都市家教 296
经 验 交 流
【摘 要】本文主要是在考虑具有三个种的Volterra 模型基础上，初步考虑哺乳动物和爬行动物自身的阻滞作用，利用Matlab 软件得到其图像，最后进一步考虑植物自身的阻滞作用，加入logistic 项，同时利用Matlab 软件得出其运行轨迹，判断稳定性。 【关键词】Volterra 模型；Matlab 软件；logistic 项；改进模型
铁水脱硫剂20世纪20年代著名意大利数学家Volterra 建立了一个简单的数学模型，回答了意大利生物学家D’Ancona 提出的问题。食饵的繁殖力下降，会造成捕食者的数量减少，但是其掠取能力却会增加；捕食者的死亡率上升会导致食饵增加，食饵供养捕食者的能力增加会使食饵减少。为后来数学家和生物学家建立食饵-捕食者模型系统打下基础。我们把Volterra 建立的这种简单的只有两个种的模型称作Volterra 模型，这种模型虽然能解释一些现象，但是Volterra 模型存在描述的周期变化状态不是稳定结构等缺点，为了满足人类自身生存与发展的需要，对资源进行合理的开发和管理。人们一方面对种的发展变化做定量的分析与预测，另一方面是通过对模型的研究判断出付出多大的捕获量，即可维持生态平衡，又能获得最大收益。所以研究具有三个种的食饵-捕食者模型有重大意义。 1Volterra 食饵-捕食者模型
一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物，爬行动物以哺乳动物为食，哺乳动物又依赖植物生存，建立三者之间关系的模型。
植物，哺乳动物，爬行动物在t 时刻的数量分别记住x 1(t)，x 2(t)，x 3(t)。假设不受环境等因素影响，（相对）增长率为r 1，又因为哺乳动物的存在使得植物的增长率减小，设减小的程度与哺乳动物数量成正比。
哺乳动物离开植物就无法生存，设它独自生存时的死亡率为r 2，而植物为哺乳动物提供食物，降低哺乳动物的死亡率，并且促进哺乳动物增长，设这种作用与植物数量成正比，又因为爬行动物的存在对哺乳动物的增长减小，设这种减小程度与哺乳动物的数量成正比，于是x 2(t)满足x 2(t)=x 2(-r 2+bx-λx 3)比例系数b 反映植物对哺乳动物的供养能力，λ反映爬行动物对哺乳动物的掠取能力。
同理，设爬行动物独自生存时的死亡率为r 3，而哺乳动物为爬行动物提供食物，从而减低爬行动物的死亡率促进爬行动物增长，设这种作用与哺乳动物数量成正比，于是x 3(t)满足方程x(t)=x 3(-r 3+cx 2)
比例系数c 反映哺乳动物对爬行动物的供养能力。
数值解：
记植物，哺乳动物，爬行动物的初始数
量分别为x1(0)=x11，x2=x22，x3(0)=x33并作图及轨线图，编程如下：
养生杯functionxdot=shier(t,x);
r1=1;r2=0.5;r3=0.6;a=0.1;b=0.02;c=0.05;la mbda=0.004;
xdot=[(r1-a*x(2)).*x(1),(-r2+b*x(1)-lambda*x(3)).*x(2),(-r3+c*x(2)).*x(3)]’;
[t,x]=ode45(‘shier’,[0,20],[100,25,5]);plot(t,x(:,1),’*’,t,x(:,2),’-’,t,x(:,3),’:’),legend(‘x(1)’,’x(2)’,’x(3)’)grid
卡孔plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)),grid
可以猜想x 1(t),x 2(t)，x 3(t)是周期函数，从图中可以得出x 1(t),x 2(t)，x 3(t)的最大值分别为125.6，28.2，29.1。最小值分别为2.5，1.5，2.1。容易得出x 1(t),x 2(t)，x 3(t)在一个周期的平均值为64,30,15.6。总体上看出模型趋于某种平衡状态，存在稳定的平衡点，这是Volterra 模型的特点，但是在现实生活中多数的食饵-捕食者模型都观察不到Volterra 模型的那种周期，而且Volterra 模型容易受数值的影响。所以我们需要改进模型。
