第28卷 第3期 应 用 力 学 学 报 V ol.28 No.3 2011年6月 CHINESE JOURNAL OF APPLIED MECHANICS Jun. 2011
基金项目：福州大学科研启动基金（826230）；福州大学科技发展基金（826807） 来稿日期: 2010-11-26 修回日期: 2011-03-03 第一作者简介：余小刚，男，1985年生，福州大学机械工程及自动化学院，研究生；研究方向——非线性振动与振动控制。 E-mail: wzhangfz@163 文章编号：1000-4939(2011) 03-0270-05
轮带系统横向振动的行波消去法
余小刚 张 伟
（福州大学 350002 福州）
摘要：考虑作动器中张紧轮质量的影响，研究轴向运动弦线和作动器所组成的耦合系统的横向振动控制。此系统被作动器分成受控和未控两部分，在频域内利用Green 函数法求解出系统的响应，采用行波消去法设计出控制律。在初始条件和激励作用下，利用Durbin 拉氏变换数值反演法将受控系统的振动响应转化到时域内，并利用Matlab 进行数值仿真。算例结果表明：在脉冲激励和正弦激励作用下，系统振动在3秒内分别减小到0和未受控制时的1/5，验证了控制律的有效性。 关键词：轴向运动弦线；横向振动；行波消去法；作动器；Green 函数法 中图分类号：O321 文献标识码：A 1 引 言
轴向运动弦线是工程应用中非常普遍的承受
轴向拉力的结构构件，广泛应用于军事、航空航天、
土木、机械等领域，但在许多高速运转的机械装置中，振动却限制了它的有效应用。因此，引进控制
手段抑制轴向运动弦线的振动是非常必要的[1]。
文献[2]在轴向运动弦线的右边界处利用行波消去法设计出了控制律以抑制弦线的横向振动；文献[3]设计出了一个用于控制弦线纵向振动的鲁棒自适应控制器，该控制器加载在轴向运动弦线的右边界，且与弦线的振动相耦合；文献[4]在考虑了作动器与弦线振动相耦合的情况下利用行波消去法对轴向运动
弦线的横向振动进行了抑制；文献[5]利用Lagrangian 应力二阶元件讨论了轴向运动弦线的大幅度横向振动问题，提出了一种基于速度负反馈的线性边界控制器，并利用Lyapunov 直接法证明了该控制器能够使轴向运动弦线达到指数稳定；文献[6]通过在轴向运动弦线非线性模型的自由末端加载一速度负反馈控制器来使弦线的振动达到指数稳定，并利用Lyapunov 直接法对其进行了证明。
本文在利用行波消去法设计控制律以抑制轴向运动弦线的横向振动时，考虑了与轴向运动弦线相耦合的作动器中张紧轮的质量的影响。在数值仿真中，采用了Durbin 拉氏变换数值逆变换公式进行数值仿计算，并用Matlab 进行了数值模拟，证明此控制律的有效性。 2 动力学基本方程
轴向运动弦线的横向振动系统模型如图1所示[7]。
图1 平带驱动系统模型
第3期 余小刚，等：轮带系统横向振动的行波消去法 271
基本假设：① 系统各元件之间无阻尼；② 平带的抗弯刚度不计；③ 平带的轴向运动速度为常数V ；④ 在运动过程中平带不打滑。
在上述假设下，利用Hamilton 原理可推导出平带1、2的动力学方程为[7]
21
1
1
01
沥青透水混凝土
1
1
122220222
(2),(0,0),(2),W
VW V W P W F X L T W VW V W P W F ρρ′′′′′++−=≤≤≥′′′′′++−=
2(0,0)X L T ≤≤≥ （1）
其中：W 表示W T
∂∂；′W 表示∂∂W X ；(,)i
W X T (1,2)i =其中是平带i 的相对于平衡位置的横向
振动位移；ρ 为平带单位长度的质量；P 0i 为是平带i 在平衡位置的初始张力；L i 是平带i 的长度；F i (X ,T )为平带i 上的外激励力。
引入量纲为一的变量：/x X L =；/w W L =
；t =
c =0/f FL P =；则式(1)可化为
11211)1(2f w c w c w
=′′−−′+ ，)0,10(≥≤≤t x , 22222)1(2f w c w c w =′′−−′+ ，)0,10(≥≤≤t x
(2)
边界条件为
13112232
(0,)()sin ,(1,)0,(0,)0,(1,)()sin w t t w t w t w t t χψχψ= == =
(3)
其中：3()t χ为张紧臂的线位移；1ψ、2ψ为张紧臂在平衡位置时与其相邻带之间的夹角。
张紧轮运动方程为
2221χ
m P P d d =−， )cos (121311χχψχ−+=k P d ，
)cos (242322χχψχ−+=k P d (4)
张紧臂运动方程为
11,1,122,[(0,)(0,)]sin [(1,)t x t t x P w t cw t P w t ρψ−++−
2,211(1,)]sin cos t d cw t P ρψψ−−
33322)(cos χ
χψ m t f k P N d =+− (5) 其中：i i i r χθ= (1,2,3,4)i =其中, i θ分别为主动轮、张紧轮、张紧臂、从动轮的角位移；i r 分别为
