《霍尔效应》
一、计算题
1.将一金属或半导体薄片垂直置于磁场中，并沿垂直磁场方向通入电流，则在导体中垂直于电流和磁场方向会产生一个电势差，这一现象称为霍尔效应，此电势差称为霍尔电势差．（1）某长方体薄片霍尔元件，其中导电的是自由电子，薄片处在与其上表面垂直的匀强磁场中，在薄片的两个侧面a、b间通以如图所示的电流时，另外两侧面c、d间产生霍尔电势差UH，请判断图中c、d哪端的电势高（2）可以将（1）中的材料制成厚度为h、宽度为L的微小探头，测量磁感应强度，将探头放入磁感应强度为B0的匀强磁场中，a、b间通以大小为I的电流，测出霍尔电势差UH，再将探头放入待测磁场中，保持I不变，测出霍尔电势差UH′，利用上述条件，求：此霍尔元件单位体积内自由电子的个数n（已知电子电荷量为e）；待测磁场的磁感应强度Bx和B0之间的关系式（3）对于特定的半导体材料，其单位体积内的载流子数目n和载流子所带电荷量q均为定值．在具体应用中，有UH=KHIB，式中的KH称为霍尔元件灵敏度，一般要求KH越大越好，试通过计算说明为什么霍尔元件一般都做得很薄． 2.（1）如图1所示，厚度为h，宽度为d的导体板放在匀强磁场中，磁场方向垂直于板的两个侧面向里，当电流通过导体板时，在导体板的上侧面A和下侧面A′之间会产生电势差，这种现象称为霍尔效应。霍尔效应可解释如下：外部磁场的洛仑兹力使运动的电子聚集在导体板的一侧，在导体板的另一侧会出现多余的正电荷，从而形成横向电场，横向电场对电子施加与洛仑兹力方向相反的电场力，当电场力与洛仑兹力达到平衡时，导体板上下两侧之间就会形成稳定的电势差。
①达到稳定时，导体板上下侧面的电势哪个高？
②若测得上侧面A和下侧面A′之间的电压为U1，磁感应强度为B1，求此时电子做匀速直线运动的速度为多少？数模转换
③由于电流和电压很容易测量，因此霍尔效应经常被用于检测磁感应强度的大小。若已知该导体内部单位体积内自由电子数为，电子电量为e，测得通过电流为I时，导体板上下侧
面的电压为U，求此时磁感应强度B的大小。（2）磁流体发电的原理与霍尔效应非常类似。如图2所示，磁流体发电装置的发电管是横截面为矩形的水平管道，管道的长为L、宽为、高为，上下两面是绝缘板。前后两侧面M、N是电阻可忽略的导体板，两导体板与开关S和定值电阻R相连。整个管道置于磁感应强度大小为B、方向沿z轴正方向的匀强磁场中。管道内始终充满电阻率为ρ0的导电液体（有大量的正、负离子），且开关闭合前后，液体在管道进、出口两端压强差的作用下，均以恒定速率沿x轴正向流动，液体所受的摩擦阻力不变。①求开关闭合前，M、N两板间的电势差大小U0；②求开关闭合后，M、N两板间的电势差大小U；③关于该装置内部能量转化和各力做功，下列说法中正确的是______A．该发电机内部由于电荷随导电液体沿x轴方向运动，因此产生了垂直于x轴方向的洛伦兹力分量。这个力使电荷向侧面两板聚集，克服静电力做功，形成电动势，是电源内部的非静电力B．闭合开关后，由于导电液体内部产生了从M到N的电流，因此导电液体受到安培力的作用，安培力对流体做正功 C．虽然洛伦兹力不做功，但它的一个分量对电荷做正功，另一个分量对电荷做负功，以这两个分量为媒介，流体的动能最终转化为回路中的电能
D．为了维持流体匀速运动，管道两端压强差产生的压力克服摩擦阻力和安培力做功，是整个发电机能量的来源。
负压病房
3.一块N型半导体薄片（称霍尔元件），其横载面为矩形，体积为b×c×d，如图所示．已知其单位体积内的电子数为n、电阻率为ρ、电子电荷量e．将此元件放在匀强磁场中，磁场方向沿Z轴方向，并通有沿x轴方向的电流I．
（1）此元件的CC′两个侧面中，哪个面电势高？
（2）试证明在磁感应强度一定时，此元件的CC′两个侧面的电势差与其中的电流成正比
（3）磁强计是利用霍尔效应来测量磁感应强度B 的仪器．其测量方法为：将导体放在匀强磁场之中，用毫安表测量通以电流I，用毫伏表测量C、C，间的电压U CC′，就可测得B．若已知其霍尔系数．并测得UCC′=0.6mV，I=3mA．试求该元件所在处的磁感应强度B的大小．
4.如图所示为一块长为a，宽为b，厚为c的金属霍尔元件放在直角坐标系中，电流为I，方向沿x轴正方向，强度为B的匀强磁场沿y轴正方向，单位体积内自由电子数为n，自由电子的电量为e，与z轴垂直的两个侧面有稳定的霍尔电压．则______ 电势高（填“上表面”或“下表面”），霍尔电压UH=______．
5.如图是磁流体发电工作原理示意图。发电通道是个长方体，其中空部分的长、高、宽分别为l、a、b，前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是电阻可略的导体电极，这两个电极与负载电阻R相连。发电通道处于匀强磁场里，磁感应强度为B，方向如图。发电通道内有电阻率为ρ电荷量为q的高温等离子电离气体沿导管高速向右流动，运动的电离气体受到磁场作用，产生了电动势。发电通道两端必须保持一定压强差，使得电离气体以不变的流速v通过发电通道。不计电离气体所受的摩擦阻力。根据提供的信息完成下列问题：
（1）判断发电机导体电极的正负极，求发电机的电动势E；
