第三章 微分方程模型
本章重点是：车间空气清洁问题、减肥问题、单种增长问题与多物种相互作用问题等数学模型的建立过程与所使用的方法 复习要求
1．进一步理解建模基本方法与基本建模过程，掌握平衡原理与微元法在建模中的用法。
2．理解种的相互关系模型的建立原理与结论。
3．会建立较为简单的相关实际问题的数学模型。
所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样.
一、车间空气清洁问题
某生产车间内有一台机器不断排出CO2，为了清洁车间里的空气，用一台鼓风机通入新鲜空气来降低车间空气中的CO2含量，那么，上述做法的清洁效果如何呢？
这一问题是利用平衡原理来建模，即建立其微分方程模型．请注意，平衡原理在建立微分方程模型时常表现为区间上的微元形式：某个量在该区间上的增加量等于该区间段内进入量与迁出量的差．
1咖啡玉米．问题分析与假设
上述清洁空气的原理是通过鼓风机通入新鲜的空气，其CO2含量尽管也有但较低．新鲜空气与车间内空气混合后再由鼓风机排出室外，从而降低CO2含量．
为讨论问题方便，假设通入的新鲜空气能与原空气迅速均匀混合，并以相同风量排出车间.
此问题中的主要变量及参数设为：
车间体积：V（单位：立方米），
时间：t（单位：分钟），
机器产生CO2链路层劫持速度：r（单位：立方米/分钟），
鼓风机风量：K（单位：立方米/分钟）
新鲜空气中CO2含量：m%，
开始时刻车间空气中CO2含量：x%，
t时刻车间空气中CO2含量：x(t)%，
2．模型建立
考虑时间区间[t, t+Δt]，并利用质量守恒定律：[t, t+Δt]内车间空气中CO2含量的“增加”等于[t, t+Δt]时间内，通入的新鲜空气中CO2的量加上机器产生的CO2的量减去鼓风机排出的CO2的量，即
CO2增加量=新鲜空气中含有CO2+机器产生的CO2－排出的CO2
数学上表示出来就是
V[x(t+t)% - x(t)%]=Km%t +rt – Kx(s)%ds
其中t0. 于是令，取极限便得
其中
3．模型求解与分析
此问题是一阶线性非齐次常微分方程的初值问题. 解之得
这就是t时刻车间空气中含CO2的百分比.显然，否则CO2含量只能增加. 令则有
这说明了，车间空气中CO2的含量最多只能降到.由此可见，鼓风机风量越大（K越大），新鲜空气中CO2含量越低（m越小），净化效果越好.
4．模型的优缺点分析及改进方向：
优点：模型简洁，易于分析和理解，并体现了建立微分方程模型的基本思想，而且所得到的结果与常识基本一致.
缺点：建立数学模型时所作出的假设过于简单.
改进方向：
（1） 考虑新鲜空气和车间内的空气的混合扩散过程重新建模；
（2）若要使得车间空气中的CO2含量达到一定的指标，确定最优的实施方案.
二、减肥问题
随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高.由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要的问题.如何正确对待减肥是我们必须考虑的问题.于是了解减肥的机理成为关键.
1．背景知识
根据中国生理科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南可知：
（1） 每日膳食中，营养素的供给量是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准.如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将对身体产生不利的影响.
（2）人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志. （3）人们热能需要量的多少，主要决定于三个方面：维持人体基本代谢所需的能量、从事劳动和其它活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用（将食物转化为人体所需的能量） 所消耗的能量.
（4）一般情况下，成年男子每一千克体重每小时平均消耗热量为4200焦耳.
（5） 一般情况下，食用普通的混合膳食，食物的特殊动力作用所需要的额外的能量消耗相当于基础代谢的10%.
2．问题分析与模型假设
（1） 人体的脂肪是存储和提供能量的主要方式，而且也是减肥的主要目标.对于一个成年人来说体重主要由三部分组成：骨骼、水和脂肪.骨骼和水大体上可以认为是不变的，我们不妨以人体脂肪的重量作为体重的标志.已知脂肪的能量转换率为100%，每千克脂肪可以转换为4.2×107焦耳的能量.记D=4.2×107焦耳/千克，称为脂肪的能量转换系数.
（2） 人体的体重仅仅看成是时间t的函数w(t)，而与其他因素无关，这意味着在研究减肥的过程中，我们忽略了个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影响.
（3） 体重随时间是连续变化的，即智力积木w(t)是连续函数且充分光滑，因此可以认为能量的摄取和消耗是随时发生的.
（4） 不同的活动对能量的消耗是不同的，例如：体重分别为50千克和100千克的人都跑1000米，所消耗的能量显然是不同的.可见，活动对能量的消耗也不是一个简单的问题，但考虑到减肥的人会为自己制订一个合理且相对稳定的活动计划，我们可以假设在单位时间（1日）内人体活动所消耗的能量与其体重成正比，记B为每1千克体重每天因活动所消耗的能量.
（5） 单位时间内人体用于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比于人的体重.记C为1千克体重每天消耗的能量.
