李威;刘宁;李宁;郑璐晗
【摘 要】The dynamic model of tooth meshing process for gear transmission system was proposed. The vibration differential equation by considering time-varying mesh stiffness, tooth face wear and errors was set up. The analysis method of dynamic load spectrum in gear transmission system was studied. The time domain, frequency domain and time-frequency domains of vibration characteristic were analyzed. These results were compared with numerical simulation and experimental results. It is shown that the proposed method consists with the numerical simulation and experimental method.%建立了齿轮系统轮齿啮合过程动力学分析模型,推导了综合考虑时变啮合刚度、齿面磨损、齿形误差和安装误差的齿轮动态微分方程,提出了齿轮传动系统动载荷谱的分析方法,研究了齿轮系统载荷谱的时域特性、频域特性和时频特性,并将数值仿真结果与实验结果进行比较,结果表明:该数值仿真模型和实验结果相吻合.
【期刊名称】《农业机械学报》
【年(卷),期】2012(043)008
【总页数】防护耳罩5页(P221-225)
【关键词】齿轮传动系统;动力学;啮合过程;载荷谱
【作 者】李威;刘宁;李宁;郑璐晗
【作者单位】北京科技大学机械工程学院,北京100083;北京科技大学机械工程学院,北京100083;北京科技大学机械工程学院,北京100083;北京科技大学机械工程学院,北京100083
【正文语种】中 文
【中图分类】TH132.413
引言
齿轮传动广泛应用于各种机械产品中［1］，其性能和质量直接影响到整机产品的技术经济指标［2～5］。齿轮的动载荷和固有频率直接影响到齿轮传动过程的动态性能，工作时为
防止系统共振的发生，应使齿轮工作频率远离固有频率［6～9］，因此，为了避免系统工作时发生共振和出现有害振型，需要对齿轮传动系统进行动载荷谱分析，出齿轮的薄弱环节。以往齿轮动力学模型研究中均忽略了齿轮表面客观存在的摩擦磨损，且齿轮制造及安装误差等内部激励对动特性的影响也缺乏研究［10～12］，使所求结果与实际情况有一定的偏差。本文推导齿轮系统轮齿啮合过程的动力学方程，研究齿轮传动系统动载荷谱分析方法，得到齿轮系统的时域分布、频域分布和时频分布，揭示齿轮系统的动态行为，为齿轮的结构设计和动态优化提供依据。
1 轮齿啮合过程的动力学分析模型
在啮合线上将一对直齿圆柱齿轮传动等效为质量-弹簧模型，如图1所示，图中r1、r2、m1、m2分别为主、从动轮的基圆半径和等效质量，cxi、cyi、kxi、kyi分别为轮齿的阻尼和刚度，Ji为转动惯量，i=1，2，i= 1为主动轮，i=2为从动轮。综合考虑了微量磨损后，齿轮传动系统的动力学模型为
式中 Fxi、Fyi——振动位移产生的惯性力
Wxi、Wyi——离心惯性力
F1——齿面载荷
Ff——齿面间的摩擦力
cm——齿轮副综合阻尼
km——齿轮副综合刚度
θ1、θ2——两齿轮的角位移
η=1为主动轮，η=－1为从动轮。
图1 齿轮传动系统动力学模型Fig.1 Dynamic model of gear transmission system
由于两个齿轮的齿面载荷即齿轮啮合力是一对作用在节点上的等值反向力，故只需求得主动轮的载荷谱即可。对方程进行整理，得出所有力、力矩参数，齿轮1的齿面载荷和两齿轮齿面间的摩擦力为
式中 ζ——齿轮摩擦方向系数，Ff沿x正方向取1，沿x负方向取－1
f——摩擦因数
轮齿间的弹性啮合力为
式中 e1、e2——两齿轮质量偏心量
λ——齿轮编号，λ=1为主动轮，λ=2为从动轮
Qi——接触线上的第i个点
eλ(Qi)——轮齿误差
dλ(Qi)——安装误差
(Qi)——N次循环后两齿轮齿面磨损量
