如图，菱形ABCD中，AB＝9，∠ABC＝60°，点E在AB边上，且BE＝2AE，动点P在BC边上，连接PE，将线段PE绕点P顺时针旋转60°至线段PF，连接AF，则线段AF长的最小值为_____． 如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，AC，则四边形ABCD面积的最小值是 ． 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E永磁发电机是AD边的中点，点F是线段AB上任一点，连
接EF，以EF为直角边在AD下方作等腰直角△EFG，FG为斜边，连接DG，则△DEG周长最小值为 ．
在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝9．
（1）如图①，D、E是分别是AB、AC两边上中点，则 ．
问题探究
（2）若在AB上一点M使得AMAB，在AC上一点N使得CNAC，点D是直线MN上的一个动点，过A作AE⊥AD．使AD：AE＝1：3，求BE的最小值．
问题解决
（3）如图③，某地有一块足够大的空地，现想在这片空地上修建一个四边形广场ABCD，其中AB＝300m，BC：CD＝3：5，BC⊥CD，BC∥AD，且∠BAD＜90°．其中△ABC将划分为老年人休闲活动区，规划人员希望这片区域面积尽可能大，试求△ABC的最大面积．
问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝60°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，2，求的值；
拓展创新：如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝8，AC＝4，则AD的长为 ．
（1）观察猜想：平面内有三个点A，B，C连接AB，AC，BC．测得AB＝6，AC＝4，则BC的最大值是 ．
（2）探究证明：如图①，在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10，点D为△ABC内一点，∠BAD＝30°，AD＝6，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，求CF的长．
（3）拓展延伸：如图②，在公园内有一个等边三角形的支架△ABC，在顶点A处悬挂一个等边三角形的旋转座椅△AMN，旋转座椅△AMN绕顶点A旋转，连接CM，点D，E，F分别为CM，BC，MN的中点，已知支架△ABC边长10米，旋转座椅△AMN边长2米，若要在D，E，F三点处连接弹性灯光彩带，那么在旋转过程中，彩带的最大长度是多少？（支架，旋 转座椅厚度忽略不计）
如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，AB＝3，AD＝2，连接CE、BE，点F、G分别为DE、BE的中点，连接FG，在△ADE旋转的过程中，当D、E、C三点共线时，线段FG的长为 ．
在矩形 ABCD 中，点 E 是射线 BC 上一动点，连接 AE，过点 B 作 BF⊥AE 于点 G，交直线 CD 点 F。
（1）当矩形 ABCD 是正方形时，以点 F 为直角顶点在正方形 ABCD 的外部作等腰直角三角形 CFH，连接 EH；
①如图 1，若点 E 在线段 BC 上，则线段 中药抑菌AE 与 EH 之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
②如图 2，若点 E 在线段 BC 的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立， 请说明理由。
（2）如图 3，若点 E 在线段 BC 上，以 BE 和 BF 为邻边作平行四边形 热熔螺母BEHF，M 是 BH 的中点，连接GM， AB＝6，BC＝4，求 GM 的最小值。
已知，如图在△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝5，AC＝6，在△ABC内部有一点D，连接DA、DB、DC，则DA+DBDC的最小值是 ．
问题探究：
（1）如图1，已知等边△ABC，边长为4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，使得点C落在点D处，AB与AC重合，连接BD，则BD的长为 ．
（2）如图2，已知四边形ABCD，感温元件AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，CD，AD＝2，则以对角线BD为边长的等边三角形面积是多少？
（3）如图3，已知等边△ABC外存在一点M，AM，CM＝2，连接BM，是否存在以BM为边的等边三角形面积有最大值？若存在，求其面积最大值；若不存在，请说明理由．
问题发现：
（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝90°，对角线AC与BD交于点O，且O为AC的中点，∠ACB电子标签读写器＝30°，则点A到BD的距离为 ，点C到BD的距离为 ．
问题探究：
（2）如图②，四边形ABCD中，∠A+∠B＝90°，AD＝8，BC＝6，点E和F分别是边CD和AB的中点，求线段EF的长．
问题解决：
（3）农业科技干部小王在下乡扶贫工作中，准备帮乡亲们在一块四边形的试验田中修建一条灌溉渠道．如图③是小王记录在笔记本上的试验田缩略图，其中AB＝8cm，BCcm，CDcm，∠B＝∠C＝90°，点E和F分别是边BC与CD上的两个观测点，且CEcm，CF＝1cm．现要求在AB高苏宁边上选取一点M，从点M处修一条笔直的水渠MN（点N在四边形ABCD的另一条边上），使点E和F到MN的距离相等，并且MN平分四边形ABCD的面积．小王又考虑到为了节约成本，想同时让MN的长度尽可能小．请问小王能否到满足上述条件的点M？如果能，求出此时MN的长度；如果不能，请说明理由．
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