第55卷第3期20213
Vol.55No.3
Mr2021西安交通大学学报
JOURNAL OF XI'AN JIAOTONG UNIVERSITY
苏进展，魏刚，杨羽，常乐浩，郭家舜
(长安大学道路施工技术与装备教育部重点实验室,710064，西安)
摘要：为改善弧齿锥齿轮啮合性能，提出一种接触路径沿齿长方向的大重合度设计方法。预置沿齿长的接触路径和对称抛物线传动误差，以大轮作为假想插齿刀，共匏展成小轮辅助齿面；先计算沿接触路径的齿面修形量，再根据轻载的弹性变形量和接触椭圆长半轴，计算出沿接触线齿面网格的修形量，将两者叠加到小轮辅助齿面上获得小轮目标齿面；借助遗传算法求解目标齿面所对应的小轮加工参数。通过算例表明，将接触路径设计为沿齿长方向能够获得大重合度，且重合度仅与齿宽有关，沿齿宽中线的接触路径能够获得更好的啮合性能，避免过早发生边缘接触；齿面印痕沿齿向分布，避免内对角接触，减小齿面相对滑动速度，且在安装误差作用下，齿面印痕沿着齿高方向移动。 关键词：弧齿锥齿轮；大重合度；齿面印痕；滑动速度；齿面修形
中图分类号：TH132文献标志码：A
DOI：10.7652/xjtuxb202103014文章编号:0253-987X(2021)03-0117-09
OSID Design and Analysis of Spiral Bevel Gears with Large Contact Ratio
SU Jinzhan,WEI Gang,YANG Yu,CHANG Lehao,GUO Jiashun (Key Laboratory of Road Construction Technology and Equipment of MOE,Chang'an University,Xi'an710064,China) Abstract:In order to improve the meshing performance of spiral bevel gears,this paper proposes adesign me#hodoflargecon#ac#ra#io wi#hcon#ac#pa#halong#oo#h wid#h.Theauxiliary#oo#h surfaceofpinionisgenera#ed byusing#he wheel as#he imaginaryshaping and prese ing#he symme#ri
cparabolicfunc#ionof#ransmissionerror.Themodificaionalongcon#ac#pa#hisfirs#ly calcula#ed,and#hen#he modifica#ionofgridpoin#son#he#oo#hsurfacealongcon#ac#linesis ob#ainedaccording#o#heelas#icdeformaionunderligh#-loadcondi#ionand#hemajorsemi-axisof #hecon#ac#e l ipse,superimposingbo#h modifica#ionson#heauxiliary#oo#hsurfaceofpinion#o ob#ain#he#arge##oo#hsurfaceof#hepinion.Fina l y,#hemachine-#oolse#ingscorresponding#o #he#arge##oo#hsurfaceof#hepinionaresolvedby#hegene#icalgori#hm.Thenumericalexample shows#ha#a large con#ac#ra#io can be ob#ained bydesigning#he con#ac#pa#h along#he#oo#h width,and the contact ratio is only related to the tooth width；the contact path along mid line of #oo#hwid#hprovidesbe#er meshingperformance#hanalongpi#chline,whichcanavoidearly edgecon#ac#.The#oo#hcon#ac#pa#ernisdis#ribu#edalong#he#oo#h wid#hdirec#ion,soas#o avoidin#ernaldiagonalcon#ac#andreduce#herela#iveslidingveloci#ybe#ween#hemeshing#oo#h surfaces,#he#oo#hcon#ac#pa#ernmovesalong#oo#hheigh#direc#ionunder#heassembleerrors.
