真题模型(二)——竖直平面的圆周运动“绳、杆”模型来源图例考向模型核心归纳 2014·新课标全国卷Ⅱ第17题受力分析、圆周运
动、动能定理
1.常考的模型
(1)物体运动满足
“绳”模型特征，竖
(2)物体运动满足
“绳”模型特征，竖
透镜设计直圆轨道粗糙
(3)物体运动满足
“杆”模型特征，竖
直圆轨道光滑
(4)物体运动满足
“杆”模型特征，竖
直圆轨道粗糙
(5)两个物体沿竖直
放水阀
圆轨道做圆周运动
(6)同一物体在不同
的竖直圆轨道做圆周
运动
(7)物体受弹簧弹力、
电场力或洛伦兹力共
同作用下的圆周运动
2.模型解法
2015·新课标全国卷Ⅰ第22题圆周运动、超重、失重
洗车房2016·新课标全国卷Ⅱ第16题受力分析、牛顿第二定律、圆周运动、动能定理
2016·课新标全国卷Ⅱ第25题受力分析、机械能守恒定律、圆周运动、牛顿第二定律
2016·新课标全国卷Ⅲ第24题受力分析、圆周运动、机械能守恒定律、牛顿第二定律
2017·全国卷Ⅱ第17题平抛运动、功能关系及极值的求解方法
【预测1】 (多选)如图1所示，半径为R 的内壁光滑的圆轨道竖直固定在桌面上，一个可视为质点的质量为m 的小球静止在轨道底部A 点。现用小锤沿水平方向快速击打小球，使小球在极短的时间内获得一个水平速度后沿轨道在竖直面内运动。当小球回到A 点时，再次用小锤沿运动方向击打小球，通过两次击打，小球才能运动到圆轨道的最高点。已知小球在运动过程中始终未脱离轨道，在第一次击打 过程中小锤对小球做功W 1，第二次击打过程中小锤对小球做功W 2。设先后两次击打过程中小锤对小球做功全部用来增加小球的动能，则W 1
W 2
的值可能是
( )
图1
A.34
B.13
C.23
D.1
解析 第一次击打后球最多到达与球心O 等高位置，根据功能关系，有W 1≤mgR ，两次击打后球可以运动到轨道最高点，根据功能关系，有W 1＋W 2－2mgR ＝12mv 2，
在最高点有mg ＋N ＝m v 2R ≥mg ，由以上各式可解得W 1≤mgR ，W 2≥32mgR ，因此W 1W 2≤2
3，
B 、
C 正确。 答案 BC
【预测2】某次摩托车的特技表演可简化为如图2的模型，AB 是长度为x 的水平面，BC 是半径为2R 的四分之一圆弧，DEG 是半径为R 的四分之三圆弧，D 点在C 点正上方，G 点距右侧水平面高度为R 。质量为m 的摩托车(可视为质点)在大小恒定的牵引力F 作用下从A 点由静止出发，牵引力在ABC 段的大小恒为F ，摩托车经过C 点时关闭发动机，之后沿竖直方向从D 点进入上面的轨道做圆周运动，从G 点脱离上方轨道，进入右侧水平面，已知重力加速度为g ，假设在ABC 段摩托车所受阻力恒定，且为重力的k 倍，忽略其在DEG 及空气中所受的阻力。
图2
(1)为了摩托车能安全通过轨道，求力F 的最小值；
(2)若摩托车离开C 点的速度大小是10gR ，判断摩托车能否安全通过上方圆弧轨道。若不能通过，计算在C 点时应具有的最小速度，若能通过，求摩托车落在右侧水平面的位置距离C 点多远。
解析 (1)当摩托车恰好能到达E 点时，此时力F 为最小值，在E 点有mg ＝m v 2E
R ，
设在C 点的速度大小为v 0，从C 点到E 点根据动能定理可得－mg ·3R ＝12mv 2E －1
2mv 20，解得v 0＝7gR ， 对ABC 段由动能定理可得
(F －kmg )⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋14·2π·2R －mg ·2R ＝12mv 20， 代入解得F ＝11mgR冯代存
2（x ＋πR ）
＋kmg 。
(2)因为v C >v 0，所以摩托车可以安全通过上方圆弧轨道。设摩托车过G 点速度大小为v G ，根据机械能守恒定律可得 12mv 2C ＝mgR ＋12
鞋帮mv 2G ， 过G 点后，摩托车做平抛运动，有R ＝1
2gt 2， 在水平方向有x ＝v G t ，代入可得x ＝4R ， 所以距离C 点Δx ＝x －R ＝3R 。 答案 (1)11mgR
2（x ＋πR ）
＋kmg (2)见解析
算牌器
跟踪训练
一、选择题(1～6题为单项选择题，7～10题为多项选择题)
1.在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中()
A.速度和加速度的方向都在不断改变
B.速度与加速度方向之间的夹角一直减小
C.在相等的时间间隔内，速率的改变量相等
D.在相等的时间间隔内，动能的改变量相等
2.某物理兴趣小组的同学在研究运动的合成和分解时，驾驶一艘快艇进行了实地演练。如图1所示，在宽度一定的河中的O点固定一目标靶，经测量该目标靶距离两岸的最近距离分别为MO＝15 m、NO＝12 m，水流的速度平行河岸向右，且速度大小为v1＝8 m/s，快艇在静水中的速度大小为v2＝10 m/s。现要求快艇从图示中的下方河岸出发完成以下两个过程：第一个过程以最短的时间运动到目标靶；第二个过程由目标靶以最小的位移运动到图示中的上方河岸，则下列说法正确的是()
图1
A.快艇的出发点位于M点左侧8 m处
B.第一个过程所用的时间约为1.17 s
C.第二个过程快艇的船头方向应垂直河岸
D.第二个过程所用的时间为2 s
3.某兴趣小组设计了一个滚筒式炒栗子机器，滚筒内表面粗糙，内直径为D，工作时滚筒绕固定的水平中心轴转动。为使栗子受热均匀，要求栗子到达滚筒最高处前与筒壁脱离，则()
图2
A.滚筒的角速度应满足ω<2g D
B.滚筒的角速度应满足ω>2g D
C.栗子脱离滚筒的位置与其质量有关
D.若栗子到达最高点时脱离滚筒，栗子将自由下落
4.2016年12月11日，新一代静止轨道定量遥感气象卫星“风云四号”在西昌卫星发射中心成功发射。若该卫星绕地飞行的三条轨道如图3所示，其中轨道1是近地圆形轨道，轨道2和3是变轨后的椭圆轨道，它们相切于A点。卫星在轨道1上运行时经过A点的速率为v，加速度大小为a。下列说法正确的是(假设卫星的质量不变)()
图3
A.卫星在轨道2上经过A点时的速率大于v
B.卫星在轨道2上经过A点时的加速度大于a
C.卫星在轨道2上运行的周期大于在轨道3上运行的周期
D.卫星在轨道2上具有的机械能大于在轨道3上具有的机械能
5.我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射。量子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面，如图4所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，由此可知()
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