考点 | 学习目标 | 核心素养 |
向量的概念 | | 数学抽象 |
| 理解共线向量、相等向量的概念 | 数学抽象 |
向量与几何的关系 | | 直观想象 |
| | |
问题导学
预习教材P133－P136的内容，思考以下问题：
1．向量是如何定义的？怎样表示向量？
2．向量的相关概念有哪些？
3．两个向量能比较大小吗？
1．位移与向量
(1)向量的概念
一般地，像位移这样既有大小又有 方向的量称为向量(也称为矢量)． 向量的大小也称为向量的模(或长度)；只有大小的量称为标量，长度、面积等都是标量．
(2)向量的表示方法
①始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为，此时向量的模用||表示．除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外，还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如，，等来表示向量．
②始点和终点相同的向量称为零向量．零向量的模为0．零向量的方向是不确定．模不为0的向量通常称为非零向量．模等于1的向量称为单位向量．e是单位向量的充要条件是|e|＝1．
■名师点拨
向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．
2．向量的相等与平行
一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量．
如果两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行．因为零向量的方向不确定，因此通常规定零向量与任意向量平行．两个向量a和b平行，记作 a∥b．两个向量平行也称为两个向量共线．
■名师点拨
共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)零向量没有方向．( )
(2)向量的长度和向量的模相等．( )
(3)单位向量都平行．( )
(4)零向量与任意向量都平行．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
在下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.①②③不可以看成向量，④⑤可以看成向量．
关于零向量，下列说法中错误的是( )
A．零向量是没有方向的
B．零向量的长度为0
C．零向量只与零向量相等
D．零向量的方向是任意的
答案：A
如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________(填序号)．
①与；②与；
③与；④与.
答案：①④
向量的有关概念
判断下列命题是否正确，请说明理由：
(1)若向量a与b同向继电器延时电路，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
【解】 (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量的长度相等，不能确定它们的方向关系．
(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.
(4)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．
(1)理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
(2)共线向量与平行向量
①平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
②共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
③平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
给出下列命题：
①若a∥b，b∥门槛记c，则a∥c；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量与是共线向量，则A，B，C，D电线固定座四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是________．
解析：①错误．若b＝0，则①不成立．
②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同．
③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．
④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可．并不要求两个向量，必须在同一直线上．
答案：③
向量的表示及应用
(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．
(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
①，使||＝4，点A在点O北偏东45°处；
②，使||＝4，点B在点A正东处；
石墨钢
③，使||＝6，点C在点B北偏东30°处．
【解】 (1)可以写出12个向量，分别是：，，，，，，，，，，，，故填12.
(2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
②由于点B在点A正东处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
③由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
(1)向量的两种表示方法
①几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．
②字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等．
(2)两种向量表示方法的作用
①用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．
②用字母表示法表示向量，便于向量的运算． 钢丝螺套标注
某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求的模．
解：(1)作出向量，，，如图所示：
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以||＝5米．
相等向量和共线向量
如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．
【解】 (1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，.
(2)与a共线的向量有，，，，，，吸音墙，，.
(3)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议