（2）发电通道两端的压强差△P；
（3）若负载电阻R阻值可以改变，当R减小时，电路中的电流会增大；但当R减小到R 0时，电流达到最大值（饱和值）Im；当R继续减小时，电流就不再增大，而保持不变。设变化过程中，发电通道内电离气体的电阻率保持不变。求R 0和Im。
6.利用霍尔效应制作的霍尔元件以及传感器，广泛应用于测量和自动控制等领域。如图，将一金属或半导体薄片垂直置于磁场B中，在薄片的两个侧面a、b间通以电流I时，另外两侧c、f间产生电势差，这一现象称为霍尔效应。其原因是薄片中的移动电荷受洛伦兹力的作用向一侧偏转和积累，于是c、f间建立起电场EH，同时产生霍尔电势差UH．当电荷所受的电场力与洛伦兹力处处相等时，EH和UH达到稳定值，UH的大小与I和B以及霍尔元件厚度d之间满足关系式UH=RH，其中比例系数RH称为霍尔系数，仅与材料性质有关。
（1）设半导体薄片的宽度（c、f间距）为l，请写出UH和EH的关系式；若半导体材料是电子导电的，请判断图中c、f哪端的电势高。
（2）已知半导体薄片内单位体积中导电的电子数为n，电子的电荷量为e，请导出霍尔系数RH的表达式。（通过横截面积S的电流I=nevS，其中v是导电电子定向移动的平均速率）
7.压力波测量仪可将待测压力波转换成电压信号,其原理如图1所示,压力波p(t)进入弹性盒后,通过与铰链O相连的“┨”形轻杆L,驱动杆端头A处的微型霍尔片在磁场中沿x轴方向做微小振动,其位移x与压力p成正比(x=αp,α>0)。霍尔片的放大图如图2所示,它由长×宽×厚=a×b×d、单位体积内自由电子数为n的N型半导体制成。磁场方向垂直于x轴向上,磁感应强度大小为B=B0(1-β|x|),β>0。无压力波输入时,霍尔片静止在x=0处,此时给霍尔片通以沿C1、C2方向的电流I,则在侧面上D1、D2两点间产生霍尔电压U0。
图1 图2 图3
(1)指出D1、D拉丝钢板2两点哪点电势高;
(2)推导出U0与I、B0之间的关系式(提示:电流I与自由电子定向移动速率v之间关系为I=nevbd,其中e为电子电荷量);
(3)弹性盒中输入压力波p(t),霍尔片中通以相同电流,测得霍尔电压UH随时间t变化图像如图3。忽略霍尔片在磁场中运动产生的电动势和阻尼,求压力波的振幅和频率。(结果用U0、U
1、t0、α及ppzhusβ表示)
8.法拉第曾提出一种利用河流发电的设想，并进行了实验研究．实验装置的示意图如图，两块面积均为S的矩形金属板，平行、正对、竖直地全部浸在河水中，间距为d．水流速度处处相同，大小为υ，方向水平．金属板与水流方向平行．地磁场磁感应强度的竖直分量为B，水的电阻率为卤素管取暖器ρ，水面上方有一阻值为R的电阻通过绝缘导线和开关S连接到两金属板上，忽略边缘效应，求：
(1)该发电装置的电动势；
桶盖
(2)通过电阻R的电流强度；
(3)电阻R消耗的电功率．
9.磁流体发电具有结构简单、启动快捷、环保且无需转动机械等优势。如图所示，是正处于研究阶段的磁流体发电机的简易模型图，其发电通道是一个长方体空腔，长、高、宽分别为l、a、b，前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是电阻可忽略的导体电极，这两个电极通过开关与阻值为R的某种金属直导体MN连成闭合电路，整个发电通道处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面向里。高温等离子体以不变的速率v水平向右喷入发电通道内，发电机的等效内阻为r，忽略等离子体的重力、相互作用力及其他因素。
（1）求该磁流体发电机的电动势大小E；
（2）当开关闭合后，整个闭合电路中就会产生恒定的电流。
a．要使等离子体以不变的速率v通过发电通道，必须有推动等离子体在发电通道内前进的作用力。如果不计其它损耗，这个推力的功率PT就应该等于该发电机的总功率PD，请你证明这个结论；
b．若以该金属直导体MN为研究对象，由于电场的作用，金属导体中自由电子定向运动的速率增加，但运动过程中会与导体内不动的粒子碰撞从而减速，因此自由电子定向运动的平均速率不随时间变化。设该金属导体的横截面积为s，电阻率为ρ，电子在金属导体中可认为均匀分布，每个电子的电荷量为e．求金属导体中每个电子所受平均阻力的大小f。
10.设图中磁流体发电机的两块金属板的长度均为a，宽度均为b，金属板平行且正对放置，间距为d，其间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B，导电流体的流速为v（保持不变）、电阻率为ρ，负载电阻的阻值为R．导电流体从一侧沿垂直磁场且与金属板平行的方向进入两板间，当开关K拨在1时，磁流体发电机对负载电阻供电；当开关拨在2时，磁流体发电机给平行板电容器充电，电容器间一个质量为m、电量为q的悬吊带电小球在电场力作用下从竖直位置向右偏摆的最大角度为θ．求：
（1）当开关K拨在1时，负载电阻得到的电压；
（2）电容器极板之间的距离S．
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