4．判断下列每个序列是否是周期的，若是周期的，试确定其周期。
（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=87
3cos )(ππn A n x （2）⎪⎭⎫
⎝⎛=n A n x π313sin )( （3）)6()(π-=n
j e n x
解：
（1）由⎪⎭⎫ ⎝⎛-=87
3cos )(ππ
n A n x 可得3147
3220==ππωπ，所以)(n x 的周期是14。
（2）由⎪⎭
⎫
⎝⎛=n A n x π313sin )(可得1363
13220==ππωπ，所以)(n x 的周期是6。
（3）由⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-6sin 6cos 6sin 6cos )()6
(n j n n j n e n x n
j πππ，
所以)(n x 是非周期的。
6．试判断（1）∑-∞
==
n
m m x n y )()(是否是线性系统？
解：根据∑-∞
==
n
m m x n y )()(可得 ∑-∞===n
m m x n x T n y )()]([)(111，∑-∞
==
=n
m m x
n x T n y
)()]([)(2
22
∑∑∑∑∑-∞
=-∞
=-∞
=-∞
=-∞
=+=+=
++=+n
m n m n m n
m n
m n x
b n x a n bx m ax n bx n ax T n x b n x a n by n ay )
()()]()([)]()([)
()()()(2
1
2
1
212121
所以系统是线性的。
9．列出图P1-9系统的差分方程并按初始条件y(n)=0，n<0，求输入为x(n)=u(n)时的输出序列y(n)，并画图。
解：
x 1(n)=x(n)+x 1(n-1)/4 x 1(n)- x 1(n-1)/4=x(n) x 1(n-1)- x 1(n-2)/4=x(n-1) y(n)=x 1(n)+x 1(n-1) y(n-1)/4=x 1(n-1)/4+x 1(n-2)/4
y(n)-y(n-1)/4=x(n)+x(n-1) y(n) =x(n)+x(n-1) +y(n-1)/4
y(0)=u(0)=1
y(1)=u(1)+u(0)+y(0)/4=2+1/4
y(2)=u(2)+u(1)+y(1)/4=2+(2+1/4)/4=2(1+1/4)+(1/4)2 y(3)=u(3)+u(2)+y(2)/4==2(1+1/4+(1/4)2
)+(1/4)3
y(n)=2(1+1/4+……+(1/4)n-1
)+(1/4)n
y(n)=2(1-(1/4)n )/(1-1/4)+(1/4)n =[8/3-5/3(1/4)n ]u(n)
11．有一理想抽样系统，抽样角频率为π6=Ωs ，抽样后经理想低通滤波器)(ωj H a 还原，其中： ⎪⎩⎪
⎨⎧≥<=π
ωπωω30
32
1)(j H a
令有两个输入信号)2cos()(1t t x a π=，)5cos()(12t t x a π=输出信号有没有失真？为什么？ 解：抽样频率大于两倍信号最大频率则无失真，
)2cos()(1t t x a π=信号角频率为2π<3π，y a1(n)无失真。 )5cos()(2t t x a π=信号角频率为5π>3π，y a2(n)失真。
1．求以下序列的Z 变换，并求出对应的零极点和收敛域： （1）1,)(<=a a n x n
（2）)(21)(n u n x n
⎪⎭⎫
⎝⎛=
（3）)1(21)(--⎪⎭
⎫
⎝⎛-=n u n x n
解：
（1）由Z 变换的定义可知
)
)
(1()1()1)(1(111
1)(2120
1
1
a z a z a z a az az a z a az
az z a z a z
a z
a
z
a
z X n n
n n n
n
n n
n
n n
n
n n
led外露灯n
---=---=-+-=⋅+⋅=⋅+⋅=
⋅=
-∞
支撑体
=-∞=∞
=---∞
=--∞
-∞
=-∑∑∑∑∑
收敛域为1<az ，且11<-az ，即a
z a 1
<
< 极点为a z =，a
z 1
=
。
零点为0=z ，∞=z 。 （2）由Z 变换的定义可知
102
11121)(21)(-∞
abaqus后处理=-∞
-∞=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑z z z n u z X n n n
n n
n
收敛域为
12
11
<-z ，即21>z
极点为2
准入控制系统
1
303c=
z 。零点为0=z 。 （3）由Z 变换的定义可知
1
1
112
111
21222121)1(21)(-∞
=∞=---∞=-∞
-∞=--=
-
-==
-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑∑z z
z z z z z n u z X n n n n n n
n n n
n n
n
收敛域为12<z ，即2
1<z 极点为2
1
=
z 。零点为0=z 。 3．用长除法、留数定理法、部分分式法分别求以下X （z ）的z 反变换：
（1）21,4
11211)(2
1>--
=
--z z z
z X 解 （1） (a)长除法
1212
111411211)(---+=--
=z z z
z X ，极点为z=-1/2，收敛域为|z|>1/2。x(n)为因果关系，所以分
子、分母要按降幂腓序。
1-0.5z -1+(-0.5)2z -2
- 1+0.5z -1 1
1+0.5z -1
-0.5z -1 -0.5z -1-(0.5)2z -2
(0.5)2z -2
即 ∑∞
=--⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=--+-=022121)21(211)(n n n
z z z z X 所以)(21)(n u n x n
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
(b)留数定理法
⎰--+=
c n dz z z j n x 11
2111
21)(π，设c 为|z|>1/2内的逆时针方向中闭合曲线。 当n ≥0时，n n z z z z 211
211111+=+--，在c 内有一个z=-1/2的单极点，则
0,)21(21Re )(2
1≥-=⎥⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+=-=n z z s n x n
z n
n<0时，x(n)=0，所以)()2
1()(n u n x n
-=
(c)部分分式法
给料阀2
12111411211)(121+=+=--
=---z z z z z
z X
|z|>1/2，所以)()2
1()(n u n x n
-=
7．求以下序列x(n)的频谱X(e jw ) (1)
)(0n n -δ
(2) )(n u e an
-
(3) )()(n R a n x N n = (4) )()(0n u e n j a ω+- (5) n n u e an 0cos )(ω-
(6) 1),3()(<-=a n u a n x n
解：
（1）[][]0)()()(0n z n n n x z X -=-Z =Z =δ
ωωω0)()(jn e z j e z X e X j -===
（2）[][
]
1
11
)()()(----=
Z =Z =z e n u e
n x z X n
αα
ω
α
ωωj e z j e
e z X e X j --=-=
=11)()(
（3）[][][
]
1
1111)()()()()(-------=--Z =Z =Z =az z a az N n u a
n u a n R a n x z X N
N N
n n
N n
ω
ωω
ω
j jN N e z j ae
e a z X e X j --=--==11)()( （4）[][
]
1
)
()(0011)()()(-+-+--=
Z =Z =z
e
n u e
n x z X j n
j ωαωα
)
(011
)()(ωωαωω+--=-=
=j e z j e e z X e X j
（5）[][
]
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+Z =Z =Z =---2)()(cos )()()(000n j n j n n
e e n u e n n u e
n x z X ωωααω
)cos 21cos 22(21
)1111(212201011100-----------+--=-+-=z e z e z e z e e z e e j j αααωαωαωω ωαωαωαω
ωωω
2200
cos 21cos 1)()(j j j e z j e
e e e e e z X e X j ------=+--== （6）[][
]
1
3
31)3()()(---=-Z =Z =az z a n u a n x z X n
ωωω
ω
j j e z j ae
e a z X e X j --=-==1)()(33
10．设X （e jw ）是如图P2-10所示的x(n)信号的傅里叶变换，不必求出X （e jw ），试完成下
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