Keywords:spiral bevel gears；large contact ratio；tooth contact pattern；relative velocity；tooth su<facemodification
收稿日期：2020-09-22#作者简介：苏进展(1982—)，男，副教授。基金项目：国家自然科学基金资助项目(51805405)；陕西省自然科学研究计划资助项目(2019JQ-695；2020jQ-383)#
网络出版时间:2020-12-22网络出版地址：http：/knski/kcms/detail/61.1069.T.20201222.1334.010.html
118西安交通大学学报第55卷
弧齿锥齿轮具有传动平稳、振动噪声小、承载能力大、可实现任意角度相交轴的动力传输等优点，使其成为现代直升机动力传动系统的输入级传动装置。早期的弧齿锥齿轮设计，接触路径类似于直齿轮，近似垂直于根锥工，存在着重合度小、轮齿强度差和振动噪声大等问题，不能满足当前高速重载的传动要求#提高弧齿锥齿轮重合度的措施有3种:①通过增加齿高来提高重合度，但受限于实际齿高，重合度的增大量有限且容易出现齿顶变尖，杨宏斌等提出了基于局部综合法的高齿准双曲面齿轮切齿参数设计，增大齿轮副的重合度，不易发生边缘接触⑵；②通过非零变位系数优化来获得大重合度，张华等采用非零负变位设计，从几何设计和加工参数设计两方面来提高弧齿锥齿轮的实际重合度，改善小轮的齿根弯曲强度③通过减小接触路径与根锥的夹角来提高重合度，即内对角设计，邓效忠等通过减小接触路径与根锥的夹角来提高弧齿锥齿轮的重合度，分析其强度性能和动态性能，表明大重合度弧齿锥齿轮能够显著地降低齿面接触应力和振动噪声牟彦铭等提出了基于齿长曲率修正的大重合度弧齿锥齿轮设计方法，改善了齿面载荷分布和啮合性能$-11：#牟彦铭等提出了高重合度高阶传动差的面修方，低了
轮的运行噪声和振动，有效避免边缘接触：12-13：#美Fuentes等于综合优化触
根锥的夹角，将接触路径设计为沿近似齿长方向，获得高强度、低噪声的弧齿锥齿轮$4一15；建立了考虑传动误差和齿面印痕的目标齿面，通过基于置信区间策略的Levenberg-Marquardt优化方法获得对应的小轮加工参数，实现了接触路径沿近似齿长方向的齿面印痕，并通过有限元法进行轮齿强度性能分析#曹雪梅等提出了一种齿面印痕和传动误差可分别控制的弧齿锥齿轮设计方法，借助此方法可获得大重合度设计$6%#苏进展等提出了一种设计弧齿锥齿轮传动误差七阶多项式函数的大重合度新方法，降低齿轮传动的振动和噪声，改善齿面载荷分布7#侯祥颖等利用商用有限元软件及向量式有限元法对大重合度弧齿锥齿轮进行加载接触分析，获得准确的接触力和齿根弯曲应力，为轮齿强度设计提供参考$820%#
过减小触的夹角的大合度计，能够有效地提高轮齿强度，降低齿轮副振动噪，获得对角触的面，在
的相对滑动速度大，容易发生擦伤和胶合失效。理想的情况下，接触路径应类似于斜齿轮沿节锥方向，接触点处不存在相对滑动，摩擦力等于0。随着弧齿锥齿轮制造精度和安装精度的不断提高，沿齿长方向的接触路径是齿面印痕设计的必然趋势#本文预置啮合转换点幅值的抛物线传动误差，推导出大、小轮啮合转角的关系式#以大轮为假想插齿刀加工小轮，借助齐次坐标变换和空间啮合原理，共辄展成与大轮齿面线接触的小轮辅助齿面。在小轮辅助齿面上预置沿着节锥或近似节锥方向的接触路径。在接触点的切平面上，计算齿面网格点的修形长度及修形量，并将其叠加到小轮辅助齿面上，得到小轮目标齿面。基于传统摇台型机床模型，建立以小轮加工参数为优化变量，以小轮齿面与小轮
