新课标剖析
满分晋级
何意义
导数1级
导数的概念与运算
第8讲 导数的概念 与运算
导数的引入
我们在必修一的时候学习了函数单调性的知识，可以从变化趋势来研究函数．比如增函数就是越来越大的，减函数就是越来越小的．我们知道了函数的增和减之后，自然引出的问题就是增和减的速度．就好比我们还是婴儿的时候，最开始掌握的运动方式是爬，开始是练习向前爬和向后爬，能掌握方向了之后，就要开始关注爬的速度．有些社区还会组织婴儿爬行比赛．回到函数的角度，我们原始的函数定义解决的是“在哪里”的问题（代入坐标求解），必修一的《函数单调性》这一节中我们初步解决了“往哪走”的问题．现在我们要研究的就是在大概知道“往哪走”的前提之下，解决具体“怎么走”“走多快”的问题．为了研究此类问题，聪明的人类引入了导数的概念．在介绍导数之前，我们先来了解一个简单概念：平均变化率． １．函数的平均变化率：
一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-，
10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，
则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x y
x x
+∆-∆=
∆∆称作函数()y f x =在区间[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）上的平均变化率．
有一个小车在忽忽悠悠的往前开，我们每隔1秒钟拍一张照片，就可以得到如下的图： 1t s ∆=时：
这时计算平均速度就可以用位移差除以时间差，这其实也是速度的定义：速度就是位移的变化率．那么平均速度也就是位移的平均变化率．我们也可以把时间间隔变成0.5秒，就会变成下图： 0.5t s ∆=时：
8.1导数的概念
知识点睛
18m
8m 2m 0m s
2s 1s 0s 2.5s 1.5s
s 18m
8m 2m 0m 3s
2s 1s 0s
比如我们要计算1到1.5秒间的平均速度，也需要用位移差
s
t
∆
∆
．
如果我们排除位移、速度这样的具体物理概念，只研究“变化“这件事的话，我们就可以得到更广泛的平均变化率的概念．
建议老师可以换一个例子，比如从圆的面积随半径的变化率入手．
很自然的我们可以知道圆面积随半径的平均变化率是
22
π()π
2ππx x x
x x x x x
+∆-
=+∆+∆-
我们很容易发现，在半径均匀变化的时候，圆面积随半径的平均变化率并不是均匀的，而
是越变越快．这个现象在生活中有很实际的例子，比如我们去买蛋糕的时候，六寸、九寸、
十二寸的蛋糕价格并不是均匀增长的，从九寸到十二寸的价格增长一定比从六寸到九寸的
价格增长大．
平均变化率有本身的缺陷，比如小车问题中，我们看到从0s到1s的平均速度是2/
m s，但是我们并不能说这一段时间每一个时刻的速度都是2/
m s．蛋糕问题也是一样的，比如我们有一个神奇的蛋糕，会越变越大，原来是六寸的，一段时间后涨到了七寸，然后出现一
个神奇的小狗，把新出来的宽为一寸“蛋糕环”吃了，最后剩下的还是一个六寸的蛋糕．那
么这段时间蛋糕大小的平均变化率应该是0，从这个角度讲是蛋糕没变的，但实际过程中
有很复杂的变化．平均变化率在刻画此类问题的时候显得不够精确了．
还有很多的例子，比如有一个人投资股票，一开始投入了10块钱，一年之后收回10块钱，
那么这一年中的平均变化率就是0，但是这一年中肯定有起伏的变化．老师可以选取自己
比较擅长的例子进行讲解
产生这个问题的重要原因是平均变化率只能刻画一个x
∆上的平均情况，只考虑起点和终点两个时刻的状态，而对于中间状态没有刻画（这里的x
∆可以指时间，也可以指刚才提过的半径变化）．而当我们精确处理每一个瞬间变化情况的时候，自然的想法就是让x
∆无限的小．此时得出的变化率就是瞬时变化率．
我们可以重新看刚才举的例子，比如小车的问题，当时间间隔无限小的时候，得到的结果
就是瞬时速度．圆的例子也是一样的，圆的面积随半径的平均变化率是2ππ
x x
+∆，当x
∆趋向于零的时候，瞬时变化率也就变成了2πx．这样我们就可以从平均变化率的问题引入到
瞬时变化率的问题
石墨冷凝器
【教师备案】教师可以由前两个小车问题讲解平均变化率，在学生理解什么是平均变化率后，让学生做例1⑴．尖子班学案1也是平均变化率的问题，老师也可以选择性的让学生做做．建议
老师在让学生计算平均变化率之前多举一些简单的例子，可以参考铺垫题中使用具体的
某个数来计算平均变化率，然后再让学生去做用
x解平均变化率的题．对于学生来说，
一个比较合理的学习顺序是这样的：
最后我们加入的易错门诊，强调的是导数的定义．然后就可以进入第二板块：导数的运
算了．
2．函数的瞬时变化率、函数的导数：
设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变
