永磁磁共振系统讲座
包尚联何
包尚联先生，教授、博士生导师，北京大学医学物理和工程
北京市重点实验室主任，北京大学肿瘤物理诊疗技术研究中
心主任；何先生，北京大学物理学院研究生。
一前言
本讲介绍的永磁MRI系统的磁体设计主要包括磁体的磁路设计和极面设计的理论和方法。为了说清楚这个问题，首先需要介绍永磁材料的有关知识。 二磁性材料能测量出质量的流量计是
永磁体及其性能非常依赖于用于产生磁场的永磁材料，其中包括铁磁材料和稀土永磁材料。磁性材料是在原子尺度范围内原子磁矩具有相同的取向的材料，原子核磁矩的取向是在冶炼过程中完成的，但是没有充磁之前这些材料并不表现为磁性，冶炼和充磁过程保证了这些材料的质量和性能指标。从永磁MRI系统来说，目前所用的大多数磁性材料都是钕铁 硼。
钕铁硼材料出现于1983年，是用粉末冶金技术制备的，
具有很高的磁能积。钕铁硼材料典型的组成成分为Fe 50%、
Nd 33%、B 1.2%，另有少量的Al、Nb、Ny和Co等元素。
此材料最为显著的缺点是温度系数大；一般应用在温度
可控的环境中，温度范围最大不能超过100~150℃，通过合
永磁材料在使用中必须考虑磁滞回线的问题，因为可以
通过磁滞回线导出它们的特性。而且因为有磁滞回线存在，
使用中需要考虑很多新的问题。磁滞回线是刻画磁感应强度
B和介质极化强度J同场强H关系的曲线，如图1所示。 其中描述J-H之间的关系曲线称为内禀磁滞回线，B-H之间
的关系曲线称主磁滞回线。回线内任意一个点对应一种材料状态，一般而言，在主磁滞回线上或者附
药片制作
近的点处磁性材料的利用率较高。
主磁滞回线和内禀磁滞回线之间不是相互独立的，两者之间满足以下关系：
μμμmH B J −= (1) 因此，这些磁滞回线可以刻画材料的性能，并根据
需要，选择合适的曲线进行设计。在使用中还要确定永
零时刻
磁材料退磁曲线和工作点。永磁材料在材料外部产生磁
场，同时在内部也产生磁场。一般来说，永磁体内部的
磁场和磁化强度和外部的磁场方向相反，即永磁体有退
磁趋势。如果没有其它磁源提供磁场，永磁体的工作点超高功率石墨电极
位于B-H 图的第二象限，此时H 为负值，B 为正值，这
里的磁滞回线称为退磁曲线，如图2所示。
有些永磁产品的退磁曲线下端会超出H 轴并弯曲，
曲线的拐点称为膝点。一般而言，永磁体的工作点不能
位于膝点以下。室温条件下，高矫顽力的永磁材料膝点
位于第三象限，退磁曲线基本上为直线。高磁能积但矫
顽力不高的钕铁硼会出现膝点，常温下具有笔直退磁特
性的钕铁硼，温度升高后会出现膝点，使用时需要注意。
描述永磁材料的另外一个重要参数就是磁能积。退磁曲线上一个很重要的点是磁感应强度B 和磁
场强度H 乘积最大的点，这个最大值称为最大磁能积(BH)max 。这是刻画永磁材料性能最重要的参数，
磁能积越大，永磁材料的性能越好。磁能积是描述材料在其外部能够产生能量的能力。一般来讲，产
生一个给定的磁场所需永磁材料的重量取决于材料的磁能积。
假定材料的体积为Vm ，此时材料的最大磁能为：
W max =1/2V m (BH)max (2) 假定退磁曲线为直线，斜率为mr ，最大磁能积表示为：
(BH)max =0
r 2
r m 4m B (3) 一般来讲，对于钕铁硼m r 为1.02~ 1.05。
磁性材料的工作点和负载线是磁体设计中一定要知道的参数。磁性材料本身在其内部产生的退磁
场正比与材料的磁极化矢量和剩余磁通密度，比例常数取决于磁体的形状和磁路结构。整个的磁路工
作状态可以由通过原点的直线表示，称之为负载线。负载线和退磁曲线的交点称为永磁材料工作点(H m ，
B m )。H m 为负值，B m 为正值，在工程设计中常常忽略符号的正负。
对于一个静态系统，永磁材料的工作点不变。设计中应该将材料的工作点在最大磁能积附近。但