主动轮、张紧轮的半径、张紧臂的长度和从动轮的半径；2222m I r =(其中2I 为张紧轮关于质心的转动惯量)；(1,2)i i k EA L i ==其中，
EA 为皮带的抗拉刚度；2333
m I r =(其中2
323arm I I m r =+、arm I 是张
紧臂关于固定轴的转动惯量)；2
0,(1
,2)ti i P P c i ρ=−=；gr s N k k k +=(其中2
3s r k k r =/，这里k r 是连接张紧臂的扭
转弹簧的刚度系数，gr k 是由张紧臂的几何位移的变化所导出的等效刚度，即11(sin gr t k P ψ=−223sin )/t P r ψ)；
)(t f 为加载在张紧臂上的控制力。
3 控制律设计
本文在设计控制律时，采用行波消去法对轮带系
统的横向振动控制进行研究。令)1(12c −=γ，则方程式(1)~式(4)的拉氏变换为
11211
2e f w s w cs w γγγ−=−′−′′， 22222
2e f w s w cs w γγγ−=−′−′′ (6) 0),0(,sin )(),0(1131==s w s s w ψχ，
2322sin )(),1(,0),0(ψχs s w s w == (7) 其中
+++=)0,()0,(),(),(1111x w x sw s x f s x f e
)0,(21
x w c ′, +++=)0,()0,(),(),(2222x w x sw s x f s x f e
)0,(22
x w c ′ (8) 令控制力3()()()f t R t t χ=，并假设张紧轮和张紧臂的初始条件为零，即
0)0()0()0()0(3322====χχχ
χ 则将方程(4)和(5)进行拉氏变换后代入方程(7) 可得
作动器的运动方程为
−
′=22231sin ),1([)(ψχs w P s R t )(]sin ),0(11
1s Q s w P t +′ψ (9) 其中
−+++=N k k k s m s R 222121231cos cos )(ψψ
−
−)sin (sin 22
12ψψρc s
2
22112
221(cos cos )(),k k R s m s k k ψψ−−++ −++++=2
12
21
1212122)]cos (cos cos [)(k k s m k k s m s Q χψψψ 2
12
24
2211222)]cos (cos cos [k k s m k k s m ++++χψψψ (10) 本文主要控制的是平带1和2的横向振动，取：P P P t t ==21、041==χχ。则有0)(=s Q ，由此作动器运动方程(9)可简化为
]sin ),0(sin ),1([)(1,12,231ψψχs w s w P s R x x −= (11) 轴向运动弦线方程(6)与作动器运动方程(11)通过边界条件式(7)相耦合，形成一个耦合系统。
由Green 函数性质及微分方程边值问题的解法
272 应 用 力 学 学 报 第28卷
可解得运动弦线1和2的横向位移为[8-9]
1
11110(,)(,,)(,)d (,)(0,)
e w x s G x s
f s h x s w s ζζζ=+∫
1
11110(,)(,,)(,)d (,)(0,)f e f w x s G x s f s h x s w s ζζζ′=+∫1
22220(,)(,,)(,)d (,)(1,)
e w x s G x s
f s h x s w s ζζζ=+∫1
2
2220(,)(,,)(,)d (,)(1,)f e f w x s G x s f s h x s w s ζζζ′=+∫ (12)
其中
11
22
1212
1212
21121(e e )(e e )
,2e e (0)(,,)1(e e )(e e ),
2e e (1)x x
x x s x G x s s x λζλλζλλλλλλζλζλλλλλλζξζ−+−+−−++⎧−−⎪−⎪
≤≤⎪
=⎨−−⎪⎪−⎪
≤≤⎩
(13) 2112
12
1e e (,),e e
x x h x s λλλλλλ++−=− 2112
12
211e e (,),e e x x f h x s λλλλλλλλ++−=
−
1212
2e e (,),e e
x x
h x s λλλλ−=− 2
121
e e e e ),(212λλλ
λλλ−−=
x
x f s x h (14)
这里
12;cs s cs s λγγλγγ=+=− (15)
联立边界条件式(7)、式(11)、式(12))可得
1
212220()(1,)[sin (1,,)(,)d f e R s w s P G s f s ψζζζ=+∫
−2222sin ),1(),1(ψs w s h f
1
1210sin sin (0,,)(,)d f e G s f s ψψζζζ−∫)],1(sin ),0(2121s w s h f ψ (16)
在设计控制律时，本文只考虑了受控部分受
到外激励的情况而假设未控部分不受外激励，即 0),(1=s x f e ，式(15)可化为