目标齿面的法向偏差平方和最小为优化目标的优化模型，利用遗传算法反求小轮目标齿面的加工参数#最后，借助轮齿几何接触分析对大重合度弧齿锥齿轮的齿面印痕、相对滑动速度和误差敏感性等进行分析。
1小轮辅助齿面
1.1预置抛物线传动误差
传动误差定义为当小轮转过一定角度时，大轮转过的实际角度与理想角度之差。图1为对称抛物线传动误差曲线，A、B和M分别表示齿轮副的啮入点、啮出点和参考点)1A)1B和)1M表示所对应的小轮啮合转角,TE为啮合转换点的传动误差，T为啮合周期，！’=2%/’1,’1为小轮齿数。该传动误差曲线具有如下特征：①啮入点和啮出点的传动误差相等，即)2A=)2B◎齿轮副的啮入转角和啮出转角关于参考点对称，即)2M—)2A=)2B—)2M；③差的啮分AM啮分MB的
形状完全对称。抛物线几何传动误差的表达式为式中：+21为传动比倒数的一阶导数；)1为小轮啮合
第3期苏进展，等：大重合度弧齿锥齿轮设计与分析119转角呻0为小轮初始啮合转角#啮合转换点的传
动误差Q te与传动比一阶导数m21的关系为
M ih=0cos)1sin)1
0—4in)1co4)1
0「
,4讣和L h2分另U
1
100
000
将式(1)和(2)联立，得到传动误差的数学表达式
*)2#—*TE Z2r()1—)10))2(3)
%
将式(3)代入传动误差的定义中，得到大、小轮啮合转角的关系式为
式中：盜为大轮啮合转角)2为大轮初始啮合转角；m21为传动比倒数,m21=Z1/Z2)2为大轮齿数。
1.2小轮辅助齿面
已知大轮的刀具参数和机床调整参数，基于齐次坐标变换和空间啮合原理，在大轮动坐标系S2中大轮齿面+2的位矢和法矢表示为12("g,,g)和22("g,,g)；"g表示大轮的刀盘转角；,g表示加工大轮时的摇台转角#将大轮视为假想插齿刀的刀具面+2，根据图2所示的小轮辅助齿面加工坐标系，按照预置几何传动误差式(3)，展成小轮辅助齿面+1，滚比等于传动比。图2中，坐标系S2和S i分别固接在大轮和小轮上，S h为固定坐标系，大轮刀具面+2与小轮辅助齿面+1为完全共辄线接触。
图2小轮辅助齿面加工坐标系
小轮辅助齿面+1的位矢'和单位法矢％1表示为
%1#M ih()1)M h2()2)12%
21#4ih()1)4h2()2)“2$(5)
912("g,,g,)1)#0&
其中
cos+sin+sin)2—sin+cos)20
0—cos)2—sin)20 M h2=./*
—sin+cos+sin)2—cos+cos)20
0001为M ih和M h2去掉最后一行和最后一■列的旋转矩阵,912为大轮的刀具面+2和小轮辅助面+1的啮合方程，+为轴交角。
2小轮目标齿面
2.1沿齿长的接触路径
图3给出了沿齿长方向的接触路径,R1A&1B和R17为小轮啮合转角)1A、)1B和)17所对应的啮合线。为了实现大重合度设计，将接触路径厂设计为沿齿长方向的直线。在坐标系sy中，接触路径偏离节锥线#y，内锥啮入点A的位置参数为(R icos Q1+△y sin Q i,sin^+#y cos^)，夕卜锥啮出点B的位置参数为(R
e cos&i+#y sin^R e sin Q1+cos&i)；其中，R i和R e分别为小轮的内锥距和外锥距心为小轮节锥角。通过联立非线性方程组
:r1("g,,g,)1)#R;cos Q1十△y sin Q1%
导电碳油槡y'12("g，,g，)1)十z12("g,,g,)1)=$①) R isin Q i十△ycos&i
912("g,,g,)1)=0&
求出啮入点A所在啮合线对应的小轮啮合转角)1A#同理，联立如下的方程组
X1("g,,g,)1)=R e cos Q1十△y sin Q1%