实际上对于实际磁体而言，内部各部分材料的工作点一般并不相同，为了充分利用材料，一般设计的
准则是实现永磁材料利用系数M 最大化，M 的定义为： M=∫∫20V 2V J dV/B t t
(4)
这里V1是磁场工作区，B是其中的磁感应强度。永
磁材料利用系数M表征永磁材料贡献的能量占其自身
所储存能量的比例。
利用上述参数就可以计算磁性材料的动态工作点。
和上述静态情况不同，实际应用中由于磁路中存在可以
移动的部件，以及由电流产生的变化磁场，将会导致负
载线随时间发生变化。这是磁性材料具有动态工作点的
原因。由于磁滞效应的存在，工作点不可能只在退磁曲
线上移动。如图3所示，工作点A是通过将场强H提高
使材料饱和，然后缓慢将场强H逐渐降低到工作点H m。
如果再将场强提高，工作点将偏离退磁曲线，沿另外一
条曲线移动，该曲线称为再绕线(途中曲线C)。如果场
强再次降低，工作点将沿曲线D返回到工作点A。很窄
的回绕线形成了。如果负载线在OA和OB之间移动，
那么工作点就落在回绕环中。
钕铁硼的回绕线的斜率为 1.05。但工作点在膝点以下移动，回绕线的斜率和退磁曲线的斜率相差很大。因为有动态特性的存在，那么对永磁材料在工作时的工作点稳定和校正就非常重要。既然在回绕线上的工作点的运动是可逆的，而退磁曲线上的工作点只能是单向运动。可以将永磁材料放在外加电磁场中将材料的工作点移到退磁曲线下方。通过这种处理方法将磁路稳定化，从而避免外界杂散磁场、温度漂移、机械震动等对磁路的影响，避免发生工作点不可逆性漂移。另外，还要保证磁路在正常工作条件下，工作点不会达到回绕线的起点。磁性材料工作点的校正还要保证工作点在合适的回绕线上。在某些应用中，要求磁场的数值具有很高可重复性，在一般情况下很难达到。因此，磁性材料的工作点一般选择在所有磁性材料退磁曲线的下方。商业设备一般已经自动实现校正。一般来讲校正程序在磁体最终组装以后进行，因此尺寸的公差、磁极材料的偏差也会因此得到补偿。
三永磁场的计算
1. 磁路设计
永磁体的设计和计算是非常复杂的。在实际的设计过程中，很难用解析方法求解，但磁路设计可以给出静磁场计算的一些定性分析结果。磁路设计的基本思想如下：首先将磁路分割成几部分，例如气隙、磁轭、极靴、永磁磁极等，引入磁阻和磁势概念，类似于非线性电路分析方式对磁路进行分析，以获得气隙磁场和其它部分的平均磁通密度。以上方法的实施需要以下两个条件：第一，对于待设计磁体的磁通走向非常清楚，而且能够掌握物理过程的主要和次要因素，可以做出准确的简化；第二，通过必要的简化分析，特别是根据实际的工作经验，计算各部分的磁阻，以及相关的漏磁系数。
下面以一个例子来说明磁路设计的整个过程：
如图4所示，沿磁化方向磁性材料的长度为I m，和该方向垂直的截面面积为A m。气隙的面积为A g，
长度为I g。整个磁路的磁阻由几部分组成，气隙的磁阻R g以及和气隙漏磁对应的磁阻R l，磁轭磁阻R P。废渣4
整个磁路的磁阻R表示如下：
R=2R P+1/(1/R g+1/R l)=dR g/s (5)
式(5)中的和表示由于铁轭和漏磁造成的影响。最基本的气隙磁阻表示如下：
R g=I g/m0A g (6)
此公式计算结果在气隙长度远小于其横向尺寸时非常准确，当两者在同一个量级上时，气隙内场
非常不均匀。由以上磁阻的计算公式可以分析外部磁路中磁势和磁通之间的关系：
H m I m=dH g I g (7)
B m A m=sB g A g=sm0H g A g (8)
由以上两式可以求得所需磁性材料的体积：
V m=A m I m=dsm0A g I g H g2/(B m H m) (9)
由式(9)可知当磁性材料工作在最大磁能积时，所需磁性材料最少。
2. 静磁场的数值计算
实际上磁路设计的方法是针对电机设计发展起来的。电机设计中气隙非常窄，其间的磁场基本上
