原则：一是满足滑模吸引条件，二是保证系统的稳定性。根据式(8)给出的稳定条件，可得c 1的取值范围如下
c 1<
bM +d
(33)
其中 为电动机的角速度，假设d 不超过电机最大转矩的20%，则(bM +d )>0.8bM =100。
另一方面,c 1也是控制量中的一个增益，取值
太大会使系统产生抖动，所以c 1应小于电流环带宽 i ，实验证明c 1<40比较合理。4.3.2 二阶滑模控制器参数的选择
由第3部分的分析可知，二阶滑模控制系统由2个串联的动态环节组成。
S +bK p S +bK I S = S =e +c 1e (34a)(34b)其中式(34a)为滑模动态，式(34b)为误差动态。控
制参数包括K p 、K I 和c 1，下面讨论这3个参数的选择问题。
其中c 1与上文中选择相同。当式(34a)中K I =0时，所描述的系统与一阶滑模控制系统完全一致。为保证控制信号在切换点上的连续性，令bK p = c =75Hz，即K p =6。在实验中发现K I 取得太大，会降低系统的稳定性并带来稳态抖动，实验证明K I =80比较合适。
2个控制器的切换时刻应选在运动点接近原点，且一阶滑模函数S 变化较小、比较稳定的时刻。此时S 的偏差小且系统较稳定，切换为二阶滑模控制后可迅速消除滑模偏差，保证稳态的精度，同时不会破坏系统的稳定性。4.4 混合型滑模控制器的实验结果
在如4.2节中的交流伺服系统中，采用一阶滑模控制器，在滑模平面参数c 1=8，负载为0.5N ・m 时，通过实验获得系统的位置阶跃响应曲线如图4所示，图
4a 为位置误差的响应曲线，图
4b 为滑模动态的响应曲线。在同样情况下，采用混合型滑模控制器，通过实验获得系统的位置阶跃响应曲线如图5所示，图5a 为位置误差的响应曲线，图5b 为滑模动态的响应曲线。从这些实验
图4 采用一阶滑模控制器的位置阶跃响应曲线
图5 采用混合型滑模控制器的位置阶跃响应曲线
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