)
()
(),1(2s D s C s w =
(17) 其中
1
2220()sin (1,,)(,),
f e C s P G s f s d ψζζζ=∫
−−=2221sin ),1([)()(ψs h P s R s D f ]sin ),0(121ψs h f
(18)
假设轴向运动弦线的初始条件为零，即
0)0,()0,()0,(222=′==x w x w x w 可知加载在k x x =处的外激励为
2(,)()(),(01)e k k f x s x x f s x δ=−≤≤ (19) 将式(17)~式(19)代回式(12)，并由狄拉克函数的
性质可以得到 122(,)[()e ()e ]()L R k w x s C s C s f s λλ=+ (20)
式（20）在[0]k x 上有
)(e e e e 21)(12
12
211s q s s C k k x x L −−−⋅=+−+−λλλλλλ， )(e
e e e 21)(1211
122s q s s C k k x x R +−−⋅=+−+−λλλλλλ， 22111212221122
sin (e e )
()(e e )()2(e e )k k x x P q s D s s λλλλλλλλψλλ−+−+−=−−
(21)
在[1]k x 上有
)
(e
e e )e e (21)(22
1221s q s s C k k x x L −−−=−−λλλ， )(e e e )e e (21)(22
11
12s q s s C k k
x x R +−−⋅=−−λλλλλ，
121212
1222221
2
sin (e e )()(e e )()2(e e )k k x x P q s D s s λλλλλλλλψλλ−−++−=−− (22)
由行波消去法的理论可知，消除反射波的影响可以有效地抑制振动。因此，本文将通过设计张紧臂上的控制力f (t )来使得[1]k x 上反射波的系数
()L C s 为零，即()0L C s =。联立式(22)和()0L C s =可得
2
111e e )e e (sin )(1222λλλλλλψ−−=
P s D (23) 联立方程(10)和式 (14)、式(15)、式(18)、式(23)可解得轴向运动弦线横向振动的控制律)(s R 为
+++=22212123cos cos )(ψψk k s m s R
−−−)sin (sin 2212ψψρc s k N
+++−2
1222
y型钢
1122)cos cos (k k s m k k ψψ
−−−2
121e e )
e e (sin 1212λλλλλλψP 2
121e
e )
e e (sin 2222
λλλλλλψ−−P (24) 由式(15)和式(24)可知，本节所提出的控制律()R s 中所包含的未知数只有一个速度c ，可以通过速度传感器测量得到，结合比例增益器和时滞器便可实现该控制规律。
由式(22)、0)(=s C L 可得
s
s C k
k x x R 2e e )(12λλ−−−=
(25) 将0)(=s C L 和式(25)代入式(20)中可得，在[1]k x 上有
2122(e e )e (,)()2k k x x x
k w x s f s s
λλλ−−−⋅= (26)
第3期 余小刚，等：轮带系统横向振动的行波消去法 273
将式(23)代入式(21)中可得 221112
1211
12121e e 1e e ()2e e e e
k k x x q s s λλλλλλλλλλλλλλ−+−+−−=−− (27) 将式(27)代入式(21)可得
)
e e (2)
e e
()(112
211122λλλλλλλλλ−−=
+−+−s s C k k x x L ，
)
e e (2)
e e
()(1
11
缘114
12
2122λλλλλλλλλ−−=
+−+−s s C k k x x R (28) 将式(28)代入式(20)中可得，在[0]k x 上有 1122
112221(e
e )
(,)2(e e )
k k x x w x s s λλλλλλλλλ−+−+−=
−i
12(e e )()x x k f s λλ− (29)
由式(26)、式(29)可知，在控制律式(24)下轴向运动弦线2的横向振动位移为
1122
ingan11122122212(e e )
2(e e )(e e )(),(,)(0)(e e )e (),
2(1)k k k k x x x x
k k x x x k k s f s w x s x x f s s x x λλλλλλλλλλλλλλ−+−+−−⎧−⎪−⎪
⎪−⎪
=≤≤⎨⎪−⋅⎪⎪
⎪≤≤⎪⎩
i
(30)
4 数值仿真
采用Durbin 拉氏变换数值逆反演公式[10]将
轴向运动弦线2的横向振动位移式(29)转化到时域内，得
+−=)},(Re{21
[e 2),(a x w T t x w j at
j
π
2sin i π2(cos ),(Re{0