槡y'12("g，,g，)1)十z12("g,,g,)1)=$(7) R esin Q i十△ycos&i
912("g,,g,)1)=0&
求出啮出点B所在啮合线对应的小轮啮合转角)1B。式中X%("g,,g,%)、y1("g,,g，沦)和z；("g, ,g,%)分别为小轮辅助齿面位矢％1的3个坐标分量。在不考虑边缘接触情况下，齿轮副的设计重合度%r=)1B—)1A\/T z#将接触路径中点7作为设计参考点，且在该点处的小轮啮合转角)17=0#接触路径方程表示
为6=tan(Q1+△)x+z A y/cos&i,△表示接触路径与小轮节锥角的夹角。当齿轮副的中点螺旋角较小时，可适当增加△形成内对角接触路径，一般可取0〜儿,/为小轮齿顶角和齿根角；&△70，则式(6)和(7)中的啮入点和啮出点的位置参数需做相应的变化#将接触路径设计为直线，可降低齿面印痕对安装误差的敏感性，在一定的安装误差范围内，确保整个齿面内具有较好的啮合质量#
120西安交通大学学报第55卷
图3沿齿长方向的接触路径
2.2小轮接触线修
给定小轮啮合转角％，在小轮辅助齿面81上对应为一条啮合线，啮合触的交点为接触点。为了实触，需将啮合线按照二次/数进行修形。现有的齿面修形方法$4%在小轮辅助齿面的旋转投影面上进行的，存在一定的，本文提出了一种在接触平面的修形方法。切平面上的修形量如图4所示，具体步骤如下。
(1)在某一瞬时啮合转角0(,$1、$2分别为小轮辅助齿面上瞬时啮合线L(上的两点，接触点P 为啮合线L(触-的交点；
(2)在过P点的切平面T上，将P1P2向切平面T，投影得到P'1、P‘2；
螺母(3)将P1和P两点间的距离〃作为修形长度, P1P2为P1、P2沿着接触点P的法向上的修形，修为
频率补偿0=知2⑻式中"为接触齿面间的弹性变形量，通常在齿面设按照下取格里的经验值0.00635mm，为预置的接触椭圆长半轴。
小轮辅助齿面+1离散成5=+h q个网格点，齿高+为5，齿长q为9，则小轮辅助齿面上离散点位置的位矢8和单位法矢8为
2-氯-5-氯甲基噻唑
图4切平面上的修形量将小轮辅助齿面+1上的离散点8和其修正量0进行叠加，可得小轮目标齿面#小轮目标齿面+5上对应的为
P；=8+08,(—1,2,…，5(10) 3反求加工参数
给定一组初始的小轮刀具参数和机床调整参数，则小轮齿面+1的位矢口和单位法矢21分别为
11=11("p，如，,1)](11)
21=2("p，如,,1)丿
式中："p和如分别为小轮的转角和摇台转角。
小面+1上'位置处的位矢
法矢分别为和n l(i=1,2，……,5)定义小轮齿面+1与小轮目标齿面+5在离散点(处的法向偏差为&(d)=($「-p t)n t,(=1,•…,5(12)
式中"为小轮的加工参数d=$1,R c,S1q,C1, E m1,x G1,x b1，7m,2C,6D%；1为齿形角；R c为小轮刀尖半径；S1为小轮径向刀位；q1为小轮角向刀位; C1为小轮滚比；E m1为小轮垂直轮位；x®为小轮水平轮位；x B1为小轮轴向床位；治为小轮机床安装角，2C、6D分别表示系数、系数#小轮齿面+i和小轮目标齿面+5的法向偏差为
&d)—[&15),…，&5d)T(13)以小轮全部或部分加工参数作为优化，小轮齿面+i和小轮目标齿面+5的法向偏差平方和最小作为优化目标，建立如下式的优化！
min/(d)=&T(d')h(d)%
$(14)
d8[21, 2.2%J
式中2122分别为设计变量取值的上下限，根据螺旋加工机床的实际加工确定。
由于优化中涉大方程组的求解，且优化较多，解存在多个解等特点，目标函数高度最小优化问题，采用传统优化难实现高精度齿面逼近#遗传
