线性代数习题及答案
习题一 （A 类）
(1) 341782659； (2) 987654321；
(3) n (n -1)…321； (4) 13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2. 【解】
(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;
(3) τ(n (n -1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n -1)=
(1)
2
n n -; (4) τ(13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2)=0+1+…+(n -1)+(n -1)+(n -2)+…+1+0=n (n -1). 2. 求出j ，k 使9级排列24j157k98为偶排列。
解：由排列为9级排列，所以j,k 只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j 的逆序为1，5的逆序数为0，k 的为1，符合题意；若j=6,k=3，则j 的逆序为0，5的逆序数为1，k 的为4，不符合题意. 所以j=3、k=6.
3. 写出4阶行列式中含有因子2234a a 的项。 解：D 4=1234() 11223344(1)
j j j j j j j j a a a a τ- 由题意有：232,
4.j j ==
故1234141243
243241
j j j j j j ⎧==⎨
⎩ D 4中含的2234a a 项为：(1243)
雾疗(3241)1122344313223441(1)
(1)a a a a a a a a ττ-+-
即为：1122344313223441a a a a a a a a -+
4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？ （1）233142561465a a a a a a ；
解：233142561465142331425665a a a a a a a a a a a a =
因为(431265)6τ=，(431265)
6(1)(1)1τ-=-=
所以该项带正号。 （2）324314516625a a a a a a
解：324314516625142532435166a a a a a a a a a a a a = 因为(452316)8τ=，(452316)
8(1)
(1)1τ-=-=
所以该项带正号。
(1)
0200
001030000004
； (2)
1230
002030450001
. （3）
0100002
000
10
n n -
【解】(1) D =(-1)
τ(2314)
4!=24; (2) D =12.
（3）由题意知：12231,,112
10
n n
n ij a a a n a n a -=⎧⎪=
⎪⎪⎪
⎨=-⎪⎪=⎪=⎪⎩其余
所以
12
()112233(2341)
122334
1,1
1
1(1)(1)(1)
123(1)(231)1
(1)!
n j j j n j j j njn n n n n n n D a a a a a a a a a n n n n n τττ---=-=-=-⋅⋅⋅⋅⋅-⋅=-=-⋅
6. 计算下列各行列式.
(1)
2
141312112325
62
-----； (2) ab
ac ae bd
cd de bf
cf
ef
-------；
(3)
1
001100110
1a b c d ---； (4)
1234234134124123
.
【解】(1) 12
5
0623121012325
62
r r D
+---=--;
(2) 1
1141
1
1111D abcdef abcdef --==------;
21
011
111(3)(1)1
1
10
1100
1
011;
b c D a a b cd c c d d d
d abcd ab ad cd --⎡--⎤
=+-=+++--⎢⎥⎣⎦=++++ 32122113
314214
41
210234
10
234
102
3410341011
30
113(4)160.1041202220
04
410123
111
4r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---=
=
==-------
7. 证明下列各式.
(1) 2
2322()111a ab b a
a b b a b +=-；
(2)
2
22222222
2
2
2
2222
(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)
(2)
(3)
(1)(2)(3)a a a a b b b b c
c c c
d d d d ++++++=++++++；
(3) 2
322
322
3
2
111()111a a a a b
b ab b
c ca b b c c c
c =++
(4) 2000
0()
0000n n a b a b D ad bc c d c d
=
=-；
(5)
1
2
11
11
1111111
1
1n
n
i i i i n
a a a a a ==++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∑∏. 【证明】(1)
13
23
2
2
3()()()2()2001()()()()()2()
2
1c c c c a b a b b a b b a b a b b a b a b b a b a b b a b a b a b a b
--+--=
--+--+=
=-=-=--左端右端.
(2) 3221
3142
41
2
2
22-2-2
2
32
2
21446921262144692126021
44
69
2126214469
2126
c c c c c c c c c c a a a a a a b b b b b b c
董育铭
c c c c
c d d d d d d ---++++++++=
塑料薄膜连续封口机=
==++++++++左端右端.
(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:
2
3232
3
2
3
11()()()()()()()(*)11x x x a a a f x x a x b x c a b a c b c b b b
c
c c =
=------
从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为
2
22
1()()()()(),11a a ab bc ac a b a c b c ab bc ac b b c
c ++---=++
但对（*）式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故
2
3112
32
3
1(1),11a a b b c c +- (4) 对D 2n 按第一行展开，得
22(1)2(1)2(1)00
00
00
(),
n n n n a
b a
b
a b
a b
磺酸酯
D a
b
c d
c d
c d c d d
液压缸位移传感器c a
d D bc D ad bc D ---=-=⋅-⋅=-
据此递推下去，可得
222(1)2(2)
112()()()()()()n n n n n n
D ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ad bc ad bc ----=-=-=
=-=--=- 2().n n D ad bc ∴
=-
(5) 对行列式的阶数n 用数学归纳法.
当n =2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n -1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n 时结论也成立. 按D n 的最后一列，把D n 拆成两个n 阶行列式相加：
11
2
2
1
12
11111011
11111011111110111
11
1
1
.
n n n
金属导电膜n n n a a a a D a a a a a a D ---++++=
+
+=+
但由归纳假设
1112
1111,n n n i i D a a a a ---=⎛⎫+= ⎪⎝⎭
∑ 从而有
112
1121112
1111111111.
n n n n n i i n n n
n n i i i i i i D a a a a a a a a a a a a a a a ---=-===⎛⎫
+=+ ⎪
⎝⎭
⎛
⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭∑∑∑∏
8. 计算下列n 阶行列式.
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