N kj N kj s x w SUM
N k k +∑= (31)
其中
2π012,)k SUM k
s a i
k N T =+= ，(，，，， ,(12,,1)j T
t j j N N
==− ，
T 为最大时间；N 为时间离散点，本文选择N =100。10~5=aT ；N SUM 为50~2000范围内时，所得结果最好。本文选择a =0.0625，T =80，N SUM =2000。其它参数选择为[7]：EA =170000 N ；P 0=60N ；V =0.2 m/s ；L 1=L 2=1 m ；I 2=0.00293 kg·m 2；I 3=0.001165 kg·m 2；r 2=0.0452m ；r 3=0.097m ；ρ=0.1029kg/m ；Ψ1=60°；Ψ2=210°；k r =54.37 Nm/rad 。
设有一脉冲激励
2(,)(0.5)δ()f x t x t δ=−
加载在x k =0.5的位置（图1C 点），系统在x=0.3
(图1A 点)和x=0.7(图1B 点)的响应如图2所示，其中：虚线表示未控图像；实线表示受控图像。由图可知：未控时，系统的振动位移为0.5，而在本文所设计的控制律的控制下，系统的振动位移在3秒内就减小到了0。由此可知轴向运动弦线的横向振动得到了很好的控制。
计算轴向运动弦线在零初始扰动条件下受到正弦外激励时的响应，设有一正弦外激励
2(,)δ(0.5)sin f x t x t ω=−
加载在x k =0.5的位置。正弦激励频率1.100=ω。图3分别给出了系统在x =0.3和x =0.7处的响应，其中：虚线表示未控图像；实线表示是受控图像。由图可知：未控时，系统的振动位移为0.01，而在本文所设计的控制律的控制下，系统的振动位移在3秒内就减小到了0.002，受控时的振动位移只有未控时的1/5，由此可知轴向运动弦线的横向振动位移得到了很好的控制。
图2 脉冲激励下系统的响应
图3 正弦激励下系统的响应
274应用力学学报第28卷
5 结论
本文考虑了作动器中张紧轮质量的影响，通过行波消去法，对轴向运动弦线耦合系统的横向振动进行了主动控制。在Laplace变换域内推导出系统在受控和未控时响应的传递函数，并通过行波消去法消去受控弦线在约束点处的左行波并依此得到相应的控制规律。所得到的反馈控制器由速度传感器、比例增益器和时滞器构成，与外部激励力的位置和类型无关，因此具有通用性。在数值计算时，因系统响应的数学表达式比较复杂，难以直接利用Laplace逆变换，因此本文采用Durbin拉氏变换数值逆反演公式离散相应的数学表达式，在保证了数值解准确性的同时简化了计算。本文在进行数值仿真验证控制律的有效性时，分别计算了系统在脉冲激励和正弦激励作用下弦线受控和未控时的横向振动位移并进行了对比。两种条件下的仿真结果表明，在考虑张紧轮质量的影响下，通过行波消去法得到的反馈控制规律有效的控制了弦线的横向。
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No.3 CHINESE JOURNAL OF APPLIED MECHANICS v equati
ons in horizontal wells, by the solution of fundamental mathematical models of gas-solid two phases flow, the erosion energy in gas-solid mixture is numerically illustrated under different conditions and corresponding erosion energy variation patterns are revealed.
Keywords: gas drilling horizontal well, erosion energy, gas-solid two phases flow.
u魅
Transverse vibration control of belt drive systems by wave
cancellation method
Yu Xiaogang Zhang Wei
(Fuzhou University, 350002, Fuzhou, China)
Abstract：Vibration control of an axially moving string system consisting of a controlled span coupled to a tensioner is investigated by considering the influence of mass of the tension pulley. Transverse response of both the controlled and uncontrolled system is derived in the frequency domain by Green function method and the wave cancellation method is then employed to design the control law for ensuring the vibration reduction. The Durbin's numerical inversion of Laplace is employed to transform the vibration response of the controlled span into time domain under initial dis