一应优化概率，具有可•性、
等!采用求逼近小轮目标齿面+5的小轮加工参数，设计优化流程如图5所示。
4算例与分析
以一对的工面(大面小轮凹面)为例，说明的方法#表1为•锥的几何参数，表2为工作面的加
洛克沙胂
第3期苏进展，等：大重合度弧齿锥齿轮设计与分析121
图5小轮加工参数优化过程
工参数，啮合转换点的传动误差为Q te=0.00278°。
遗传算法的参数设置对优化模型的收敛性及计算速
度有重要的影响，本文优化模型中有9个优化变量
(除去齿形角©和轮坯安装角/m)，齿面离散点数k
为45(5行9列)参考典型遗传算法参数的设置范
围，结合本文实际问题规模，经过多次试验后，确定遗
传算法参数具体设置如下：种大小为5，进化代数
100代，交叉概率为0.5，变异概率为0.1，该组参数下
能够取得较好的优化效果。取传统格里森机床调整
卡作为初始加工参数，其设计重合度为2.3159，采用
本文方法优化后所获得的设计重合度为2.8242。
表1弧齿锥齿轮副的几何参数
参数
数值
小大
数:3
65
模数/mm 3.9 3.9法向压力角/(°)
:5:5中点螺旋角/(°)3535
螺旋方向右左
轴交角/(°)90.090.0
角/(°)
19.486170.5138
角/(°):1.7770
71.6718
角/(°)18.3:8168.:::9
/mm134.451134.451
/mm3737
齿顶高/mm 4.6455 1.9844
齿根高/mm 2.7176 5.3787
从表2中推导出大、小轮齿面方程，将其转换到固定坐标系中，根据两啮合齿面连续相切条件，建立
齿面几何接触分析(TCA)的基本方程组，按一定的步长给定小轮啮合转角，通过求解TCA非线性方程组，获得有效齿面内的接触路径和传动误差，再利用微分几何求出接触椭圆长轴，由一系列的椭圆长轴组成了齿面印痕。定义小轮共辄齿面为与大轮完全共辄的齿面，则小轮齿面偏差定义为小轮齿面和小轮共辄齿面在对应点的矢量差沿法向方向投影#表2弧齿锥齿轮工作面的加工参数
参数
数值
小面大轮凸面刀尖半径/mm93.03:994.:35
齿形角/(°)22.522.5
径向刀位/mm109.9071114.785:7
角向刀位/(°)48.663748.7694
滚比 2.87862 1.05991垂直轮位/mm 2.65340.0
向/mm
—
1.89:9
0.0
/mm0.595:0.0轮坯安装角/(°)
18.3:8168.:::9
二阶变性系数—0.04:58:0.0
三阶变性系数0.09139:0.0
将接触路径设计为沿节锥线和沿齿高中线方向，图6和图7分别给出了这两种设计方案的齿面印痕、传动误差和小轮齿面偏差。图6为接触路径沿节线方向，图7为接触路径沿齿高中线方向。
图6中，由于锥齿轮设计都采用高度变位，大轮节锥线靠近齿顶，齿面印痕也靠近齿顶，在轻载或中载条件下容易造成边缘接触，从而降低轮齿强度和强烈振动；在啮合转换点的传动误差满足设计要求，啮入和啮出的传动误差分别为一0.02507°和_
_
_
一5
2
4
6
9
-
-
-
S
8
、
知
00105110115120125130
齿宽/m m
(a)齿面印痕
O
(
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、
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小轮转角/(°)
(b)传动误差
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