2初步模型改进
自然世界中植物的生长由于受到人为的保护，且人们大量的植树造林，所以假设植物的独自生长时其数量的增长服从指数增长规律，哺乳动物，爬行动物独自生长是有自身的阻滞作用，服从logistic 变化规律。
同样将植物，哺乳动物，爬行动物在t 时刻的数量记为：x 1(t)，x 2(t)，x 3(t)。
同理，植物在独自生存时x 1(t)满足：x(t)=x 1(r 1-ax 2)
哺乳动物服从logistic 规律，于是可得到哺乳动物增长的方程类似的，哺乳动物的存在也影响了爬行动物的增长，也可以得到爬行动物的方程，它们就是是自然界中食饵和捕食之间的关系，这里考虑到了种自身的阻滞作用。
数值解：
设初值条件，利用Matlab 软件编程，虽然植物，哺乳动物，爬行动物的数量，在某一时刻会发生波动，但是在受到干扰之后还是会趋于某一时刻趋于稳定。
一次性杯架此模型具有局限性，因为达到稳定状态的情况下，这三个种都灭绝了，说明以上假设不能客观反应自然界中植物，哺乳动物，爬行动物之间内在的联系。
3模型的进一步改进
假设植物，哺乳动物，爬行动物存在自身阻滞作用，满足logistic 规律，同样将植物，哺乳动物，爬行动物在t 时刻的数量记为：x 1(t),x 2(t)，x 3(t)。
3.1模型建立
有植物，哺乳动物，爬行动物三个种，当他们独自生存时，数量满足logistic 规律，r 1，r 2，r 3是它们的固有增长率，N 1，N 2，N 3
自然世界对它们的最大容量。利用Matlab 软件求微分方程的数值解，做出图像，然后从理论上研究平衡点。
3.2数值解
利用Matlab 编程如下：编写.m 文件
functionxdot=shier(t,x);
r1=0.6;r2=0.5;r3=0.6;ct(1)=0.5;ct(2)=0.6;ct (3)=0.6;ct(4)=0.6;N(1)=600;N(2)=100;N(3)=15;
x d o t =[r 1*(1-x (1)/N (1)-c t (1)*x (2)/N(2)).*x(1),r2*(-1+ct(2)*(x(1)/N(1))-x(2)/N(2)-ct(3)*(x(3)/N(3))).*x(2),r3*(-1+ct(4)*(x(2)/N(2))-x(3)/N(3)).*x(3)]’;
膏药制作在操作窗口输入：
[t,x]=ode45('shier',[0,10],[300,100,25]);plot(t,x(:,1),’*’,t,x(:,2),’-’,t,x(:,3),’:’),legend(‘x(1)’,’x(2)’,’x(3)’)grid
这个模型比很好的解决了第一个模型和第二个模型的局限性，较好的反映了，自然世界中，这三个种的内在联系。
3结论
自然世界中，瞬息万变，虽然在Volterra 模型的基础上加入了服从logistic 规律的项，较好的反映出在自然环境中食饵和捕食者之间的依存和制约关系。但是却不能完全的说明物种的生存关系，所以还需要大量学习。
参考文献：
[1]刘汉武，王荣欣.具有性别结构的食饵-捕食者模型[J].2005.
智能婴儿床[2]张天然.具有两性的捕食者-食饵模型的渐近形态[J].2005.
[3]王静，王克.比率型-捕食者-两竞争食饵模型的动力学行为[J].2004.
作者简介：
冯廷碧（1992～），女，贵州人，贵州师范学院数学与应用数学专业学生。
基金项目：贵州师范学院学生科研项目基金(2014DXS083)。
具有三个种的食饵-捕食者模型
550018 贵州师范学院数学与计算机科学学院 贵州 贵阳 冯廷碧 阴宇辉 陈玉雪 汪忠忠 罗习宾
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