turbance and excitations, and then the effectiveness of the control law is demonstrated by Matlab simulation.
Keywords：axially moving string, transverse vibration, wave cancellation method, tensioner, Green function method.
Comparative analysis of equivalent models for honeycomb
sandwich plates
Zhang Tieliang Ding Yunliang Jin Haibo
（Key Laboratory of Fundamental Science for National Defense-Advanced Design Technology of Flight Vehicle,
Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, 210016, Nanjing, China）
Abstract：For the finite element analysis (FEA) of honeycomb sandwich plates, the equivalent elastic constants directly influence the accuracy of results. In present research, three equivalent methods, including Reissner theory, Hoff theory and sandwich theory are used separately to perform
the static and mode analysis for honeycomb sandwich plates. The calculation results obtained by each equivalent theory are compared with the results of 3-D solid element model. Results reveal that using the sandwich theory, compared with Reissner theory and Hoff theory, the displacement precision, the stress precision and the frequency precision increase about 0.195%～0.776%, 2.066%～6.788% and 0.194%～5.878%, respectively. In general, the sandwich theory is better than the other two equivalent theories.
Keywords：honeycomb sandwich panels, equivalent method, FEA, static analysis, mode analysis.
Solving torsion problems of axisymmetric elastic body by meshless
local Petrov-Galerkin (MLPG) method
Zheng Jianlong Yang Jianjun
(Key Laboratory of Road Structure and Material of Ministry of Transport, Changsha University of Science and Technology, 410076, Changsha, China)
Abstract: T he meshless local Petrov-Galerkin (MLPG) method is applied to overcome the practical challenge of solving torsion problems of axisymmetric elastic body. The governing equations in matri
x form are given, and the
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