壹、摘要
本研究透过数学思考一书中的两个问题来探讨图形与数的关系，藉此也培养我们观察、归纳、推理及思考能力。在此次的研究中，我们有系统的证明出西洋棋盘共有204个正方形，而且也写出一般化式子。其次，我们也成功的算出一个八层三角形的等边三角形个数，并出n单位三角形中等边三角形个数的一般化式子。 贰、研究动机
在数学思考一书中第19页及第193页中，有下列两个问题：
双顶置凸轮轴棋盘中的正方形 |
在西洋棋盘中，共有204个正方形，你能证明吗？ |
|
算三角形 |
一个八层的三角形图形中有多少等边三角形呢？ |
|
还记得一年级下学期有一个单元是在探讨图形的规律性，那时我们觉得这个单元很有趣，需要观察与思考，所以当我们看到这两个问题时，马上激起我们研究的热情与兴趣。我们的思考，就是从这两个问题开始，因此我们做了以下的研究。
参、研究目的
一、探讨西洋棋盘共有204个正方形，并出一般化式子。
二、探讨一个八层三角形中有几个等边三角形，并出n单位三角形中等边三角形个数的一般化式子。
肆、研究过程及方法
一、探讨西洋棋盘共有204个正方形
(一)进入(Entry)
「西洋棋盘」？一开始我们还不知道题目所说的西洋棋盘是指什么，经过询问老师，才知道它是一个类似8×8的正方形，如图一所示。
图一
那么，题目里有什么意义呢？我们卡住了(stuck)，因为我们只看到棋盘上只有64个正方形，204个正方形哪里来的？AHA，我们想到了，大一点的正方形也可以，有了对「正方形」的诠释后，我们近一步做下面的研究。
(二)攻击(Attack)
我们试着数2×2的正方形，如图二
如图二
我们发现它们会彼此重迭(图二中黑的区域)，怎么办呢？如果毫无规则的数，肯定会眼花撩乱。我们必须有系统的去数它们，因此我们想到，先算第一列，看看有多少正方形会碰到棋盘顶端的那条线（我们称第一条线），如图三。
图三
我们数了7个，继续有系统的数，我们考虑有多少个2×新型玉米膨化机2正方形会碰到下一条线？还是七个。如图四
图四
依此类推，AHA，每一列都有7个，而且棋盘共有9条线，2×2的正方形不会接触到底下两条线，所以我们发现，2×2的正方形每一列有七个正方形，有七列，总共49个。现在，我们做了以下的表格。
表一
正方形大小 | 1×1 | 2×2 | 3×3 | 4×4 | 5×5 | 6×6 | 7×7 | 8×8 |
正方形数目 | 64 | 49 | | | | | | 1 |
| | | | | | | | |
做到这边，我们认为正方形个数似乎有规律，因为64＝8×8，49＝仪表车床加工7×7，因此我们猜测3×3的正方形个数会是36＝6×6。
(三)检查(Check)
数3×3的正方形个数，仿造前面数2×2正方形个数的算法，我们还是先计算有多少个正方形会碰到第一条线，我们数了射线灯6个，且有九条垂直线和第一条线相交，每个交点都可做出3×3的正方形，除了最右边的三个。如图五。
图五
所以有(9－3)个3×3的正方形会碰到第一条横线，有(9－3)条横线会被正方形的顶边碰到（棋盘共九条线，3×3正方形下面三条用不到）。所以3×3的正方形个数为36。同理，有(9
－m)个m×m正方形碰到第一条线，(9－m)条横线被正方形碰到，因此m×m大小的正方形有(9－m)×(9－m)个。这时我们可以大胆完成表一，得到表二的结果。
表二
正方形大小 | 1×1 | 2×2 | 3×3 | 4×4 | 5×5 | 6×6 | 7×7 | 8×8 |
正方形数目 | 64 | 49 | 36 | 25 | 16 | 9 | 4 | 1 |
| | | | | 活化钢 | | | |
现在将总数相加：
64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1＝204
我们有规律的算出来了。
(四)一般化
前面探讨的是8×8的正方形，若我们把棋盘一般化为n行n列，则m×m大小的正方形个数为(n＋防水栓1－m)×(n＋1－m)，即正方形的个数为
(1×1)＋(2×2)＋(3×3)＋………＋(n×n)
＝12＋22＋32＋………＋n2
＝
二、探讨一个八层三角形有几个等边三角形
(一)进入(Entry)
刚看到图形时，只见它是由许多小三角形组成，要算出有几个三角形应该很容易，只要将小三角形算出即可。但再仔细看题目，是问说有几个等边三角形？AHA，我们想到了，大一点的等边三角形也可以。而且经过观察，发现图中不仅有正立的三角形，也有倒立的三角形。有了对等边三角形的诠释后，使我们能继续往下研究。
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