00()()y f x x f x ∆=+∆-．
如果当x ∆趋近于0时，平均变化率
00()()
f x x f x y x x
+∆-∆=
∆∆趋近于一个常数，那么常数称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．
“当x ∆趋近于零时，00()()
f x x f x x
+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：
“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()
lim x f x x f x l x
∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近
于”．
函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作()f x '．
这时又称()f x 在0x x =“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()
lim ()x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆”．
考点1： 导数的定义【铺垫】求下列函数在区间[]22x +∆，和[]33x +∆，
上的平均变化率 ①()f x x = ②2()f x x =
【解析】 ①()f x x =在区间[]22x +∆，上的平均变化率为
1y
x ∆=∆； ()f x x =在区间[]33x +∆，上的平均变化率为1y
x ∆=∆；
②()2f x x =在区间[]22x +∆，上的平均变化率为4y
x x ∆=+∆∆；
()2f x x =在区间[]33x +∆，上的平均变化率为6y
x x
∆=+∆∆；
【总结】可以让学生感受一下函数变化快慢，比如从上题的结果来看，在相同的时间内一次函数的变
化是一直不变的；二次函数的变化是越来越快的．
【教师备案】教师可以先讲铺垫，根据铺垫让学生从具体的区间体会函数的平均变化率，再由具体的经典精讲
区间引申出一般区间的平均变化率，然后讲例1⑴．
【例1】
平均变化率与瞬时变化率
⑴ 求下列函数在区间00[]x x x +∆，上的平均变化率．
① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x = ④1
()f x x
=
⑤()f x ⑵ 求下列函数分别在1x =，2x =和3x =处的瞬时变化率．
① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x = ④ 1
()f x x
杨木皮子=
⑤
()f x = 【追问】从瞬时变化率角度分析每个函数的整体变化趋势，我们可以很明显的看出对于一次
函数，二次函数，三次函数来说，次数越高，往后变化越快．
【教师备案】求例1⑵的瞬时变化率时，前三个是让学生体会简单函数的瞬时变化率，老师可
以重点讲前三个，然后让学生自己体会后两个；如果学生的程度特别特别好，可以求下面两个函数在1x =处的瞬时变化率
⑥()sin f x x = ⑦()cos f x x =
滚压头【解析】 ⑴ ①
1y
x ∆=∆ ； ② 02y x x x ∆=+∆∆；
③ 220033()y x x x x x ∆=+∆+∆∆；
④2
001y x x x x ∆=-∆+⋅∆；
⑤y x
∆=∆.
⑵①在1x =处的瞬时变化率为(1)1f '=；在2x =处的瞬时变化率为(2)1f '=；
在3x =处的瞬时变化率为(3)1f '=．
②在1x =处的瞬时变化率为(1)2f '=；在2x =处的瞬时变化率为(2)4f '=； 在3x =处的瞬时变化率为(3)6f '=．
③在1x =处的瞬时变化率为(1)3f '=；在2x =处的瞬时变化率为(2)12f '=； 在3x =处的瞬时变化率为(3)27f '=．
④在1x =处的瞬时变化率为(1)1f '=-；在2x =处的瞬时变化率为1
(2)4
f '=-；
在3x =处的瞬时变化率为1
(3)9ip调度系统
f '=-．
⑤在1x =处的瞬时变化率为1
(1)
f '=；在2x =处的瞬时变化率为(2)
不锈钢酸洗f '=；
在3x =处的瞬时变化率为(3)f '=．
【总结】由例1⑵增长的，只不过增长速度越来越慢．
【教师备案】⑥⑦只求在1x =处的瞬时变化率，解析为：
⑥()()000000sin sin sin cos 1cos sin ()()x x x x x x x f x x f x y x x x x
+∆-∆-+∆+∆-∆===∆∆∆∆
>下变频器
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议