撰稿:吴婷婷 责编:常春芳
【学习目标】
1.掌握勾股定理的内容,了解勾股定理的多种证明方法,体验数形结合的思想;
2.能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长(只限于常用的数); 3.通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题,进一步运用方程思想解决问题. 【要点梳理】
芯撑【高清课堂 勾股定理 知识要点】
要点一、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为,斜边长为,那么. 要点诠释:(1)勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
(2)利用勾股定理,当设定一条直角边长为未知数后,根据题目已知的线段长可以建立方程求解,这样就将数与形有机地结合起来,达到了解决问题的目的.
(3)理解勾股定理的一些变式:
,, .
要点二、勾股定理的证明
方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形.
图(1)中,所以.
方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形.
图(2)中,所以.
方法三:如图(3)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形.
,所以.
要点三、勾股定理的作用
1.已知直角三角形的任意两条边长,求第三边;
2.用于解决带有平方关系的证明问题;
3. 与勾股定理有关的面积计算;
4.勾股定理在实际生活中的应用.
【典型例题】
类型一、勾股定理的直接应用
1、在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为、、.
(1)若=5,=12,求;
(2)若=26,=24,求.
【思路点拨】利用勾股定理来求未知边长.
【答案与解析】
解:(1)因为△ABC中,∠C=90°,,=5,=12,
所以.所以=13.
(2)因为△ABC中,∠C=90°,,=26,=24,
所以.所以=10.
【总结升华无焰泄放装置】已知直角三角形的两边长,求第三边长,关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边,再决定用勾股原式还是变式.
举一反三:
【变式】在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为、木质骨灰盒、.
(1)已知=6,=10,求;
(2)已知,=32,求、.
【答案】
解:(1)∵ ∠C=90°,=6,=10,
∴ ,
∴ =8.
(2)设气门摇臂,,
∵ ∠C=90°,=32,
∴ .
即.
解得=8.
∴ ,.
类型二、与勾股定理有关的证明
2、如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是中线,MN⊥AB,垂足为N,
试说明.
【答案与解析】
解:因为MN⊥AB,所以,,
所以.
因为AM是中线,所以MC=MB.
又因为∠C=90°,所以在Rt△AMC中,,
所以.
【总结升华】证明带有平方的问题,主要思想是到直角三角形,利用勾股定理进行转化.若没有直角三角形,常常通过作垂线构造直角三角形,再用勾股定理证明.
举一反三:
【变式】如图,在△ABC中,∠C=90°,D为BC边的中点,DE⊥AB于E,则AE2-BE2等于( )
A.AC2 B.BD2 C.BC2 D.DE2
【答案】连接AD构造直角三角形,得
,选A.
类型三、与勾股定理有关的线段长
【高清课堂 勾股定理 例3】
3、如图,长方形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F 处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】D;
【解析】
解:设AB=,则AF=,
∵ △ABE折叠后的图形为△AFE,
∴ △ABE≌△AFE.BE=EF,
EC=BC-BE=8-3=5,
在Rt△EFC中,
由勾股定理解得FC=4,
在Rt△ABC中,,解得.
【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题,最后通过勾股定理求解.
类型四、与勾股定理有关的面积计算
4、如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为( )
A.6 B.5ap劫 C.11 D.16
【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用,由b是正方形,可求△ABC≌△CDE.由勾股定理可求b的面积=a的面积+c的面积.
【答案】D
【解析】
解:∵∠ACB+∠ECD=90°,∠DEC+∠ECD=90°,红外线烘干箱
∴∠ACB=∠DEC,
在△ABC和△CDE中,
∵
∴△ABC≌△CDE
∴BC=DE
∵
∴
∴b的面积为5+11=16,故选D.
【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题,考查了对勾股定理几何意义的理解能力,根据三角形全等出相等的量是解答此题的关键.
类型五、利用勾股定理解决实际问题
5、一圆形饭盒,底面半径为8,高为12,若往里面放双筷子(精细不计),那么筷子最长不超过多少,可正好盖上盒盖?
【答案与解析】
解:如图所示,因为饭盒底面半径为8,所以底面直径DC长为16.
则在Rt△BCD中,,
所以 ().
答:筷子最长不超过20,可正好盖上盒盖.