均匀分布，它的永磁材料的工作点基本一致，因此可以用集总参数的方法对整个磁路进行描述和分析。
严格来讲对电机以外的磁体设计，磁路设计所给出的解并不理想。实际磁体设计的过程中，往往在磁
路设计的基础上用数值算法求得更精确的数值解。最典型一种解法称为有限元法(FEM)。该方法将所计
算的空间分成很多网格，其中的矢势或者标势为一常数
或者为一简单的n 阶多项式。最后计算每一个网格内的
势函数，给出静磁场的其它参数。
由于有限元法在很多书籍中都有详细介绍，本文就
不再赘述。不过这里要对永磁场计算中最关键的边界问
题予以介绍。如图5所示，永磁磁体的二维结构图中存
在对称关系，这种关系可以在计算时把模型简化。用符
号的方法说明有关边界的条件：
Ω—整个求解区域，有几条边界组成，例如Γ1、Γ2、
L 、L ’，并且Ω= Ω’Y Γ1Y Γ2LYL ’。其中Γ1—与某一条
磁力线相重合的边界；Γ2—对称的边界，所有的磁力线
垂直通过该边界；L —有永磁束缚电流存在的界限；L ’
—不同介质的交界线；据此，可以把边界条件写成数学表达式：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂−∂∂=∂∂−∂∂=∂∂Γ=Γ=∂∂∂∂+∂∂∂∂−Γ−Γ−ΩL L'L L'21
温度远程监控'21)n A v ()n A (v :'L j )n A v ()n A (v :L 0n A :0A :0y A v (y A )x A v (x :L -L (10) 上面的边界条件，可以根据磁体设计中具体产品的实际情况确定。
四 极面的设计和匀场算法
由于目前最常用的永磁体是C 型磁体，而对C 型磁体来说，极面设计又是最重要的。因此，这里主要介绍一下C 型磁体极面设计的方法。一般而言，现代磁体系统的设计并非是只靠解析方法计算就能完成的，它还需要依靠设计者的经验和计算机模拟仿真，尤其是静磁场的数值模拟和仿真技术。所以下面在介绍了C 型磁体计算时采用的简化模型后，介绍两种基于数值算法的优化算法和一种较为优秀的解析方法。
对于C 型磁体而言，为了计算的方便，我们会对问题做一些简化。首先我们假设C 型磁体是轴对称的，也就是说其磁轭形成一个轴对称的封闭圆桶(图6)。再根据对称性，我们可以把问题简化成一个求解四分之一区域的二维拉普拉斯方程的问题。对于磁轭和极面的材料，一般在设计时都认为磁导率m 为无穷大。
两极面之间因为截断而引起场的歧变，所以必需对磁极的形状作适当改进。通常对设计来说，极面形状的精度必需达到10μm 量级，中心ROI(感兴趣野)区域内的磁场均匀度必需达到100ppm 以下。人们使用各种各样的方法来解决这个逆问题。
为此，我们研究和发展了各种优化极面设计的方法。人们通过经验发现凹凸不平的极面能产生较好的
均匀场，因此人们通常会设置极面上几个点的坐标为自变量，然后用有限元方法计算ROI区域内的主磁场，以其均匀度作为优化的目标函数。在这个问题的优化中，极面上设置的点越多，问题就会越复杂，对于爬山法等局部最优算法很容易陷入局部最优解，因此必需使用一些大规模的搜索算法来对此问题优化。
1. 遗传算法在极面设计中的应用
遗传算法(Genetic Algorithms)是John Holland 发明的，后来他和他的学生及同事又不断发展了它，目标是求问题的最优解或满意解。
标准的遗传算法的主要步骤如下：
(1)随机产生初始种，并计算各个体的适配值。
(2)判断算法收敛准则是否满足。若满足则输出搜索结果；否则执行以下步骤。
(3)根据适配值大小以一定方式执行复制操作。
(4)按交叉概率p c执行交叉操作。
(5)按变异概率p m执行变异操作。
(6)返回步骤(2)。
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