两齿轮轮齿间的粘性啮合力为
齿轮在旋转过程中将产生离心力，主、从动齿轮在x、y方向上的离心惯性力分别为
现浇梁
振动位移产生的惯性力为
将式(2)～(6)代入式(1)后的振动微分方程为
2 齿轮啮合刚度
在齿轮副的连续运转过程中，随着单齿对啮合和双齿对啮合的交替进行，轮齿的啮合刚度会随时间周期性变化［13］。且在不同的啮合位置，每一对啮合轮齿的啮合刚度也不相同。一般时变啮合刚度由平均啮合刚度和变刚度两部分组成，即
其中
式中 ka——变刚度幅值
ωe——齿轮幅的啮合圆周频率
ni——齿轮转速 zi——齿轮齿数
φr——变刚度初相位，一般取φr=0
令k(t)为随时间变化的时变啮合刚度，即
其中
本文采用有限元法来计算齿轮轮齿的弹性变形。
3 齿轮啮入与啮出冲击的计算
即使一对理论上无误差的齿轮传动，也会产生啮入、啮出冲击，这是因为产生啮入、啮出冲击的原因主要是由于相啮合轮齿之间受载变形后，导致主、从动齿轮的节距不相等，从而引起线外啮合而产生的。因此，需要利用有限元法计算轮齿在进入啮合和退出啮合的瞬间轮齿的受载变形，并与理想啮合状态进行比较，求出其差值作为误差的输入，并将其考虑到动力学模型方程(3)中的eλ(Qi)误差项里。
4 动力学方程的数值解法
采用Gear方法求解动力学方程组，它是一个自适应变步长的数值求解方法，可以自动地选择步长和相应的变阶，从而达到优化欧拉方法的目的。它每前进一个步长求解隐式方程组所需要的计算工作量比较小，不仅可以求解一般的常微分方程初值问题，而且对刚性常微分方程的数值求解也有很好的效果，因而采用Gear方法求解复杂非线性振动微分方程组是
较有效的。设有二阶微分方程
作如下定义
式中 h——求解的迭代步长
则求其数值解的k步迭代格式一般表达形式为
其中
根据多元函数导数的定义得
式中 f'i1、f'i2——函数fi(u，v)的一阶偏导数则齿轮系统动力学方程组的数值解法可表示为220v稳压器
在齿轮动力学模型中分别为振动的位移、速度和加速度。
5 齿轮系统的载荷谱
以标准渐开线直齿圆柱齿轮为例，其参数为:模数m=5 mm，齿数z=30，压力角α=20°，齿宽b= 14 mm，传递的扭矩 T=1 350 N·m，角速度 ω= 31.4 rad/s，平均啮合刚度km=2.115
×1010N/m2，通过上述数值解法获得了齿轮传动系统轮齿啮合过程的载荷谱，并分析了其时域、频域和时频域响应。
倒挂器
工业氯化钙5.1 载荷谱的时域分析
齿轮系统载荷谱的时域分布如图2所示。从图中可以清楚地看到单齿啮合区与双齿啮合区，以及轮齿啮合过程中任意瞬时的动载荷变化情况。
图2 齿轮系统载荷谱的时域分布Fig.2 Time domain distribution of load spectrum of gear transmission system
5.2 载荷谱的频域分析
对齿轮系统载荷谱的时域分布进行快速傅里叶变换(FFT)可以得到两对啮合齿轮系统的载荷频谱，如图3所示。从图中可以看出，齿轮的频谱较为均匀，各频段区分明显，谱线表示的力为变载荷的幅值，载荷振幅最大的频率在0.4～1.41 kHz之间，齿轮传动系统的工作环境应避免此频段，防止系统工作时发生共振。
图3 齿轮系统载荷谱的频域分布Fig.3 Frequency domain distribution of load spectrum of gear transmission system
为了验证本文理论分析模型和数值仿真结果，在实验室进行了台架实验，由于齿轮运转过程中可以将整个运行速度区间分成亚临界区、共振区和超临界区，在亚临界区的1/2、1/3、1/4、1/5倍固有频率处可能会出现分频共振现象［4］，即位移、动载荷及噪声会随着转速(频率)的增加而增大，在分频共振处达到最大值，接着会随着速度的增加而减小，从图3中也可以看出，除了固有频率外，还有很多分频共振频率。因此，正是基于这一特点，由于实验台的速度所限，只测试获得了第一个1/5分频共振频率(即将实验台的转速由低到高逐渐增加，查看出现最大振动位移时刻的转速及相应的频率)，3次实验测试结果分别为156.2、154.8和157.9 Hz，数值仿真结果为159.6 Hz，由此可见，实验测试结果与数值仿真结果基本一致，验证了本文所建模型与理论计算的正确性。
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