（6） 减肥者一般对自己的饮食有相对严格的控制，在本问题中，为简单计，我们可以假设人体每天摄入的能量是一定的，记为A.
3．模型的建立
建模过程中，我们以“天”为时间单位.根据假设3，我们可以在任何一个时间段内考虑能量的摄入和消耗所引起的体重的变化.
根据能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于
这段时间内摄入的能量与消耗的能量的差.
考虑时间区间[t,闪光灯柔光罩t+Δt]内能量的改变，根据能量平衡原理，有
由积分中值定理有
其中=A/D,b=(B+C)/D,遍除以并令Δt→0取极限得
（3.1）
这就是在一定简化层次上的减肥的数学模型.
4．模型的求解
设t=0为模型的初始时刻，这时人的体重为w(0)=w0.模型（3.1）的求解方法很多，下面用积分因子法求解. 在（3.1）的两边同时乘以ebt得
从0到t积分，并利用初值w(0)=w0得
. （3.2）
5．模型的分析与修改推广
（1）是模型中的一个重要参数.a=A/D是每天由于能量的摄入而增加的体重.b=(B+C)/D是每天由于能量的消耗而失去的体重.
不进食的节食减肥法是危险的.因为即体重（脂肪）都消耗尽了，如何能活命！
（2）假设a=0，即停止进食，无任何能量摄入，体重的变化（减少）完全是脂肪的消耗而产生.此时，w(t)=w0e.
曲轴设计当a=0时，由（3.11）式有（w0－w(t)）/w0=1－e，这表明在[0，t]内体重减少的百分率为1－e，称之为[0，t]内体重消耗率，特别地，1―e是单位时间内的体重的消耗率，事实上，w(t+1)=w0e=w0ee=w(t)e,所以（w(t)-w(t+1)）/w(t)=1－e.自然为[0，t]内的体重保存率，它表明t时刻体重占初始体重的百分率.
基于上面的分析，由（3.2）式可知，时刻的体重由两部分构成：一部分是初始体重中由于能量消耗而被保存下来的部分，另一部分是摄取能量而获得的补充量，这一解释从直观上理解也是合理的.
（3）由（3.2）式有，
也就是说模型（3.1）的解渐近稳定于，它给出了减肥的最终结果，称为减肥效果指标.因为衰减很快，在有限时间内，就很小，可以忽略，当t充分大时，这表明任何人都不必为自己的体重担心（肥胖、瘦小），从理论上讲，体重要多重就有多重，只要适当调节A（进食）、B（活动）、C（新陈代谢）.同时也说明了，任何减肥方法都是考虑和调节上述三个要素：节食是调节A、活动是调节B、是调节C.由于C是基础代谢和食物特殊动力的消耗，它不可能作为减肥的措施随着每个人的意愿进行改变，对于每个人而言可以认为是一个常数，有大量事实表明，通过调整新陈代谢的方法来减肥是值得推敲的.于是我们有如下结论，减肥的效果主要由两个因素控制：进食摄取能量和活动消耗能量，从而减肥的两个重要措施是控制饮食和增加活动量.这也是熟知的常识.
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对于模型（3.1），容易证明，当且仅当时有这表明只有当时才有可能产生减肥的效果.
（4） 进一步讨论能量的摄取量A与活动消耗量B对减肥效果的影响.由，在A－B坐标系内表示一条过点（－C,0）斜率为w*的直线.根据背景知识，任何人通过饮食摄取的能量不能低于用于维持正常生理功能所需要的能量.因此作为人体体重极限值的减肥效果指标一定存在一个下限w1，当时表明能量的摄入过低，无法满足维持人体正常的生理功能所需要的能量.这时减肥所得到的结果不能认为是有效的，它将危及人体的健康，因而称w1为减肥的临界指标.此外，人们为减肥所采用的各种体力活动对能量的消耗也有一个人体所能承受的范围，即存在B1使得于是在A——B平面上由B=0、B=B1和A=0所界出的上半带形区域被直线和分割成三个区域：、和，这表明减肥的效果是控制进食和增加消耗综合作用、相互协调的结果.在区域中，能量的摄取量A大于体重为w0（初始体重）时的消耗量w0(B+C),这时体重将在w0基础上继续增加，故称之为非减肥区；而在区域中，能量的摄取量A低于体w1时的消耗量w1(B+C),体重将减少到临界减肥指标以下，
图3—1
这将危及人的身体健康，故称为减肥危险区.只有区域所表示的A和B的组合才能实现有效的减肥，故称B为有效减肥区.（如图3－1）
实际上，减肥的过程是一个非常复杂的过程.这个模型是一个简化的模型，只是为了揭示饮食和活动这两个主要因素与减肥的关系.
三、单种增长问题
类似于人口增长模型，对单种增长模型我们讨论以下几种情形．
情形1 马尔萨斯模型
1．模型假设
（1）初始种规模已知（设为N0），种数量非常大，世代互相重叠，因此种的数量可以看作是连续变化的；
（2）种在空间分布均匀，没有迁入和迁出（或迁入和迁出平衡）；
（3）种的出生率和死亡率为常数，即不区分种个体的大小、年龄、性别等.
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