● 原子的振动以波的形式在晶体传播（原子的振动波称为格波） ● 晶格振动对晶体的性质有重要影响 主要内容
● 晶格动力学（经典理论，1912年由波恩和卡门建立）
晶格振动的模式数量（有多少种基本的波动解） 晶格振动的散关系（波动的频率和波数的关系） ● 晶格振动的量子理论 ● 固体的热容量 4.1 一维单原子链的振动
原子链共有N 个原胞，每个原胞只有一个原子，每个原子具有相同的质量m，平衡时原子间距等于晶格常数a，原子沿链方向运动，第n 个原子离开平衡位置的位移用x n 表示，第n 个原子和第n+1个原子间的相对位移为 一维单原子链 原子振动时，相邻两个原子之间的间距: 基本假设
● 平衡时原子位于Bravais 格点上 ● 原子围绕平衡位置作微振动
●
简谐近似：原子间的相互作用势能只考虑到平方项 微振动时：
减温减压装置撬装重心
简谐近似：势能展开式保留到二次项
微振动：原子离开平衡位置的位移与原子间距相比是小量。 晶体中原子的平衡位置由原子结合能（势）决定。
硬质合金密封环任何一种晶体，原子间的相互作用势能可以表述成原子之间距离的函数。
n n x x -=+1δδ+=a x ()()⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛+=+=222 21 )(δδδa a
x d U d x d U d a U a U x U
把qa改变一个2π的整数倍，原子的振动相同，因此可以把qa限制负pi和正pi之间，此范围以外的q值，并不提供新的物理内容.
速度是指波包的传播速度，dw/dq，也就是能量在介质中的传播速度。在布里渊区的边界上，速度为零，波是一个驻波。
4.2 一维双原子链的振动
q趋于0时，w也趋于零，称为声学波
4.3 三维晶格的振动(略) 一个原胞中有n 个原子
晶格基矢： 原胞数目： 原子的质量： 对于一个波矢q，有3n 个ω（即有3n 支散曲线） 在3n 支散关系中，当q→0时（长波）：
有三支ω →0，且各原子的振幅趋于相同，这三支为声学波。长声学波描述
了不同原胞之间的相对运动
其余3n －3支有有限的振动频率，为光学波。长光学波描述n 个格子之间的
相对振动。
晶格振动波矢的数目=晶体原胞数
一个波矢对应的频率数目=一个原胞内原子的自由度数 晶格振动频率的数目=晶体的自由度数
三维晶格中，波矢q 是矢量，还需要考虑原子的位移方向与格波的传播方向之间的关系。一般情况下，原子的振动方向既不平行也不垂直波矢，只有在一些特殊方向（一般是布里渊区的对称轴方向）格波可以分为横波（振动方向与格波行进方向垂直，包含两个频率简并的波）和纵波（振动方向与格波行进平行)。通常用LA 表示纵声学波，TA 表示横声学波；LO 表示纵光学波，TO 表示横光学波。每支格波的频率都有上下限。
夫妻草
引入频率分布函数原因：1、计算所有的热力学函数都涉及到对各个晶格振动模的求和，2、因为频率是q 的函数，q 定义在倒空间中，当N 很大时，q 是准连续的，因而频率是q 的准连续函数，这时，频率在q 空间的分布是十分密集的，这这种情况下，指明一个个分立的频率是没有意义的。3、在非晶态中，波矢q 不再是一个好的量子数，所以不再有散关系，但频率分布函数的概念仍然适用。
频谱密度的计算
总 结
3
21a a a 、、321N N N N ⨯⨯=n
s m m m m 、、、21
①晶体中，原子在格点的微振动，可以用波矢为q、频率为ω的格波来描述。
②在简谐近似下格波是平面波（也称为简谐波），这些简谐波的存在是相互独立的。
③一个格波表示所有的原子同时作同频率的振动，称为一个振动模式。
砭石能量房④频率ω和q 之间的关系称为散关系。
⑤独立的波矢q位于第一布里渊区，在FBZ中波矢q的取值数等于晶体的原胞数。
⑥根据散关系，格波分为光学波和声学波。
⑦若每个原胞有n个原子，对于给定的q，有3n个ω，称有3n支格波。其中有3支
声学波，3n-3支光学波。长声学波长描述了不同原胞之间的相对运动，长光学波描述原胞内原子之间的相对振动。
⑧格波的散关系在波矢空间具有倒格子的周期性和反演对称性：
晶体中任一原子的运动方程的一般解为3nN个不同频率的简谐波的线性叠加。因此晶格中原子体系的微振动相当于3nN个相互独立的简谐波的合成运动。
4.4 晶格振动的量子化、声子
分析力学证明：由N个原子构成的晶格，原子在格点附近的微振动，在简谐近似下，可以描述为由N个独立的以简正坐标描述其运动的谐振子所组成的体系。
下面以一维单原子链为例说明：
由一维单原子链的分析已知，波矢为q的格波引起的第n个原子的位移为：
三维晶格：N个原子微振动在量子力学中等效为3N个独立的以简正坐标描述的简谐振子
在量子力学中，频率为ω的简谐振子，它的能量是量子化的，只能是：
)
(
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